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CLASE 5-Inducción
CLASE 5-Inducción
CLASE 5-Inducción
Inducción Completa
P(n): n se cae
2) Paso inductivo
h
h (h + 1)
HI) para n = h
i =1
i=
2
h +1
(h + 1) (h + 2 )
TI ) para n = h + 1 i=
i =1 2
Demostración
h +1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + ........... + h + (h + 1)
i =1
ℎ+1
𝑖
𝑖=1
h +1 h
i = i + ( h + 1)
i =1 i =1
h +1
h ( h + 1)
i =1
i=
2
+ ( h + 1) por hipótesis
h +1
h ( h + 1) + 2 ( h + 1)
i =1
i= =
2
=
h +1
( h + 1)( h + 2 ) Resulta entonces que es válida
i=
i =1 2 para todo número natural n
Ejemplo: Demostrar que 2n ≥ 2n + 1 si n ≥ 3
1) Base inductiva para n = 3 8>7 es verdadero
2) Paso inductivo
HI) para n = h 2h ≥ 2h + 1
TI ) para n = h + 1 2h+1 ≥ 2(h +1)+ 1
Demostración
2h +1 = 2 2h = 2h + 2h (2h + 1) + (2h + 1)
Por HI 2 ( 2 h + 1)
h
2(h + 1) + 2h 2(h + 1) + 1 ( 2 )
h 3
2) Paso inductivo
HI) para n = h h3 – h = 3 k, k IN0
Demostración ( h + 1 )3 – ( h + 1 ) = h3 + 3 h2 + 3 h + 1 – h – 1
= h3 – h + 3 h2 + 3 h
= 3 k + 3 h2 + 3 h por H.I.
= 3 ( k + h2 + h ) = 3 k´
siendo k´ = ( k + h2 +h ) IN0
Resulta entonces que es válida para todo número natural n