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    Guía 2 - Inducción

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    Bryan Alexis
    Este documento presenta 19 problemas de inducción matemática para ser demostrados. Los problemas involucran funciones recursivas, desigualdades, sumatorias y series. Se pide usar inducción simple, completa e inductiva para probar fórmulas, propiedades y que ciertas expresiones se cumplen para cualquier valor natural n.

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    Bryan Alexis
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    Este documento presenta 19 problemas de inducción matemática para ser demostrados. Los problemas involucran funciones recursivas, desigualdades, sumatorias y series. Se pide usar inducción simple, completa e inductiva para probar fórmulas, propiedades y que ciertas expresiones se cumplen para cualquier valor natural n.

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    Algebra 1

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    Este documento presenta 19 problemas de inducción matemática para ser demostrados. Los problemas involucran funciones recursivas, desigualdades, sumatorias y series. Se pide usar inducción simple, completa e inductiva para probar fórmulas, propiedades y que ciertas expresiones se cumplen para cualquier valor natural n.

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    de 2

    Algebra I, MBI

    Prof. Heraldo González S

    Guía de ejercicios Nº 2: Inducción Matemática

    1) Sea f una función definida por f (0) = 0 f (1) = 1 , f (n) = 5 f (n − 1) − 6 f (n − 2) si


    n ∈ N, n ≥ 2
    Demuestre que f (n) = 3 n − 2 n se cumple para todo valor de n en N usando
    Inducción completa

    2) Sea f una función definida por f (1) = 3, f (2) = 5 , f (n) = 3 f (n − 1) − 2 f (n − 2) si


    n ∈ N, n ≥ 3
    Demuestre que f (n) = 2 n + 1 se cumple para todo valor de n en N

    3) Sea f una función definida por f (0) = 0 , f (n) = 2 f (n − 1) si n ∈ N


    Usando Inducción simple demuestre que f (n) = 2 n − 1 se cumple para todo valor
    de n en N

    4) Demuestre que si n personas, n ≥ 2 , están en una cola de forma que la primera


    persona en la cola es una mujer y la ultima es un hombre, en alguna posición de la
    cola hay una mujer inmediatamente delante de un hombre

    5) Demuestre que n rectas distintas que pasan por un mismo punto del plano
    dividen a este en 2n regiones

    6) Considere la sucesión (a i ) tal que a i = 4i − 3 . Demuestre que la suma de los n


    primeros términos de la sucesión es igual a n(2n − 1) para cualquier valor del
    natural n

    n
    7) Demuestre que ∑ 2i = n(n + 1) se cumple para todo
    i =1
    valor de n en N

    1 1 1 1
    8) El k-ésimo numero armónico se define por H k = + + + ... +
    1 2 3 k
    n
    Demuestre que H 2 n ≥ 1 + en cierto para todo natural
    2

    9) Demuestre: ∀n ∈ N , ∀a ∈ R, a > −1 se cumple (1 + a) n ≥ 1 + na

    10) Demuestre: ∀n ∈ N se cumple n < 2 n

    11) Demuestre: ∀n ∈ N , n ≥ 2 se cumple n 2 > n + 1

    UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 1


    FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMÁTICA YC.C.
    .
    .
    Algebra I, MBI
    Prof. Heraldo González S

    12) Encuentre el menos natral n, a partir del cual la desigualdad 2 n +1 < 3 n . Justifique
    el resultado razonando por Inducción

    1 1 1 13
    13) Demuestre que para todo natural n, n ≥ 2 se cumple: + + ... + >
    n +1 n + 2 2n 14
    1 1 1
    Indicación. + >
    2k + 1 2k + 2 k + 1

    14) Demuestre que cualquier entero positivo puede escribirse en la forma


    5a + 7b; a, b ∈ Z

    n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1)


    15) Demuestre: 14 + 2 4 + 3 4 + ... + n 4 = , para todo natural n
    30

    n(n + 1)(n + 2)
    16) Demuestre: 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) = , para todo natural n
    3

    n(n + 1)(n + 2)(n + 3)


    17) Demuestre:, 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = para
    4
    todo natural n

    18) Conjeture una formula para


    1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) , y demuestre la validez de
    tal formula en los naturales

    ab n +1 − a
    2 n
    19) Dados a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 1 demuestre que a + ab + ab + ... + ab = ,
    b −1
    ∀n ∈ N

    UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 2


    FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMÁTICA YC.C.
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