República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional
Bolivariana
(UNEFA)
UNEFA – Extensión Guacara
Guacara, Edo. Carabobo

Unidad V:
Reticulados

Prof. Ing. Alexander Zavala Integrantes:

Asignatura: Teoría de Grafos Omer Primera
Carrera: Ing. De Sistemas C.I: 28.456.174

Guacara, marzo 2020.

 Introducción.

La reticulación, tal como ha sido descrita en un artículo anterior,(1) es una de dichas

estrategias y representa una opción para elaborar planes y programas de estudio, que
concibe el fenómeno educativo desde una perspectiva holística, como una totalidad,
entendiendo que las partes no sólo se hallan en interacción y conexión internas y así forman
un todo, sino que éste se crea continuamente a sí mismo cuando sus elementos interactúan
dinámicamente en un cierto contexto. Al abordar el fenómeno educativo, se establece que
presenta una estructura y un proceso definidos por las acciones de sujetos (alumnos,
profesores, técnicos, funcionarios, etc.) que cumplen un papel social y, por lo tanto, están
determinados por las restantes estructuras sociales, pero a la vez son definitorios de ellas.

Los sistemas contienen una estructura, constituida por la descripción y ordenación de

sus elementos, y una función que señala la dirección de las relaciones entre dichos
elementos y la evolución o proceso determinado por éstas. La estructura es la forma del
sistema, es decir, las relaciones entre las partes que conforman una totalidad. Estas
relaciones pueden ser, entre otras de tiempo, jerárquicas o lógicas.

La teoría de grafos se centra sobre todo en estructuras; un grafo es un modelo(*) que nos

permite apreciar diferentes aspectos del fenómeno estudiado, es un conjunto de puntos
(vértices) que conceptualmente representan los elementos del sistema (contenidos,
habilidades, procesos, objetivos, productos, etc.) y de segmentos (ramas o arcos) que los
interconectan, los cuales indican sus relaciones.

Si el grafo tiene una dirección determinada, se llama digrafo y las líneas son flechas. La
figura de un grafo sugiere una red de comunicación o mapa organizador.

Un grafo, más que una estructura geométrica, es una estructura topológica, ya que la
distancia entre los puntos conectados no forma parte de su definición.
 Ordenación parcial.

Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X, que cumple las
propiedades:

 Reflexiva: R es reflexiva si para todo a ∈A aRa.

 Antisimétrica: R es antisimétrica si para todo a, b ∈A, existe aRb y a!=b entonces
bRa no ∈.
 Transitiva: R es transitiva si para todo a, b, c ∈A, existe aRb y bRc entonces ∈aRc.

Conjunto Parcialmente Ordenado.

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o post.

Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) es un par (X, ≤) donde ≤ es un
orden parcial en X.

Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar de "R" para el orden parcial.

Observación:

1. Si (X, ≤) es un c.p.o., dos elementos x, y ∈ X son comparables si x≤y o y≤x.

2. Si todos los pares de elementos de X son comparables entonces se dice que ≤ es un
orden lineal (o total) y que (X, ≤) es un conjunto linealmente ordenado.

Ejemplos:

 El conjunto de los naturales con su orden usual (la relación menor o igual). Este
orden es además un orden total.
 El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es también total.
 Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los naturales. Este orden es también total.
 El conjunto de naturales ordenado por la relación de divisibilidad.

Retículo.
 Diagrama de Hasse del retículo de particiones del conjunto {1, 2, 3, 4}.

En matemáticas, específicamente en álgebra y teoría del orden, un retículo es

una estructura algebraica en un conjunto:  A con una relación binaria: R que es conjunto
parcialmente ordenado y dos operaciones binarias, con la propiedad fundamental de que
toda pareja a , b ∈ A de elementos tiene un único supremo (o extremo superior)
en  A ,(a ,b) ∈ A  y un único ínfimo (o extremo inferior) en  A , inf ( a ,b) ∈ A.

El término «retículo» viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales órdenes.

 
Un ejemplo de retículo es el conjunto de particiones de un conjunto finito, ordenado por
la relación de: es subconjunto.

Definición como Conjunto Ordenado.

En teoría de conjuntos, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el cual, para

cada par de elementos, existen un supremo y un ínfimo, esto es:

Un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) se denomina retículo si satisface las

siguientes propiedades:

Existencia del supremo por pares:

Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene

un supremo: a ∨ b (también conocido como mínima cota superior, o join en idioma
inglés).
Existencia del ínfimo por pares:

Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene

un ínfimo: a ∧ b (también conocido como máxima cota inferior, o meet en idioma
inglés).

