Conjuntos Ordenados Redes AB

UNLAM – DIIT – MATEMÁTICA DISCRETA – UTN – FRBA
CONJUNTOS ORDENADOS
RELACIÓN DE ORDEN
1. Reflexiva: a precede a a
2. Antisimétria:
3. Transitiva
Ejemplos de conjuntos ordenados
 El conjunto de partes y la relación “inclusión#

 El conjunto de los números naturales y la relación “ es divisor de ”
 El conjunto de los números naturales y la relación “es menor que”
ELEMENTOS COMPARABLES En un conjunto ordenado dos elementos si dicen
comparables sii
Ejemplo En el conjunto A y la relación “divide a...”
¿Qué elementos son comparables con 4? 1, 2 y 4 ya que 1|4, 2|4 y 4|4
¿Qué elementos son comparables con 6? 1, 2, 3 y 6 ya que 1|6, 2|6 , 3|6 y 6|6
 Relación de orden amplio Una relación R es de orden (orden amplio) si y sólo si es reflexiva,
antisimétrica y transitiva. Ejemplo:

 Relación de orden estricto Una relación R es de orden estricto si y sólo si es a-simétrica y
transitiva.
Ejemplo:
 Relación de orden parcial Una relación R es de orden parcial, si algunos elementos no son
comparables entre sí.
Ejemplo:
Prof. Lic. Christian L. Staple

1
 Relación de orden total Una relación R es de orden total si todos los elementos son comparables
Ejemplo: la relación “menor o igual que…”

CONJUNTOS BIEN ORDENADOS si está totalmente ordenado y todo subconjunto no vacio tiene
primer elemento
DIAGRAMA HASSE consiste en la forma simplificada de un digrafo para representar la relación de

orden.
 Se eliminan las aristas que pueden ser deducidas de otras por transitividad
 Se eliminan los lazos
 Se ubican los vértices de modo que todas las flechas van hacia arriba
Ejemplo
Para tener en cuenta: Dado un número n, entero positivo, su descomposición factorial tiene la forma
, donde los pi son distintos números primos, se llama d(n) a la cantidad de
divisores positivos de n, la cual se obtiene
Ejemplos
para saber la cantidad de divisores Para saber la cantidad de divisores

factoreamos , la cantidad de factoreamos ,
divisores positivos de 30 es
y su HASSE es:
y su HASSE es:

2
con y su con y su HASSE es:

HASSE es:
ORDEN DEL PRODUCTO Sean dos conjuntos ordenados. Sea AXB el producto
cartesiano. En AXB se define la siguiente relación Se la denomina

Orden del Producto.
Ejemplo Sean conjuntos ordenados, realizar el orden del producto
Ejemplo Sean conjuntos ordenados, realizar el orden del producto

BXA

3
¿Es un orden total? NO, ya que
No están relacionados
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO Sea un conjunto ordenado, se

define:
 Maximal Un elemento es maximal si ningún

otro lo sigue excepto sí mismo.
 Minimal Un elemento es minimal si ningún

otro lo precede excepto sí mismo.
 Máximo Si el maximal es único, se lo llama máximo o último elemento
 Mínimo Si el minimal es único, se lo llama mínimo o primer elemento.
Sea un conjunto ordenado, se define un subconjunto no vacio
 Cota Superior Las cotas superiores de un

subconjunto ordenado son los elementos que siguen a todos los elementos del subconjunto. El
conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante.
 Cota Inferior Las cotas inferiores de un subconjunto

ordenado son los elementos que preceden a todos los elementos del subconjunto. El conjunto de
las cotas inferiores se llama conjunto minorante-
 Supremo La primera de las cotas superiores se denomina supremo, y si pertenece al subconjunto
es el máximo. La “menor” de las cotas superiores.
 Ínfimo La última de las cotas inferiores se denomina ínfimo, y si pertenece al subconjunto es el
mínimo. La “mayor” de las cotas inferiores

4
Ejemplo Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} ordenado de la siguiente forma:
Tomamos como subconjunto B = {d, e, h}
MaximalesB = {e, h}
MinimalesB = {d}
Cotas superiores = {g, i}
Cotas inferiores = {a, b, d }
El supremo es g (no es máximo)
El ínfimo es d (es mínimo de B)

