1semc1 Minas

Relaciones en R
Escuela Profesional de Ing. de Minas
Cálculo 1
Semana 1
Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 1/9

Par Ordenado
Dados dos conjuntos no vacios A y B . Tomemos un elemento
arbitrario de A y otro de B para formar el objeto (a, b), llamaremos a
éste objeto par ordenado , ademas a se llama la primera componente y
b la segunda componente de (a, b). Cuando decimos que (a, b) es un par
ordenado es porque debemos tener en cuenta el orden en que aparecen
a y b , esto es , en general (a, b) ̸= (b, a).

Par Ordenado
Definición 1
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacı́o, llamamos producto
cartesiano de A en B , lo cual denotamos por A × B, al conjunto
formado por todos los pares ordenados que tienen como primera
componente a los elementos de A y como segunda componente a los
elementos de B.

Par Ordenado
Definición 1
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacı́o, llamamos producto
cartesiano de A en B , lo cual denotamos por A × B, al conjunto
formado por todos los pares ordenados que tienen como primera
componente a los elementos de A y como segunda componente a los
elementos de B.
La definición anterior en simbolos es
A × B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} .

Por otro lado la igualdad de pares ordenados (a, b) y (c, d) en A × B se
define como
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

define como
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d
Ejemplo
1 Si (6, −5) = (2x + y, 3x − 2y) , halle los valores de x e y.
2 Para los conjuntos A = {1, 0, −1} y B = {3, 4} hallar A × B,
B × A y A × A. ¿Qué puede decir de A × B y B × A? ¿Cómo
graficarı́a A × B?

define como
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d
Ejemplo
1 Si (6, −5) = (2x + y, 3x − 2y) , halle los valores de x e y.
2 Para los conjuntos A = {1, 0, −1} y B = {3, 4} hallar A × B,
B × A y A × A. ¿Qué puede decir de A × B y B × A? ¿Cómo
graficarı́a A × B?
Denotaremos A × A = A2 , mas generalmente se tiene
An = |A × A ×
{z· · · × A}
n veces

Ejemplo
Sea A = {x ∈ R / − 1 < x ≤ 3} y B = {y ∈ R / 3 ≤ y ≤ 5}. represente
graficamente A × B.

Ejemplo
Sea A = {x ∈ R / − 1 < x ≤ 3} y B = {y ∈ R / 3 ≤ y ≤ 5}. represente
graficamente A × B.
Propiedades del producto cartesiano

1 A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
2 (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
3 A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
4 (A × E) ∪ (B × F ) ⊆ (A ∪ B) × (E ∪ F )
5 Si A ⊂ B ∧ D ⊂ E ⇒ A × D ⊂ B × E
6 A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
Demostración:

Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

B = {x ∈ Z / 2x − 5 = x + 2}
C = {x ∈ Z / x es impar ∧ 2 ≤ x < 11}
hallar (a) (A ∪ B) × C, (B ∩ C) × (A ∪ C) ası́ como el número de

elementos de cada conjunto.

Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

B = {x ∈ Z / 2x − 5 = x + 2}
C = {x ∈ Z / x es impar ∧ 2 ≤ x < 11}

Sean A y B conjuntos finitos entonces se cumple que
n(A × B) = n(A) · n(B)

Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

B = {x ∈ Z / 2x − 5 = x + 2}
C = {x ∈ Z / x es impar ∧ 2 ≤ x < 11}

Sean A y B conjuntos finitos entonces se cumple que
n(A × B) = n(A) · n(B)
Definición 2
Dados dos conjuntos cualesquiera no vacı́os A y B. Llamaremos
relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A × B.
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} , B = {a, b} , con ellos definimos los
siguientes conjuntos
1 R1 = {(1, a), (2, a), (2, b)}
2 R2 = {(1, a), (2, b), (3, b)}
3 R3 = {(3, a), (3, b)}
4 R4 = {(2, b)}
5 R5 = ∅
6 R6 = A × B
7 R7 = {(a, 3)}
8 R8 = {(1, a), (b, 2)}
de ellos vemos que R1 , R2 , R3 , R4 , R5 , R6 , R1 son relaciones de A en
B , pero R7 ⊆ A × B, R8 ⊆ A × B no son relaciones de A en B, pues
(a, 3) ∈
/ A × B en R7 y (b, 2) ∈
/ A × B en R8 .