El supremo y el ínfimo de a y b se denotan por a ∨ b y a ∧ b, respectivamente, lo que

define a ∨ y ∧ como operaciones binarias. El primer axioma dice que L es
un semirretículo superior; el segundo que L es un semirretículo inferior. Ambas
operaciones son monótonas con respecto al orden: a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 implica que a1∨ b1 ≤
a2 ∨ b2 y a1 ∧b1 ≤ a2 ∧ b2.

Se sigue por inducción matemática que para todo subconjunto finito no vacío de un

retículo existen un supremo y un ínfimo.

Nótese que aún en un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) arbitrario, la existencia de

algún supremo (o ínfimo) z para un subconjunto finito no vacío S de L implica que este
supremo (o ínfimo) z es único, puesto que de existir dos o más cotas superiores (o
inferiores) de S que sean incomparables entre sí, el supremo (o ínfimo) por definición no
existe.

Definición Algebraica.

En álgebra, en sentido inverso, un retículo es un conjunto L, provisto de dos operaciones

binarias ∧ y ∨, tales que para cualesquiera a, b, c en L se cumplen:

a ∨ b=b ∨ a a a ∧ b=b ∧ a las leyes de conmutatividad

a ∨ ( b∨ c )=(a ∨b) ∨c a ∧ ( b∧ c )=(a ∧b)∧c las leyes de asociatividad

a a ∨ ( a ∧b ) =a a ∧ ( a∨ b )=a las leyes de absorción

condiciones de las que se derivan

a a ∨ a=a a ∧ a=a las leyes de idempotencia

Si las dos operaciones satisfacen estas reglas algebraicas, entonces a su vez definen un
orden parcial ≤ en L por la regla siguiente: a ≤ b si y sólo si a ∨ b = b, o,
equivalentemente, a ∧ b = a.
 L, junto con el orden parcial ≤ así definido, sería entonces un retículo en el sentido
antedicho de la teoría del orden.

Inversamente, si se da un retículo (L, ≤) en términos de la teoría del orden, y

escribimos a ∨ b para el supremo de {a, b} y a ∧ b para el ínfimo de {a, b}, entonces
(L, ∧; ∨) satisface todos los axiomas de un retículo definido algebraicamente.
Por tanto L es un semirretículo con respecto a cada operación por separado, es decir,
un semigrupo conmutativo, con idempotencia de cada uno de sus elementos. Las
operaciones interactúan a través de las leyes de absorción.

Al permutar las operaciones se obtiene el retículo dual de L.

Homomorfismos.

La clase de todos los retículos forma una categoría si definimos un homomorfismo entre

dos retículos (L, ∧; ∨) y (N, ∧; ∨) como una función f: L → N tal que:

f ( a∧ b )=f ( a) ∧ f (b) ;
f ( a∨ b )=f ( a) ∨ f (b)f  ;

Para todo a y b en L. Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es también

un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos. Los dos retículos implicados
son entonces isomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian
solamente en la notación de sus elementos.

Cada homomorfismo es una función monótona entre los dos retículos, pero no cada

función monótona da un homomorfismo de retículo: además necesitamos la compatibilidad
con supremos e ínfimos finitos.

Retículos Particulares.

En lo que sigue, por "retículo L" siempre nos referiremos a (L, ∧, ∨).

 Retículo Distributivo:

Un retículo L se denomina distributivo, si sus operaciones son doblemente distributivas:

 a ∨ ( b∧ c )=( a ∨ b ) ∧ ( a ∨b ) , ∀ a , b , c ∈ L y
 a ∧ ( b∨ c )=( a ∧ b ) ∨ ( a ∧b ) , ∀ a , b , c ∈ L.
 Como estos dos juicios son equivalentes entre sí, basta exigir el cumplimiento de una de
las dos leyes distributivas.

 Retículo Modular:

Un retículo L se denomina modular, si se cumple que:

 a ≤ c → a ∨ ( b ∧ c )=( a ∨b ) ∧ c , ∀ a , b , c ∈ L.

Para un retículo L a su vez son equivalentes:

 L es modular.
 a a ≥ c → a ∧ ( b∨ c )=( a ∧ b ) ∨ c , ∀ a , b , c ∈ L .
 a ∨ ( b ∧ ( a ∨ c ) ) =( a ∨b ) ∧ ( a∨ c ) , ∀ a , b , c ∈ L.
 a ∧ ( b ∨ ( a ∧ c ) ) =( a ∧b ) ∨ ( a∧ c ) , ∀ a , b , c ∈ L.

Todo retículo distributivo es modular, pero el juicio inverso no se cumple. Un retículo

no modular siempre contiene al retículo  N 5 como subretículo.

En caso de que la operación ∨ tenga un elemento neutro 0,

 a ∨ 0=a ,

A este se lo denomina el 'elemento cero' del retículo, es único y es el elemento menor

con respecto al orden natural del retículo:

 a a ∧ 0=0 y 0=V .

