Matemática Aplicada.

Marzo 2022.

MÓDULO ÁLGEBRA.

❖ Lenguaje algebraico:
• Términos y expresiones algebraicas.
• Grado de términos y expresiones algebraicas.
• Representación algebraica de enunciados.
• Valorización de expresiones algebraicas
• Aplicación a fórmulas de geometría: áreas perímetros, volumen
• Aplicaciones contextualizadas a la especialidad.
❖ Definición, características y operaciones con polinomios:
• Términos semejantes.
• Eliminación de paréntesis.
• Reducción de términos algebraicos (semejantes).
• Multiplicación de términos y expresiones algebraicas.

❖ ALGEBRA
Es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada de la forma más general posible.
Hasta ahora habíamos usado la Aritmética como herramienta para solucionar problemas matemáticos. Sin
embargo la Aritmética representa las cantidades como números únicos, sin embargo en el Algebra, para
lograr la generalización las cantidades las representamos por medio de letras, las cuales pueden representar
todos los valores.
Entonces, la rama de la matemáticas que permite modelar situaciones a través de generalidades
literales, se conoce con el nombre de ALGEBRA. Es así como el algebra permite realizar representaciones a
través de factores literales, coeficientes numéricos y relaciones matemáticas de la Aritmética.
El lenguaje algebraico es el lenguaje del Algebra, el cual permite representar cantidades por medio de
letras y, de esta forma generalizar en variadas situaciones.
De alguna manera ya hemos experimentado con esta rama al generalizar formulas aritméticas como las
operaciones con fracciones o las propiedades de la adición y producto. Pero además nos sirve para
generalizar enunciados matemáticos.

❖ Características del lenguaje algebraico

1. El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una
forma más breve.
El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.
En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.

2. El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números
cualesquiera.
3. Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con
ellos.
El doble de un número es seis se expresa 2x = 6.
Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable.
 A modo de ejemplos, se ofrece un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una
expresión algebraica:

Frase Expresión algebraica

La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número x+3
La diferencia entre un número y 5 a-5
4 menos que n 4-n
Un número aumentado en 1 k+1
Un número disminuido en 10 z - 10
El producto de dos números a•b
Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro 2a + b
Cinco veces un número 5x
a
El cociente de dos números
b

Término Algebraico:
Término algebraico es una relación entre números y letras en la que intervienen operaciones como la
multiplicación, la división, potencias y/o raíces (se excluye la suma y la resta). Tiene un factor numérico y un
factor literal.
Ejemplo: − 3x y Factor numérico: − 3 →
5 2 5 2
→ Factor literal: x y

Expresiones Algebraicas:
Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos
algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
Monomio : Un sólo término. Ejemplo: 3yx2
Binomio : Suma o resta de dos monomios. Ejemplo: 3x2 + 2xz
Trinomio : Suma o resta de tres monomios. Ejemplo: 3x2 + 2y³x – 5
Polinomio : Suma o resta de cualquier número de monomios.

Grado de una expresión algebraica: Este puede ser relativo o absoluto

A. Relativo: Está dado por el exponente de la variable considerada.
B. Absoluto: Está dado por la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo -12x2y3 Es de 2º grado con respecto a la variable x.
Es de 3er grado con respecto a la variable y.
Es de 5º grado absoluto con respecto a la variable x e y.
Valoración de expresiones algebraicas:
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las
operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
Ejemplo:
Valoremos la expresión 3x2y – 5xy2 + xy, considerando que x = 3 e y = -2 .
3 x2 y – 5 x y2 + x y =
3·32·(-2) – 5·3·(-2)2 + 3·(-2) =
-54 – 60 – 6 = -120
Operaciones algebraicas:

Suma y resta: Solo pueden ser sumados o restados los términos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual
parte literal.
Ejemplo: 2a + 3b + 6a – 2b = 8a + b

Multiplicación: Debemos recordar que la multiplicación es una operación que tiene por objeto, dada dos
cantidades el multiplicado y el multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. Y por esto
debemos recordar que:
✓ El orden de los factores no altera el producto.
✓ Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.
✓ Se mantiene la regla de los signos.
✓ Se debe respetar la regla de los exponentes, es decir: “Se conserva la base y se suman los exponentes”.