REDES RETÍCULOS LATIS
¿Qué es una Red, Retículo, Reticulado, Lattice o Latis?
Superior Semirretículo Sea un conjunto ordenado Se dice que es Superior Semirretículo si y
sólo si:
Inferior Semirretículo Sea un conjunto ordenado Se dice que es Inferior Semirretículo si y sólo
si:
Sea con un conjunto ordenado Se dice que es (Red, Retículo Lattice o Latis) si y sólo si es
a la vez Superior Semirretículo e Inferior Semirretículo
Es un conjunto ordenado que verifica para todo par de elementos debe existir el supremo y el ínfimo
en el conjunto.
Propiedad O sea que SIEMPRE existen a bya b entre elementos

que están relacionados. Solamente hay que fijarse si existen entre los que son incomparables.
Ejemplo (D12, |) es red? Construyamos el Hasse

5
Como todos tienen ínfimo y supremo, entonces es red
Ejemplo Sea un conjunto ordenado, siendo
y la relación
¿Es red? … no ¿Por qué?

Por ejemplo, no existe supremo entre pollito y canario, ya que las cotas superiores son {gato, león,
hormiga, araña} y ninguna de ellas precede a todas.
Ejemplo: ¿Es red?... sí ¿Por qué?

Porque todo par de elementos tiene supremo e
ínfimo. El único que hay que revisar es
, y tiene por ínfimo a y por supremo

{a,b}.
Sea una red. Las operaciones e cumplen:

6
Red Algebraica Una red algebraica es una terna con
Ejemplos de Red Algebraica:
1)
2)
3)
La propiedad siguiente nos da una forma de obtener una red ordenada a expensas de una red
algebraica, así como anteriormente pasamos de la red ordenada a la algebraica.
Propiedad Sea una red algebraica . La relación definida en tal que
( o bien ) es una relación de orden.

Teniendo en cuenta la propiedad anterior podemos extraer la siguiente consecuencia:
En la relación definida anteriormente se cumple:

7
Lo expuesto anteriormente, nos permite comprender que una misma RED puede darse de dos formas distintas
pero equivalentes:
EQUIVALENCIA ENTRE LAS DEFINICIONES
SUB RED O SUB RETÍCULO Sea un retículo y , es un subretículo de A sii verifica
 es red
Ejemplo:
es red

8
Sean L1 = {3, 6, 15, 30}, L2 = {1, 2, 3, 5, 15}, L3 = {1, 6, 10, 30}. ¿Son subredes? Sus diagramas de Hasse
son
Entonces L1 es subrretículos de , mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subrretículo porque

el supremo de 2 y 3 es no existe, L2 no es red. L3 no es subrretículo porque el ínfimo de 6 y 10 vale 2,
que no pertenece a L3. Nótese que L3, con el orden que hereda de es un retículo, pero no es
subrretículo.
TIPOS DE RED
Acotado Se dice que una red es acotada si posee máximo y mínimo, que se designan con 1 A y 0A
respectivamente
Complemento de un elemento
Definición: Sea una red acotada. Dado , se dice que es complemento de a si:

9
Por lo visto anteriormente podemos decir: En una red, cada elemento puede tener un único
complemento, más de uno o ninguno
Una Red es Complementada Si y solo si todos sus elementos poseen al menos un complemento
Ejemplo Sea la siguiente red Analicemos si es complementada.

Recordemos que si bien esta red está expresada como conjunto ordenado, ya sabemos estructurarla
algebraicamente con dos operaciones cerradas. En este caso la red algebraica correspondiente es:
siendo y
El primer elemento es el 1, y el último es el 30
Por lo tanto es red complementada.