El retículo se denomina entonces retículo con cota inferior.

En caso de que la operación ∧ tenga un elemento neutro 1,

 a a ∧1=a

A este se lo denomina el 'elemento uno' del retículo. Es único y es el elemento mayor

con respecto al orden natural del retículo:

 aa a ∨1=1 , y
 1=V
El retículo se denomina entonces retículo con cota superior.

El elemento neutral de una de las operaciones es entonces un elemento absorbente de la

otra. Un retículo se denomina acotado si tiene cota superior e inferior, es decir, si ambas
operaciones tienen elemento neutro.

Para un elemento dado a de un retículo acotado, al elemento b con la propiedad:

 a a ∧ b=0 , y
 a a ∨ b=1

Se lo denomina complemento de a. Un retículo acotado, en el que cada uno sus

elementos tiene complemento, se denomina complementado.

Un retículo distributivo complementado se denomina álgebra de Boole o retículo de

Boole; cuando en lugar del complemento solamente existe un así llamado
pseudocomplemento relativo, se habla de una álgebra de Heyting.

 Retículo Completo:

Un retículo L se denomina completo si todo subconjunto (inclusive los subconjuntos

vacío o posiblemente suconjuntos infinitos) tiene un supremo y un ínfimo.

Para cada subconjunto M basta exigir la existencia del supremo, ya que:

 ❑ M ={x ∈ L :( ∀ y ∈ M : x ≤ y )}.

Un elemento a de un retículo completo L se denomina compacto (según una propiedad

similar en topología), si todo subconjunto M de L con:

 aa≤ M

Contiene un subconjunto finito E tal que:

 a≤ E

Un retículo L se denomina algebraico, si es completo y si todo elemento de L es un

supremo de elementos compactos.
 Propiedades.

Todo retículo completo L es acotado, con

 0=L=∅ y
 1=L=∅ .

Todo retículo finito, no vacío L es completo, por lo que también es acotado.

En un retículo distributivo y acotado, el complemento de un elemento a es

único si existe, lo que suele denotarse como ac (particularmente en el caso de
retículos de subconjuntos) o bien ¬a (particularmente en aplicaciones de lógica).

 Demostración: Sean b y c complementos de a, queremos mostrar

que b = c. Ahora se cumple que b = b ∧∧ 1 = b ∧∧ (a ∨∨c) = (b ∧∧ a) ∨∨ 
(b ∧ c) = b ∧ c. Análogamente se muestra que c = b ∧ c, por lo que b = c.

Sin embargo, si el retículo no es distributivo, pueden existir diversos

complementos; va un ejemplo más adelante.
En un retículo distributivo acotado se verifica:

 ¬0 = 1, ¬1 = 0.

Si a tiene un complemento ¬a, entonces también ¬a tiene un complemento,

que es:

 ¬(¬a) = a.

Para otras propiedades de los retículos booleanos véase ese artículo.

 Ejemplos de Retículos.

 Los subconjuntos de un conjunto dado, ordenados por inclusión. El supremo está

dado por la unión y el ínfimo por la intersección de subconjuntos.

 El intervalo unidad [0, 1] y la recta real extendida, con el orden total familiar y los
usuales supremo e ínfimo.

 Los enteros no negativos, ordenados por divisibilidad. El supremo viene dado por

el mínimo común múltiplo y el ínfimo por el máximo común divisor.

 Los subgrupos de un grupo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por
el subgrupo generado por la unión de los grupos y el ínfimo viene dado por la
intersección.

 Los submódulos de un módulo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado

por de la suma de submódulos y el ínfimo por la intersección.

 Los ideales de un anillo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por la

suma de ideales y el ínfimo por la intersección.
 Los conjuntos abiertos de un espacio topológico, ordenados por la inclusión. El
supremo viene dado por la unión de conjuntos abiertos y el ínfimo por el interior de
la intersección.

 los subconjuntos convexos de un espacio vectorial real o complejo, ordenado por la

inclusión. El ínfimo viene dado por la intersección de conjuntos convexos y el
supremo por la clausura convexa de la unión.
  Las topologías en un conjunto, ordenadas por la inclusión. El ínfimo viene dado por
la intersección de topologías, y el supremo por la topología generada por la unión de
las topologías.

 El retículo de todas las relaciones binarias transitivas en un conjunto.

 El retículo de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto; la relación de

equivalencia ~ se considera ser más pequeño (o "más fino") que ≈ si x~y implica
siempre x≈y.

El teorema de Knaster-Tarski establece que el conjunto de puntos fijos de una función

monótona en un retículo completo es asimismo un retículo completo.