Tipo Descripción
Multiplicación de Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes
monomios numéricos y las partes literales entre sí.
Multiplicación de La multiplicación de monomios por polinomios es una consecuencia directa
monomio por de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, es
polinomio decir, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Multiplicación de Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno
polinomios por de los términos del segundo polinomio.
polinomio

I.- Ítem: Desarrolla los siguientes ejercicios:

Parte 1: Marque la alternativa correcta, se evaluara desarrollo.

1. El desarrollo de a ( 2x
)( )
− b − x a 2 x + b − x es equivalente a:
a) a 4 x − b0
b) a 4x − b2x
c) 4a 2 x − b − x
d) a 4 x − 2a 2 x b − x + b −2 x
e) a 4 x − b −2 x

2. Calcule el valor numérico de la expresión: p − 2 p − p , si p = −1

3 2

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4

3. Si m – n = 7 y p- q = 8; entonces el valor de m – n – 2p + 2q es:

a) 23 b) 15 c) 7 d) -1 e) -9

4. Si la fracción x − xy se multiplica por y , resulta:

2

5y x

a) x − y b) x − xy c) x − x y d) x − y
3 2 2
e) Ninguna de las anteriores.
5 4y 5y 2 5

5. Si (a + 3)(a − 3) = (1 − a)a 2 , entonces a 3 es igual a:

 a) -9 b) -3 c) 0 d) 3 e) 9

z x + 5z x + 9 z x es:
6.
a) z x b) 10 z x c) 14 z x d) 15 z x e) 6 z x

x y 3x y 3 1
+ + 2x − 3y − − + −
7. 2 3 4 6 4 2 es:
a) 7 x − 17 y + 1
4 6 4
5 x 8 y 1
b) − −
2 3 2
c) − x + y + 3
2 3 4
d) x + y + 1
4
x
e) − − + 1 y
2 6 4

2 2

8. − ( x + y ) + − 3x + y − − 2 x + y − ( x − y )+ 2 x
2 2 2 2 2 2 2
 es:

a) x 2 + y 2 b) x 2 − 2 y 2 c) 2 y − x d) x − 2 y e) x + 2 y
2 2 2 2

9. Al multiplicar (a + b)(a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab3 + b 4 ) resulta:

a) a5 − b5 b) (a − b) 5 c) a5 + b5 d) (a + b) 5 e) a 5b + ba5

 1 2 3
5abc + +  =
10. a b c
30 abc
b) 30 c) 5bc + 10ac + 15ab d) 30abc e) 5a bc + 10ab c + 15abc
2 2 2
a)
a+b+c

Respuestas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e b e a e d a b c c
Parte 2: Resuelva según corresponda:

1. Exprese en Lenguaje algebraico lo siguiente:

a) El doble de un número.
b) La suma de tres números distintos.
c) El triple de a más la mitad de b
d) EL cubo de la diferencia entre a y b
e) El cuadrado de “z” equivale a la suma entre el cuadrado de “x” y el cuadrado de “y”
f) El producto entre un número y su antecesor.
g) La suma de tres números impares consecutivos.
h) La quinta parte del triple del cuadrado de x
i) El cuadrado de la quinta parte del triple de x
j) La semidiferencia entre x e y
k) El volumen de un cubo.
l) El triple del cuadrado de a
m) El cubo del triple de a
n) El doble de la quinta parte del cubo de y
o) El cubo de la quinta parte del doble de y

2. Calcule el valor de:

Si x = 2
x −2 −3
a) 5x − 3x + 4 + 16 x − 8x
3 2
Sol. 15
b) (a 2
−b  a−b
3
)( 2
) Si a = − 3 y b = −2 Sol. − 119
c) Si m + n = 3 y n = −1 , determine el valor de m Sol. m = 4
d) Si p + q − r = 12 , y r − q = 5 , determine el valor de p Sol. p = 17