10
( D18 ;|)
Analizo los elementos no comparables
Para la red sus complementos son
Como cada elemento del retículo tiene complemento, la red es

complementada
Distributiva que la Red es distributiva si y sólo si:
 Propiedad En toda red distributiva, el complemento, si existe, es único. Esto significa que si existe
un elemento con más de un complemento, la Red no será distributiva.
 Propiedad Toda red finita es distributiva sii no contiene ninguna subred isomorfa a alguna de las
siguientes:

11
Propiedad: En toda red distributiva, el complemento, si existe, es único. Entonces si existe un
elemento con más de un complemento, La Red no será distributiva.
Ejercicio a b c d e
a b c d e
Considerar y la tabla siguiente.Se pide: completar la b c e e
tabla de la operación , dar la tabla de la operación de manera c e e
d e
que sea una red e
a b c d e a b c d e
a a b c d e a a a a a a
b b b c e e b a b b a b
c c c c e e c a b c a c
d d e e d e d a a a d d
e e e e e e e a b c d e
elemento con más de un complemento, La Red no será distributiva.
Ejercicio a b c z u
a a a z a
Considerar y la tabla siguiente.Se pide: completar la b c z b
tabla de la operación , dar la tabla de la operación de manera c z c
z z
que sea una red u
a b c z u a b c z u
a a a a z a a a b c a u
b a b a Z b b b b u b u
c a a c Z c c c u c c u
z z z z Z z z a b c z u
u a b c Z u Propiedad:
u u uen toda
u u red
u distributiva se cumple:
Definición: Una red es modular sii
ALGEBRAS DE BOOLE
B es un Algebra de Boole si B es una red distributiva y complementada.
Podemos decir que un conjunto parcialmente ordenado en el cual dos elementos cualesquiera tienen
una única cota superior mínima y una única cota inferior máxima, complementado y distributivo se
conoce como Álgebra de Boole

12
En un álgebra de Boole se cumple:
 Operaciones binarias
 Conmutativa
 Distributiva
 Existencia de Neutro
ÁTOMO: Sea una red con mínimo m, un elemento es un átomo si es inmediatamente

posterior al mínimo m.
Ejemplo: Los siguientes diagramas de Hasse representan álgebras de Boole.
Propiedad: Sea n = p1 . p2 . p3 ……. pn donde p son números primos distintos, se verifica de Dn es Algebra
de Boole. Es decir la red distributiva alcanzará la estructura de Álgebra de Boole si y solamente si el
número n se puede expresar como un producto de primos distintos.
Ejemplo: Muestre que la retícula cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura no es una algebra de
Boole
13
Los elementos a y e son ambos complementos de c, y en un algebra de

Boole los complementos son únicos.
Ejemplo NO es un Algebra de Boole. Su diagrama de Hasse es el siguiente:
Como D28 no es una red complementada

ya que hay dos elementos que no tienen
complemento no es Álgebra de Boole.
En el ejemplo anterior, 28 = 4.7, es decir 28 = 2.2.7, se tiene que D28 , ordenado por la divisibilidad no
es Álgebra de Boole, pero D 231 , si es álgebra de Boole porque 231=3.7.11, es decir cumple con la
condición requerida.
Proposición:
En un Álgebra de Boole se satisfacen las siguientes propiedades:
1. Los elementos 0B y 1B son únicos.

2. Todo elemento tiene un único complemento.
3. Todo elemento es idempotente, es decir,
4. Los elementos neutros se complementan mutuamente es decir que:
5. Todo elemento es involutivo
6. Existencia de Neutro
7. De Morgan
8. Absorción
Propiedad En una RED distributiva, si un elemento posee un complemento entonces este
complemento es único.

14
SUBÁLGEBRA DE BOOLE
Sea B un Álgebra de Boole. Sea
A es un subálgebra de B si es un Álgebra de Boole.

De esta definición podemos decir que:
I. = “orden restringido a A”.