El retículo de submódulos de un módulo y el retículo de los subgrupos normales de un

grupo tienen la propiedad especial que x ∨ (y ∧  (x ∨ z)) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) para
todo x, y y z en el retículo. Un retículo con esta propiedad se llama un retículo modular. La
condición de la modularidad puede también ser establecida como sigue: Si x ≤ z entonces
para todo y tenemos la identidad x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z.

Distributividad.

Diagramas de Hasse de dos típicos retículos no-distributivos.

El retículo diamante, M3.

El retículo pentágono, N5.

Un retículo se llama distributivo si ∧ distribuye a ∨, es decir, x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ 

(x ∧ z). Equivalentemente, ∨ distribuye  ∧. Todos los retículos distributivos son modulares.
Dos tipos importantes de retículos distributivos son los conjuntos totalmente ordenados y
las álgebras booleanas (como el retículo de todos los subconjuntos de un conjunto dado). El
retículo de los números naturales, ordenados por divisibilidad, es también distributivo.
Otras leyes comunes de distributividad (especialmente la ley de distributividad completa)
se dan en el artículo sobre distributividad en teoría del orden.

Dos ejemplos fundamentales de retículos no distributivos son el pentágono, N 5 y M 3 

que se obtiene de agregarle un elemento mínimo y un máximo a la anticadena de tres
elementos. Obviamente si hacemos esto con una anticadena de n elementos, obtendremos el
retículo  M n que tampoco es distributivo. Los anteriores ejemplos son fundamentales en la
medida en que cualquier retículo no distributivo está caracterizado por contener como
subretículo a una copia de M 3 o de N 5.

Nociones Importantes de la Teoría de Retículos.

En lo siguiente, sea L un retículo. Definimos algunas nociones de la teoría del orden que
son de importancia particular en teoría de retículos.

Un elemento x de L se llama supremo-irreducible si y sólo si:

 x = a ∨ ∨b implica x = a o x = b para cualquier a, b en L,

 si L tiene un 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Cuando la primera condición se generaliza a supremos arbitrarios Va i, x se

llama totalmente supremo-irreducible. La noción dual se llama ínfimo-irreducibilidad.
A veces uno también utiliza los términos ∨-irreducibles y ∧-irreducibles, respectivamente.

Un elemento x de L se llama supremo-primo si y sólo si:

 x ≤ a ∨ b implica x  ≤ a o x ≤ b,

 Si L tiene 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Una vez más esto se puede generalizar para obtener la noción totalmente supremo-
prima y dualizar para ínfimo-primo. Cualquier elemento supremo-primo es también
supremo-irreducible, y cualquier elemento ínfimo-primo es también ínfimo-irreducible. Si
el retículo es distributivo el inverso es también verdad.

Otras nociones importantes en teoría de retículos son ideales y su noción dual filtro.

Ambos términos describen subconjuntos especiales de un retículo (o de cualquier conjunto
parcialmente ordenado en general). Los detalles se pueden encontrar en los artículos
respectivos.
 Conclusión.

Uno de los principales problemas en la elaboración de planes y programas de estudio es

el establecimiento de criterios para determinar cuáles contenidos deben ser incluidos en
ellos, cómo seleccionarlos de la gran masa de conocimientos que se han generado hasta la
actualidad, cómo estructurarlos y cómo presentarlos para su comunicación, considerando el
nivel de un determinado ciclo educativo, sus relaciones con otros niveles, el espacio
temporal que ocupa dentro del 0sistema educativo y su relación con el desarrollo de los
estudiantes, cuyo aprendizaje se trata de propiciar como intención fundamental de la
escuela.

Los intentos de responder a las cuestiones anteriores han generado la búsqueda de

estrategias conceptuales y metodológicas que permitan abordar los problemas de prefigurar
las acciones educativas, considerando la mayor cantidad posible de elementos que inciden
en ellas, así como sus relaciones.

Para concebir al fenómeno educativo de esta manera, la reticulación echa mano de la

noción de sistema, entendido como un conjunto de unidades o elementos relacionados y
conectados para formar un todo, donde la idea principal es el orden.
 Bibliografía

https://sites.google.com/site/teoriadegrafosingenieriaen/unidad-v-
reticulados

https://es.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%ADculo_(matem%C3%A1ticas)

https://sites.google.com/site/unefagrafos/unidad-5

https://www.buenastareas.com/ensayos/Reticulados-Ordenamiento-De-
Los-Elementos-Teor%C3%ADa/7260909.html

https://es.scribd.com/doc/96973928/Unidad-v-Reticulados

https://www.scienceinschool.org/es/content/el-ordenamiento-de-los-
elementos-el-dise%C3%B1o-cambiante-de-la-tabla-peri%C3%B3dica