Conjunto S
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2018
Lógica y Teoría de conjuntos
Teoría de conjuntos
- Conjuntos parcialmente
ordenados
- Conjuntos totalmente
ordenados
- Conjuntos ordenados,
propiedades
- Definición de segmento
- Lema de Zorn
Lógica y Teoría de conjuntos
I. PARTE TEÓRICA
1. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS
Definición:
Un orden parcial en un conjunto A es una relación ℛ en A.
i. Reflexiva, es decir, (a,a) ∈ ℛ para todo a ∈ A.
ii. Antisimétrica, esto es, (a,b) ∈ ℛ y (b,a) ∈ ℛ implican a = b.
iii. Transitiva, es decir, (a,b) ∈ ℛ y (b,c) ∈ ℛ implican (a,c) ∈ ℛ.
Si una relación ℛ en A define un orden parcial en A, entonces (a,b) ∈ ℛ se denota por
a≾b
y se lee “ a anterior a b “.
Ejemplos:
Observación:
- Nótese que un conjunto parcialmente ordenado consiste en un conjunto A y una
relación de tipo particular ℛ en A; por esta razón, un conjunto parcialmente
ordenado se denota a veces como par ordenado (A, ℛ) o (A, ≾).
- En relación con los conjuntos parcialmente ordenados se emplean, además, las
notaciones siguientes:
a ≺ b significa a ≾ b y a ≠ b ; léase “ a estrictamente anterior a b “.
b ≿ a significa a ≾ b ; léase “ b supera a “.
Definición:
Dos elementos a y b de un conjunto parcialmente ordenado se dicen no comparables si
a≾b y b≾a
es decir, si ninguno de ellos precede al otro.
Teorema:
Si una relación ℛ en un conjunto A es reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces la
relación recíproca ℛ -1 es también reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Es decir, que si ℛ define un orden parcial en A, entonces ℛ -1 también define un orden
parcial en A, que se llama el orden inverso.
Ejemplo:
- Sea N, los números naturales, ordenado por “x es múltiplo de y “. Entonces N
no está totalmente ordenado, pues 4 y 7 no son comparables, por ejemplo.
Pero el conjunto M = { 2, 4 ,8 ,…,2n ,… } , si es un subconjunto totalmente
ordenado de N.
- Considérese el orden parcial en W = { a, b, c, d, e } definido por el diagrama
Definición:
Sea A un conjunto ordenado tal que cada subconjunto de A tiene un primer elemento.
A se dice entonces conjunto bien ordenado.
En particular, todo conjunto A bien ordenado es totalmente ordenado. Pues si a, b ∈ A,
el subconjunto {a, b} de A tiene un primer elemento, que, por tanto, debe ser anterior
al otro, y entonces dos elementos cualesquiera de A son comparables.
Los siguientes teoremas resultan directamente de la anterior definición.
Teorema:
Todo subconjunto de un conjunto bien ordenado es bien ordenado.
Teorema:
Si A es bien ordenado y B es isomorfo a A, entonces B es bien ordenado.
7. ELEMENTOS LÍMITE:
Un elemento b de un conjunto ordenado A se llama siguiente de un
elemento a ∈ A, y el a se llama precedente del b, si a ≺ b y no existe ningún
elemento c ∈ A tal que
𝑎 ≺𝑐 ≺ 𝑏 .
Teorema:
Todo elemento de un conjunto bien ordenado bien ordenado tiene un siguiente,
excepto el último elemento.
Definición:
Se llama elemento límite de un conjunto bien ordenado, a un elemento distinto del
primero y que no tiene precedente.
8. SEGMENTO:
Para 𝑥 ∈ 𝐴
𝑆𝑒𝑔(𝑥) ≔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∶ 𝑦 < 𝑥}
11.AXIOMA DE ELECCIÓN:
El axioma de elección es fundamental para la matemática y, en particular para la teoría
de conjuntos. Este axioma de apariencia inocente, tiene como consecuencia algunos de
los resultados más poderosos e importantes de la matemática.
Axioma de elección:
El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos, no es vacío.
También:
Axioma de elección:
Hay una función de elección para toda familia no vacía de conjuntos no vacíos.
El axioma de elección es equivalente al siguiente postulado:
Postulado de Zermelo:
Sea { Ai }i∈𝐼 una familia no vacía de conjuntos disjuntos no vacíos. Existe entonces un
subconjunto B de ∪i∈𝐼 Ai tal que la intersección de B y cada conjunto Ai consta de un
elemento.
Lema de Zorn:
El lema de Zorn es uno de los más importantes instrumentos de la matemática, es una
consecuencia del axioma de elección. El lema de Zorn establece la existencia de cientos
tipos de elementos, si bien no se da ningún procedimiento constructivo para hallar tales
elementos.
- Sea A un conjunto no vacio parcialmente ordenado tal que todo subconjunto
totalmente ordenado tiene un mayorante en A. A contiene entonces un
elemento matximal por lo menos.
