El lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen

números se llama lenguaje numérico.
En ocasiones, empleamos letras para representar cualquier número desconocido,
realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en
expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las
trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.
La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos
se llama Álgebra.

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos
expresar enunciados de una forma más breve.
El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.
En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.
2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de
carácter general.
La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son
dos números cualesquiera.
3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos
operaciones aritméticas con ellos.
El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.

Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan
con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define
como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la

izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe
sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x 4 = x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4 + x 4

– 3x 2 = – x 2 – x 2 – x 2
Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la
base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.
Ejemplos:

5x 3 = 5 (x) (x) (x)

8(– x + 5) 2 = 8(– x + 5) (– x + 5)

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de
sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se
indican.
Una cantidad desconocida se puede representar con
alguna letra llamada variable.
A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido
matemático traducidas a una expresión algebraica:
Frase Expresión algebraica
2 + d (la "d" representa la cantidad
La suma de 2 y un número
desconocida)
3 más que un número x+3
La diferencia entre un número y 5 a-5
4 menos que n 4-n
Un número aumentado en 1 k+1
Un número disminuido en 10 z - 10
El producto de dos números a•b
Dos veces la suma de dos números 2 (a + b)
Dos veces un número sumado a otro 2a + b
Cinco veces un número 5x
Ene veces (desconocida) un número n multiplicado por el número
conocido conocido
a
El cociente de dos números
b
La suma de dos números x+y
10 más que n n + 10
Un número aumentado en 3 a+3
Un número disminuido en 2 a–2
El producto de p y q p•q
Uno restado a un número n–1
El antecesor de un número
x–1
cualquiera
 El sucesor de un número cualquiera x + 1
3 veces la diferencia de dos
3(a – b)
números
10 más que 3 veces un número 10 + 3b
La diferencia de dos números a–b
La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43
19 más que 33 33 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al 2 
9  – 4 2 = 81 – 16 = 65
cuadrado
El cociente de 3 al cubo y 9 3 3 / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el
12 2 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5
producto de 8 y 12

Álgebra básica

Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre

operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse
las propiedades de las potencias.
Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen.
Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones
algebraicas o bien simplificarlas.

Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que
representan las diversas operaciones aritméticas.
Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar
tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para
representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones
aritméticas se basan en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la
claridad de lectura del lenguaje algebraico.
Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ],
llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse
para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:
Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética:
adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).
En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye
por un punto, como en a · b. Un grupo de símbolos contiguos,
como abc, representa el producto de a, b y c.
La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua,
o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya,
del denominador, a la derecha, en las fracciones.
Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.
Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo
que b/c, mientras que (ax + b) / (c – dy) representa la fracción:

Prioridad de las operaciones

Cada expresión algebraica (y matemática) posee una estructura estrictamente
jerarquizada.
Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un
orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un
resultado.
Ese orden es el siguiente:
1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes,
llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios
números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.
2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en
primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando
la secuencia general.
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las
operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo,
comenzando por el más interno.
Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los
quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los
quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se
aplica solo para multiplicaciones y divisiones).
3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces
tienen la misma jerarquía)
4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y
divisiones tienen la misma jerarquía)
5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma
jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad o
jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.
Por ejemplo:

Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo

igual
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación
al cálculo y no como una relación de equivalencia.
Así, por ejemplo, interpretan la expresión

5+8=x+3
En términos similares a los siguientes: “A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le
suma 3”.
Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería
completarse así:

5 + 8 = x + 3 = 16
Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer
notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la
izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo
que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer
10.
Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en
este error conceptual.

Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un
número real en cada punto de la recta numérica.
Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y
números enteros, los cuales a su vez se dividen en números negativos,
números positivos y cero (0)
Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b,
donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales
pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos
2) como decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b ,
donde a y b son enteros se llaman números irracionales . Los números
irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas
propiedades que para la aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números
racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la
geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y
números complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e
irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de los números reales

Propiedades de la adición
La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro
número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que
al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro
número real.
Propiedad Asociativa de la adición:
Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el
resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).
Es la llamada propiedad asociativa de la adición.
Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido
como elemento neutro de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.
Elemento simétrico de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (- a), llamado elemento
simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (- a) = 0.
Propiedad Conmutativa de la adición
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la
misma: a + b = b + a.
 Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4

Propiedades de la multiplicación
Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin
embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro
y al elemento recíproco o inverso.
El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se
escribe a·b o ab.
Propiedad Asociativa de la multiplicación
Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el
producto es siempre el mismo: (ab) c = a (bc).
 Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.

Un ejemplo aritmético: 
Elemento neutro
Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1)
llamado elemento neutro de la multiplicación,
Tal que a (1) = 1(a) = a.
Elemento recíproco o inverso
Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a –1 o 1/a),
llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el
que a (a –1) = (a –1) a = 1.
Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es
siempre el mismo: ab = ba.
Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.
Un ejemplo aritmético: 
Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición
y la multiplicación de la forma siguiente:
a ( b + c ) = ab + ac también  ( b + c ) a = ba + ca
También 

Un ejemplo aritmético: 
Regla de los Signos para sumar y restar:
1.      En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el
resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan
y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + –8 = –3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan
signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 – 8 = –3
5 – (–8) = 13
Regla de los signos en la multiplicación y la división
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo.
Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
5 x 8 = 40                           5 x –8 = –40
Multiplicación de polinomios
El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

(ax + b) (cx 2 ) = acx 3 + bcx 2

Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno
del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número
de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la
siguiente manera:

(ax 3 + bx 2 – cx) (dx + e) = adx 4 +aex 3 + bdx 3 + bex 2 – cdx 2 - cex

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han
de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

= adx 4 + (ae + bd)x 3 + (be – cd) x 2 – cex

Recta Numérica
Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que
será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el
origen de la recta numérica.
El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la
derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado
derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo
se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan
en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los
que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
Si a – b es positivo, entonces a > b.
Si b – a es positivo, entonces a < b.

Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor
absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se
calcula de la siguiente manera:
si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|–7| = 7
Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo
número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
x 2 = x *x
2 2 = 2 *2
3 4 = 3 *3 *3 *3
Término algebraico
Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante
numérica o literal.
Ej:
7xy 3
–2mnp 2
π r 2
En todo término algebraico hay:
Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos
Término algebraico Signo Coeficiente Factor Grado
numérico literal
2m 2 n 5 Positivo 2 m 2 n 5 5
5 a 3 b 6 c 8 Positivo 5 a 3 b 6 c 8 8
- 1/3 zhk 5 Negativo 1/3 zhk 5 5
Expresiones Algebraicas
Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de
adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
Monomio = un solo término.

Por ejemplo: 3x 2

Binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x 2 + 2x
Trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x 2 + 2x – 5
Polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Monomio Binomio Trinomio Polinomio
8 x 3 y 4 3 a 2 b 3 + 8z a – b 9 + a 3 b 6 2/3 a 2 + bc + a 2 b 4 c 6 – 2
x 2 z 5 +32 x 3 9a – b 2 + c 3 ab –  a 6 b 3 c + 8 – 26a
Los números naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número

cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un
conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural,
sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3   

3 − 5   
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2   

2 : 6   
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto
formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta.

Los números enteros

Los números enteros son del tipo:

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las

profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número
entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2 

2 : 6 
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando
positivo.

Los números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como

el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto)

son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales
es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por

tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es π , que se define como la relación entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro.
π
 = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva,
en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los
tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto

de los números reales, se designa por  .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la

recta un número real.

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria: 

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando
negativo.
x2 + 9 = 0

Números complejos

Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número
imaginario puro.