II. Si B es un Álgebra de Boole y A es una subálgebra entonces A verifica:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ejemplo es un Álgebra de Boole.
Su diagrama de Hasse es el siguiente:
Tomemos los conjuntos: A1 = {1, 42} A2 = {1, 2, 21, 42}

y probemos que son subálgebras.
1) A1 = {1, 42 }
El diagrama de Hasse es el siguiente
I.
II.
III.
V.
VI. Queda probado que A1 es subálgebra

2) A2 = {1, 2, 21, 42 }

15
El diagrama de Hasse es el siguiente:
I.
II.
III.
IV.
V. Queda probado que A2 es subálgebra
MORFISMOS Un homomorfismo, (o a veces simplemente morfismo) de un objeto matemático a otro

de la misma categoría, es una función que es compatible con toda la estructura relevante.
Clasificación de homomorfismos:
Sea un homomorfismo:
 Si es inyectiva, es un monomorfismo
 Si es sobreyectiva, es un epimorfismo
 Si es biyectiva, es un isomorfismo
 Si , es un endomorfismo
 Si es un endomorfismo y es biyectivo, es un automorfismo
La siguiente es la definición formal de homomorfismos para álgebras de Boole
Sean y dos algebras de Boole. Sea una función se dice que es un

homomorfismo si verifica las siguientes propiedades.
i.

16
ii.
iii.
iv.
v.
Ejemplo: Sean dos conjuntos ordenados (D1o, |) y (D21, |), cuyo diagrama Hasse son:
Como 10 = 5 . 2 y 21 =7 . 3 (D1o, |) y
(D21, |), son Algebras de Boole
Probemos que es un homomorfismo

17
de forma similar a la propiedad II

Por la forma en que definimos f se verifican los puntos 4 y 5 de dicha definición.
Como por definición es biyectiva, resulta ser un isomorfismo.
La siguiente proposición aplica el concepto de homomorfismo a subálgebras y a la composición de

homomorfismos.
Sean y dos Álgebras de Boole. Sea un homomorfismo, se verifica que:

(a) Si A 1 es subálgebra de A es f(A 1) subálgebra de B.
(b) Si y y entonces
(c) es un álgebra de Boole y es un homomorfismo, es un

homomorfismo
Un Álgebra de Boole es ATOMICA si todo elemento no nulo, es decir todo elemento que no sea el 0A ,
o sea el primer elemento, es precedido por un átomo.
La siguiente proposición formaliza todo lo que estuvimos trabajando:
Si es un álgebra de Boole finita y es el conjunto de átomos de , entonces es isomorfa
con el conjunto de partes de sus atomos .

18
Ejemplo. Sea un algebra de Boole.
El conjunto de átomos es A = { 2, 3 }
El cardinal de D6 es
Estableceremos el homomorfismo de forma tal que:
es biyectiva.
i.
ii.
iii. Idem al punto anterior
iv.
19
v.
FUNCIONES BOOLEANAS
Si es un Álgebra de Boole llamamos función boolena de n variables a
Definiciones
1. Una variable es un símbolo, el cual puede ser sustituido por un elemento del conjunto .
2. Una función de n variables , es un mapeo o correspondencia que asocia un valor a
, con cada una de las posibles combinaciones de valores que pueden tomar las variables.
3. Una función booleana es cualquier función , para la cual existe una expresión
, tal que:
4. Un literal es el símbolo empleado para una variable o su complemento
Entonces: Si son variables que pueden tomar los valores 1 y 0 entonces: ,
es una función booleana de
La función puede tomar valores 1 ó 0 dependiendo de los valores de las variables.
La importancia de las funciones booleanas radica en que pueden ser representadas esquemáticamente
en un circuito para obtener la “salida” en función del valor de las variables de “entrada”
Representación de Funciones Booleanas

(a) Una función puede ser descrita por una expresión.
Ejemplo:
La función puede evaluarse para las diferentes combinaciones de valores que tomen las variables.
Se ilustra la evaluación de la función para

20
(b) Una función puede ser descrita por una tabla de verdad.
Una tabla de verdad despliega todas las posibles combinaciones de valores de las variables y el valor
asociado de la función.
Por ejemplo, para la expresión del punto a):
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
(c) Esquema Lógico. Un diagrama empleando símbolos estandarizados para las funciones lógicas.
Para la tabla del punto b):

xy
xz f
x
z
Por ejemplo:
La tabla de verdad correspondiente es:
Prof. Lic. que

Observe Christian L. Staple
se listan todas las combinaciones posibles de los
21
valores de las entradas x1, x2 y x3. Para un conjunto determinado
de entradas, el valor de la salida y se calcula rastreando el flujo a
través del circuito.
Definición Se dice que dos circuitos combinatorios, cada uno con entradas x1, . . . , xn y una sola salida,
son equivalentes sí, siempre que los circuitos reciban las mismas entradas, producen las mismas
salidas. Es decir, si sus expresiones booleanas son iguales.
Ejemplo
Son equivalentes debido a que tienen las mismas tablas de verdad, pero hay que tener en cuenta que
en las gráficas de los circuitos se ve que pueden no tener el mismo número de compuertas.
Toda función lógica puede expresarse en forma canónica, es decir:

Como una sumatoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de producto
lógico (estos términos se llaman MINTERMS)
O como una productoria de términos en los cuales aparecen todas sus variables en forma de suma
lógica (estos términos se llaman MAXTERMS).
En ambos casos la función se dice expresada en forma canónica y sus términos (ya sean minterms o
maxterms se llaman términos canónicos).

22
Un minitérmino en los símbolos es una expresión booleana de la forma
, donde cada es
Un minitérmino es en definitiva un término en el que intervienen todas las variables o sus

complementos multiplicados entre sí. En definitiva es la conjunción de todos los literales o sus
complementos.
Ejemplos
es un minitermino de 3 variables
no es un minitermino de 3 variables
es un minitermino de 2 variables
Una expresión booleana de n variables están en forma normal disyuntiva o en forma canónica de
minitérminos si es de la forma siguiente:
donde cada es
Es decir esta expresada como una SUMA de minitérminos.
Ejemplos
Una expresión booleana de n variables dada en forma canónica de minitérminos se dice completa si
tiene elementos 2n minitérminos.
Si está dada en forma canónica de minitérminos, entonces la forma canónica completa
de minitérminos es

23
Expresar una función Booleana en forma canónica de minitérminos o forma normal disyuntiva
Ejemplo 1 (A partir de una función partiendo de una expresión que no es FND )
Sea y se desea encontrar la forma normal disyuntiva de f (FND).

Recordemos que podemos usar todas las propiedades válidas en un Álgebra de Boole
por propiedad distributiva
Aunque esto representa la expresión booleana como una combinación de términos de la forma ,
ésta no es la forma normal disyuntiva pues todos los símbolos no están contenidos en cada
uno de los términos. Esto se soluciona fácilmente de la siguiente manera:
ya que el es elemento neutro para
Ahora vamos a reemplazar el y usar la definición de complemento, en el primer término con x2 y en

el segundo término con x1:
Por propiedad distributiva
Conmutando y asociando convenientemente obtenemos:
El primer y tercer término son iguales por lo que utilizando idempotencia:
que corresponde a la forma normal

disyuntiva de f (o forma canónica en minitérminos)
Ejemplo 2
por Ley de De Morgan

24
propiedad distributiva
por conmutat. y asociat. y =0B
por idempotencia
Ya que y es elemento neutro para
Por idempotencia
Ejemplo 3 A partir de una tabla
1 1 1 0
Necesitamos una expresión que valga 1 cuando o
1 1 0 1
cuando . Esta expresión puede ser
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
Un maxitérmino en los símbolos es una expresión booleana de la forma
, donde cada es

25
Un maxitérmino es una disyunción o suma lógica en el que intervienen todas las variables o sus
complementos sumadas entre sí.
Ejemplos
es un maxitérmino de 3 variables
no es un maxitérmino de 3 variables
es un maxitérmino de 2 variables
Una expresión booleana de n variables están en forma normal conjuntiva o en forma canónica de
maxitérminos si es de la forma siguiente:
donde cada es
Es decir esta expresada como un PRODUCTO de maxitérminos.
Ejemplos
Una expresión booleana de n variables dada en forma canónica de maxitérminos se dice completa si
tiene elementos 2n maxitérminos.
Si está dada en forma canónica de maxitérminos, entonces la forma canónica completa
de minitérminos es
Ejemplo: expresar como productos de maxitérminos