Sea R una relación de A en B, llamaremos
i) Dominio de R , al conjunto que denotaremos por Dom(R), el
cual contiene a todos los elementos de A relacionados con algun
elemento de B, es decir
Dom(R) = {x ∈ A / ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}

Dom(R) = {x ∈ A / ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}
ii) Imagen de R o Rango de R al conjunto que denotaremos por

Ran(R) o Imag(R), el cual contiene a todos los elementos de B
que estan relacionados con algún elemento de A, es decir
Ran(R) = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}

Dom(R) = {x ∈ A / ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}

Ran(R) = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}
OBS.: Consideraremos casi siempre A, B ⊂ R, salvo se indique lo
contrario. Por otro lado, diremos que R es una relación en un conjunto
A si R ⊂ A × A.

Dom(R) = {x ∈ A / ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}

Ran(R) = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}
OBS.: Consideraremos casi siempre A, B ⊂ R, salvo se indique lo
contrario. Por otro lado, diremos que R es una relación en un conjunto
A si R ⊂ A × A.
Ejemplo
Sea A = {2, 3, 5, 6, 7, −1, 0} y R una relación en A dado por
R = {(x, y) / x + y < 4}. Hallar la suma de elementos del rango de R.
Gráfica de Relaciones
Como R ⊂ A × B, entonces graficar relaciones equivale a graficar pares

ordenados.

Gráfica de Relaciones
Como R ⊂ A × B, entonces graficar relaciones equivale a graficar pares

ordenados.
Ejemplos
Graficar las siguientes relaciones
1 R = {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (5, 6)}.
2 S = {(x, y) ∈ R × R ; y − 3x + 4 = 0}
3 R = {(x, y) ∈ R × R ; y = 2}
S = (x, y) ∈ R × R ; (x + 1)2 + (y − 2)2 = 16

4
R = (x, y) ∈ R × R ; y 2 = x − 2

5
S = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 4

6
R = (x, y) ∈ R2 ; |x| + |y| < 3

7
S = (x, y) ∈ R2 ; y ≤ |x2 − 4|

8

Relación inversa
Dada una relación R de A en B, llamaremos relación inversa de R , la

cual denotaremos R∗ o R−1 , al conjunto definido por
R∗ = {(y, x) ∈ B × A ; (x, y) ∈ R}

Relación inversa
Dada una relación R de A en B, llamaremos relación inversa de R , la

cual denotaremos R∗ o R−1 , al conjunto definido por
R∗ = {(y, x) ∈ B × A ; (x, y) ∈ R}
Es decir R∗ se obtiene a partir de R intercambiando las primeras

coordenadas por las segundas y viceversa. Por lo cual
Dom(R∗ ) = Ran(R) , Ran(R∗ ) = Dom(R)

Propiedades
Para R y S relaciones de A en B se cumplen:
1 (R ∪ S)∗ = R∗ ∪ S ∗
2 (R ∩ S)∗ = R∗ ∩ S ∗
3 (R − S)∗ = R∗ − S ∗

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Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 2/9

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Denotaremos A × A = A2 , mas generalmente se tiene

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Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 4/9

Propiedades del producto cartesiano

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 4/9

A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

hallar (a) (A ∪ B) × C, (B ∩ C) × (A ∪ C) ası́ como el número de

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 5/9

A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

hallar (a) (A ∪ B) × C, (B ∩ C) × (A ∪ C) ası́ como el número de

Sean A y B conjuntos finitos entonces se cumple que

n(A × B) = n(A) · n(B)

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 5/9

A = {x ∈ N / (x2 − 9)(x + 2)(x − 5) = 0}

hallar (a) (A ∪ B) × C, (B ∩ C) × (A ∪ C) ası́ como el número de

Sean A y B conjuntos finitos entonces se cumple que

n(A × B) = n(A) · n(B)

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Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 7/9

ii) Imagen de R o Rango de R al conjunto que denotaremos por

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 7/9

ii) Imagen de R o Rango de R al conjunto que denotaremos por

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 7/9

ii) Imagen de R o Rango de R al conjunto que denotaremos por

Como R ⊂ A × B, entonces graficar relaciones equivale a graficar pares

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 8/9

Como R ⊂ A × B, entonces graficar relaciones equivale a graficar pares

R = (x, y) ∈ R2 ; |x| + |y| < 3

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Dada una relación R de A en B, llamaremos relación inversa de R , la

Escuela Profesional de Ing. de Minas Relaciones en R 9/9

Dada una relación R de A en B, llamaremos relación inversa de R , la

Es decir R∗ se obtiene a partir de R intercambiando las primeras

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