3. Si a = 3 y b = 2 determine el valor de:

d) − 2ab g) (−b)
4
a) 2ab
b3
b) a − b 2 2
e) a − + ab h) 17 − a − b + ab2 − a 3b
4
4a 9b 2 3 b
c) b 2 − a 2 f) − b 4 i) − + −
b 5a a 2

Soluciones:
18
a) 12 b) 5 c) − 5 d) − 12 e) 7 f) − 16 g) 16 h) − 30 i)
5
4. Si x = 4 , y = −2 , z = 5 determine el valor de:

a) 2 x + y + z b) x − y − 2 z (
c) x x + y + z
2 2 2
) d)
1 1
−
x y

Soluciones:
3
a) 11 b) − 4 c) 180 d)
4

5. Reduzca términos semejantes:

a) 2x − 6 y − 2x − 3 y − 5 y
b) 2 pq + 3 p − 12q − 15q + 7 pq − 13 p
a 2b 2ab2 3ab2 6a 2b
c) − + −
5 3 2 5
d) − − (a − 2b ) − (a + 2b ) − (− a − 3b )
(
e) − x − y
2 2
) + 2x 2
(
− 3y 2 − x 2 − 2x2 − 3y 2 )
3 2  1 2 
f) x + y −  x − 2 y −  y − x 
4 5  5 3 
g) x yz + 3xy z − 2 xyz − 3xy z + xyz − x yz
2 2 2 2 2 2

h) 3 x −  y − x − ( z − y ) − 2 y  − 2 z − 3 y

Soluciones:
5 2
a) − 14 y b) 9 pq − 10 p − 27 q c) − a 2 b + d) a − 3b e) 2 x + y
2 2
ab
6
13 11
y− x g) − xyz h) 4 x − y − 3z
2
f)
5 12

6. Efectúe las siguientes multiplicaciones:

a) x3  x5 Sol. x 8
b) x 4  x −7  x 5 Sol. x 2
c) a  ab Sol. a 2 b
d) 3n  2m Sol. 6nm
e) 7abc  −3a 2b 3c 4 Sol. − 21a 3b 4 c 5
f) − 3xy  4 y x Sol. − 12 x y
2 2 3 4 4

7. Efectúe las siguientes multiplicaciones:

a) 3x(2 x − 5 y) Sol. 6 x − 15 xy
2

b) (2 − 4 x y + 5 z y )2 z x Sol. 4 z x − 8 x z y + 10 z xy
2 3 2 2 2 3 2 5 2

c) − 6 x y (3x y − 4 xy − 2 x y ) Sol. − 18 x y + 24 x y + 12 x y
5 3 2 4 2 2 7 4 6 7 7 5
 2 6 2 4 2  2 6 2 4 2 7 3 8 4 10 4 10
d) a b c 1 − abc4 + a 4b 2 c 6  Sol. ab c − a bc + a b c
5  3  5 5 15

8. Efectúe las siguientes multiplicaciones:

(
a) (x + y ) x + y
2 2
) Sol. x + xy + yx + y
3 2 2 3

b) ( x − y )( x + y ) Sol. x − y
2 2

c) ( x − 2)( x + 2 x + 4) Sol. x 3 − 8
2

d) ( x − 3x + 9)(3 + x) Sol. x 3 + 27
2

f) (a + b)(a − a b + a b − ab + b ) Sol. a 5 + b 5
4 3 2 2 3 4

(
g) − 3xy − 2 xy
2
)(xy 2
− 5xy ) Sol. 7 x y + 15 x y − 2 x y
2 3 2 2 2 4

h) (− 3 x − 2 y + z )( x + y − 3 z ) Sol. − 3x − 5xy + 10 xz − 2 y + 7 yz − 3z
2 2 2

II.- Ítem: Glosario

Término Es una relación entre números y letras en la que intervienen operaciones como la
algebraico multiplicación, la división, potencias y/o raíces
Expresión Es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más
algebraica términos algebraicos.
Monomio Un sólo término.
Binomio Suma o resta de dos monomios.
Trinomio Suma o resta de tres monomios.
Polinomio Suma o resta de cualquier número de monomios.

III.- Ítem: Links de interés

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebraico_Lenguaje.html
http://www.vitutor.com/ab/p/m_e.html