26
ya que es el neutro para
ya que
Y como el primer factor es igual al último, por idempotencia
CIRCUITOS LOGICOS
Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En cada
instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor
en su salida, 0 o 1. Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo,
un voltaje nulo y no nulo en un conductor.
Veamos ahora las definiciones:
1) Una compuerta Y (AND) acepta y como datos de entrada, en donde y son bits, y se
produce un dato de salida que se denota , en donde:
2) Una compuerta O (OR) acepta y como datos de entrada, en donde y son bits; se produce
un dato de salida que se denota , en donde:

27
3) Una compuerta NO (NOT) o inversor acepta x como dato de entrada, en donde es un bit, y se
produce un dato de salida que se denota , en donde:
4) Compuertas NOR y NAND Las compuertas NOR y NAND no son básicas. Una compuerta NOR
equivale a una compuerta OR seguida de una compuerta NOT. Una compuerta NAND equivale a
una compuerta AND seguida de una compuerta NOT.
Ejemplo: Dada la siguiente función Booleana , representar por de

una tabla y su diagrama lógico.

28
Ejemplo: Representar la siguiente función Booleana
Representar la siguiente función Booleana usando solamente la
compuerta NORD
Representar la siguiente función Booleana usando solamente la
compuerta NAND

29

30

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 El conjunto de partes y la relación “inclusión#

ELEMENTOS COMPARABLES En un conjunto ordenado dos elementos si dicen

Ejemplo En el conjunto A y la relación “divide a...”

¿Qué elementos son comparables con 4? 1, 2 y 4 ya que 1|4, 2|4 y 4|4

antisimétrica y transitiva. Ejemplo:

Prof. Lic. Christian L. Staple

Ejemplo: la relación “menor o igual que…”

DIAGRAMA HASSE consiste en la forma simplificada de un digrafo para representar la relación de

, donde los pi son distintos números primos, se llama d(n) a la cantidad de

divisores positivos de n, la cual se obtiene

para saber la cantidad de divisores Para saber la cantidad de divisores

Prof. Lic. Christian L. Staple

con y su con y su HASSE es:

cartesiano. En AXB se define la siguiente relación Se la denomina

Ejemplo Sean conjuntos ordenados, realizar el orden del producto

Ejemplo Sean conjuntos ordenados, realizar el orden del producto

Prof. Lic. Christian L. Staple

¿Es un orden total? NO, ya que

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO Sea un conjunto ordenado, se

 Maximal Un elemento es maximal si ningún

 Minimal Un elemento es minimal si ningún

Sea un conjunto ordenado, se define un subconjunto no vacio

 Cota Superior Las cotas superiores de un

 Cota Inferior Las cotas inferiores de un subconjunto

Prof. Lic. Christian L. Staple

Tomamos como subconjunto B = {d, e, h}

Cotas superiores = {g, i}

Cotas inferiores = {a, b, d }

El supremo es g (no es máximo)

El ínfimo es d (es mínimo de B)

Superior Semirretículo Sea un conjunto ordenado Se dice que es Superior Semirretículo si y

Propiedad O sea que SIEMPRE existen a bya b entre elementos

Ejemplo (D12, |) es red? Construyamos el Hasse

Prof. Lic. Christian L. Staple

Como todos tienen ínfimo y supremo, entonces es red

Ejemplo Sea un conjunto ordenado, siendo

¿Es red? … no ¿Por qué?

Ejemplo: ¿Es red?... sí ¿Por qué?

, y tiene por ínfimo a y por supremo

Sea una red. Las operaciones e cumplen:

Prof. Lic. Christian L. Staple

Red Algebraica Una red algebraica es una terna con

Ejemplos de Red Algebraica:

Propiedad Sea una red algebraica . La relación definida en tal que

( o bien ) es una relación de orden.

En la relación definida anteriormente se cumple:

Prof. Lic. Christian L. Staple

EQUIVALENCIA ENTRE LAS DEFINICIONES

SUB RED O SUB RETÍCULO Sea un retículo y , es un subretículo de A sii verifica

Prof. Lic. Christian L. Staple

Entonces L1 es subrretículos de , mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subrretículo porque

Prof. Lic. Christian L. Staple

Ejemplo Sea la siguiente red Analicemos si es complementada.

Por lo tanto es red complementada.

Prof. Lic. Christian L. Staple

Para la red sus complementos son

Como cada elemento del retículo tiene complemento, la red es