Induccion Completa Mat 2

Repartido 3 – Inducción completa y sumatoria
Definición:
Conjunto de los números naturales: son aquellos que normalmente utilizamos para
contar, se representan con el símbolo N y sus elementos son el 0, 1, 2,….10, 11, 12,…
Propiedades de la adición:
Propiedad de clausura de la adición:
∀ m∈ N ,n ∈ N , la suma de elos(m+n)∈ N
Propiedad asociativa:
∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple ( m+n ) + p=m+(n+ p)
Propiedad conmutativa:
∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que m+ n=n+m
Existencia del neutro de la adición:
Existe un elemento de N, que anotamos 0 (cero) tal que:
∀ m∈ N , se cumple m+ 0=0+ m=m
Propiedad cancelativa de la adición:
∀ m∈ N ,n ∈ N , sim+ p=n+ p →m=n
Propiedades de la multiplicación:
Propiedad de clausura de la multiplicación:
∀ m∈ N ,n ∈ N , la suma de elos(m . n)∈ N
Propiedad conmutativa de la multiplicación:
∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que m. n=n . m

Propiedad asociativa de la multiplicación:
∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple ( m . n ) . p=m.(n . p)
Existencia de neutro bilateral de la multiplicación:
Existe un elemento de N, que anotamos 1 (uno) tal que:
∀ m∈ N , se cumple m.1=1. m=m
Elemento de absorción bilateral de la multiplicación:
∀ m∈ N , se cumple m. 0=0 .m=0
Propiedad Hankeliana:
∀ m∈ N ,n ∈ N , a . b=0 ↔ m=0 n=0
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición:
∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple ( m+n ) . p=m . p+ n. p
Orden – relación mayor
Definición: diremos que m>n ↔∃ k ∈ N , k ≠ 0 tal que m=n+ k
Propiedad transitiva:
∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que si m>n y n> p →m> p
Monotonía de la adición:
∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple que si m> n →m+ p>n+ p
Monotonía de la multiplicación:
∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple que si m> n →m . p> n . p
Definición de sustracción:
Sea a>b , c=a−b↔ c +b=a
Definición de división:
Para cada par de números a y b, b>0, realizar la división entera de a entre b significa
hallar dos números c y r tal que se cumple:
 a = b.c + r
 r<b
Teorema:
Todo numero natural es mayor o igual a 1 o es cero
Teorema:
∀ m∈ N ,n ∈ N , sim>n → m≥ n+1
Conjunto inductivo: decimos que un conjunto H de números naturales es inductivo si

se cumple:
 0∈H
 ∀x, x∈H → (x+1) ∈ H
Principio de Inducción Completa:
Todo conjunto de números naturales que sea inductivo es igual a N
H N ,tal que :
{n ∈ H → ( n+10 ∈) ∈HH → H =N
1) Demostrar por inducción completa las siguientes igualdades:
i) 0 + 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n(n+1) ∀n∈N

ii) 1 + 3 + 5 + 7+ ….+ 2(n-1) = n2 ∀n∈N, n≥1
iii) 13 + 21 + 29 + … + (13+8n) = 4n2 + 17n + 13
2) Desarrollar las siguientes sumatorias y calcular el valor numérico en los casos que es
posible:
i=9
i) ∑ (2 i−4)
i=5
i=3
ii) ∑ (i3−5)
i=0
i=h+2
iii) ∑ (i+ 1)2
i=h
i=2(h+1 ) i=2h
iv) ∑ ( 1+ i ) − ∑ (1+i )
2 2
1 1
3) Completar
i=120 …… …..
i) ∑ ( 3i+2 )=∑ ( 3 i+ 2 )−∑ ( 3i+2)
1 1 …..
i=50 35 …..
ii) ∑ ( i+ 2 )=∑ ( i+2 ) +∑ (i+2)
4 5 …..
i=h+1 … .. …..
iii) ∑ 3 i=∑ 3i+ ∑ 3 i
0 o i=h
4) Expresa con el símbolo de sumatoria:
i) 1+3+5+…..+103 iv) 9+13+17+…..+89

ii) 1+4+9+25+…+121 v) 5+8+11+….+3n-1
iii) ½ + 2/3 + ¾ + ….+ 21/22
5) Demostrar por inducción completa:

n
i) ∑ (6 i +1 )=n (3 n+ 4 ) n ≥ 1
1
n 2 2
n ( n+1 )
ii) ∑i = 4
3
n
6) a) Demostrar por I.C. ∀n∈N, n≥1 ∑ ( 4 i−1 )=n ( 2n+1 )
1
60 80
b) Calcular: i) ∑ (4 i−1) ii)∑ (4 i−1)
1 21
n
7) Sea ∑ ( a i −i )=n ( n+1 )
2 2
a) Hallar a sabiendo que la igualdad se cumple para n=1

b) Para el a hallado demostrarla igualdad por I.C.
n
8) a) Hallar a y b sabiendo que ∑ ( ai+ b )=10 n +13 n se verifica para n=1 y n=2
2
c) Para los valores hallados demostrar la igualdad para todo n natural, n≥1
200
d) Calcular: ∑ (ai +b)
101
n
e) Resolver: ∑ ( ai+ b )=n −62 n
3
9) Demostrar por I.C.

˙
a) 24 n−1=15
b) 82 n −1=3̇

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Repartido 3 – Inducción completa y sumatoria

Propiedad de clausura de la adición:

∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple ( m+n ) + p=m+(n+ p)

∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que m+ n=n+m

Existencia del neutro de la adición:

Existe un elemento de N, que anotamos 0 (cero) tal que:

∀ m∈ N , se cumple m+ 0=0+ m=m

Propiedad cancelativa de la adición:

∀ m∈ N ,n ∈ N , sim+ p=n+ p →m=n

Propiedad de clausura de la multiplicación:

∀ m∈ N ,n ∈ N , la suma de elos(m . n)∈ N

Propiedad conmutativa de la multiplicación:

∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que m. n=n . m

Existencia de neutro bilateral de la multiplicación:

Existe un elemento de N, que anotamos 1 (uno) tal que:

∀ m∈ N , se cumple m.1=1. m=m

Elemento de absorción bilateral de la multiplicación:

∀ m∈ N , se cumple m. 0=0 .m=0

∀ m∈ N ,n ∈ N , a . b=0 ↔ m=0 n=0

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición:

∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple ( m+n ) . p=m . p+ n. p

Orden – relación mayor

Definición: diremos que m>n ↔∃ k ∈ N , k ≠ 0 tal que m=n+ k

∀ m∈ N ,n ∈ N , se cumple que si m>n y n> p →m> p

∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple que si m> n →m+ p>n+ p

∀ m∈ N ,n ∈ N , p ∈ N se cumple que si m> n →m . p> n . p

Sea a>b , c=a−b↔ c +b=a

Todo numero natural es mayor o igual a 1 o es cero

Conjunto inductivo: decimos que un conjunto H de números naturales es inductivo si

Principio de Inducción Completa:

Todo conjunto de números naturales que sea inductivo es igual a N

i) 0 + 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n(n+1) ∀n∈N

4) Expresa con el símbolo de sumatoria:

i) 1+3+5+…..+103 iv) 9+13+17+…..+89

5) Demostrar por inducción completa:

a) Hallar a sabiendo que la igualdad se cumple para n=1

9) Demostrar por I.C.

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