Lógica y Teoría de conjuntos
(1)
(2) (3)
Lógica y Teoría de conjuntos
COTA INFERIOR:
Sea (𝐴, ≤) un conjunto ordenado y B está incluido en A y 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 es una cota inferior si ∀𝑏 ∈ 𝐵: 𝑥 ≤ 𝑏
MÁXIMO DE UN CONJUNTO:
Sea (𝐴, ≤) un conjunto ordenado y B está incluido en A y 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 es el máximo de un conjunto si 𝑥 ∈ 𝐵 y es una cota superior de 𝐵
MÍNIMO DE UN CONJUNTO:
Sea (𝐴, ≤) un conjunto ordenado y B está incluido en A y 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 es el máximo de un conjunto si 𝑥 ∈ 𝐵 y es una cota inferior de 𝐵
SUPREMO DE UN CONJUNTO:
Sea (𝐴, ≤) un conjunto ordenado y B está incluido en A y 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 es el supremo de B si x es la mínima de las cotas superiores de B
ÍNFIMO DE UN CONJUNTO:
Sea (𝐴, ≤) un conjunto ordenado y B está incluido en A y 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 es el ínfimo de B si x es la máxima de las cotas inferiores de B
NÚMEROS ORDINALES
Un número ordinal un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado.
De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados.
- Dado un conjunto bien ordenado A. la familia 𝜆 de los conjuntos bien ordenados
isomorfos a A se llama numero ordinal de A y se escribe:
𝜆 = 𝑜𝑟𝑑(𝐴)
- El numero ordinal de cada uno de los conjuntos bien ordenados
𝑖𝑖. 𝜆 = 𝜇 si A es isomorfo a B
𝑖𝑖𝑖. 𝜆 > 𝜇 si A es más largo que B
𝑖𝑣. 𝜆 ≤ 𝜇 si 𝜆 < 𝜇 o 𝜆 = 𝜇
𝑣. 𝜆 ≥ 𝜇 si 𝜆 > 𝜇 o 𝜆 = 𝜇
Adición ordinal
- Sean 𝜆 𝑦 𝜇 dos números ordinales tales que 𝜆 = 𝑜𝑟𝑑(𝐴) 𝑦 𝜇 = 𝑜𝑟𝑑(𝐵),
siendo A y B disjuntos. Entonces
𝜆 + 𝜇 = 𝑜𝑟𝑑(𝐴; 𝐵)
a. La operación de adición en los números ordinales no es conmutativo.
"𝜆 + 𝜇" 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 "𝜇 + 𝜆"
b. La operación de adicion en los números ordinales es asociativo.
(𝜆 + 𝜇) + 𝜈 = 𝜆 + (𝜇 + 𝜈)
c. El ordinal 0 es el elemento aditivo neutro.
𝜆+0= 0+𝜆 =𝜆
Multiplicación ordinal
- Sean 𝜆 𝑦 𝜇 dos números ordinales tales que 𝜆 = 𝑜𝑟𝑑(𝐴) 𝑦 𝜇 = 𝑜𝑟𝑑(𝐵),
siendo A y B disjuntos. Entonces
𝜆𝜇 = 𝑜𝑟𝑑({𝐴𝑥𝐵})
𝜆(𝜇𝜈) = (𝜆𝜇)𝜈
𝜆(𝜇 + 𝜈) = 𝜆𝜇 + 𝜆𝜈
III. EJERCICIOS
1) La relación en N, los números naturales, definida por “ x divide a y “ es un
orden parcial.
a. Insertar el símbolo correcto, ≺, ≻ o II ( no comparable), entre cada par
de números:
i. 2_____8
ii. 18____24
iii. 9_____3
iv. 5_____15
b. Decir si cada uno de los siguientes subconjuntos de N es totalmente
ordenado:
i. {24, 2, 6}
ii. {3, 15, 5}
iii. {15, 5, 30}
iv. {2, 8, 32, 4}
v. {1, 2, 3, …}
vi. {7}
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
SOLLUCIÓN:
IV. APLICACIONES
A. Lista de aplicaciones
Debido a que los temas presentados son meramente abstractos, las aplicaciones, o
mejor dicho su utilidad se ven reflejadas en la construcción de Definiciones siguientes o
herramienta de pruebas de algunos teoremas importantes en cursos avanzados de
matemáticas.
2. Lema de Zorn
De la definición de dicho lema Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que
toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al
menos un elemento maximal.
Considerando este lema y su forma equivalente, como axioma de elección, se
usara para demostrar una estructura algebraica ideal:
“Todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal.”
+ 1 0 * 1 0
1 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0
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B. Desarrollo de la aplicación
Puertas lógicas
Generalmente son dispositivos electrónicos que tienen funciones booleanas. Pueden
sumar, multiplicar, negar, etc. en función de las propiedades lógicas que posean.
V. BIBLIOGRAFÍA
[1]Lipschutz. 1991.Teoria de conjuntos y temas afines. Chile. McGraw-Hill.
[2]http://www.eco.uc3m.es/docencia/matematicasi/adjuntos/relaciones_
de_orden.pdf
[3]http://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/TeoriaRelaci
onesOrden.pdf