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    Pa1 22 23

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    Alfonso García
    Este documento presenta una primera prueba de autoevaluación de álgebra para un curso de ingeniería industrial. Contiene 5 preguntas sobre determinantes de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y modelado de redes de distribución usando ecuaciones.

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    Álgebra (ETSI Industriales)

    Curso 2022-2023

    Primera prueba de autoevaluación

    1. Sean a, b ∈ R y
     
    1 3 2 −5
    1 0 1 8 
     1 −a 0 1  ∈ M4×4 .
    A= 

    b 5 3 a
    Sabiendo que det A = 39, calcule los siguientes determinantes:
    (a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(AAt )
       
    −1 −3 −2 5 2 6 4 −10
     1 0 1 8  −1 0 −1 −8 
    (d) det 
     1 −a
     (e) det 
     1 −a

    0 1 0 1 
    b 5 3 a b 5 3 a
         
    1 0 1 8 1 0 1 8 −2 −9 −5 23
    1 3 2 −5 

     1 −a 0 1

     (h) det  1 −a 0 1 
      
    (f) det 
     1 −a 0 (g) det  1 3 2 −5  1 3 2 −5 
    1  
    b 5 3 a b 5 3 a b 5 3 a

    2. Siendo A y B las matrices


       
    a11 a12 a13 a21 a22 a23
     a21 a22 a23   a11 a12 a13 
    A=
     a31
    ,B =  ,
    a32 a33   a31 + a41 a32 + a42 a33 + a43 
    a41 a42 a43 2a41 2a42 2a43
    determine la matriz M que verifica M A = B, sean cuales sean los coeficientes aij ∈ R,
    con 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j ≤ 3.
    Sugerencia: recuerde que cada operación elemental por filas corresponde a multiplicar
    por la izquierda por una matriz elemental por filas.

    1
    3. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y estudie si es posible que sea compatible
    determinado el sistema obtenido al suprimir una de sus ecuaciones.


     x + 3y + 5z = 76
     6x + 8y − z = 90


    x + 2y + 4z = 59
    3x − y + 16z = 157




    6x + 7y − 2z = 80

    4. Estudie si la siguiente matriz A ∈ M6×6 tiene inversa y calcúlela, en caso afirmativo.


    1 0 −1 0 0 0
     
    0 0 1 0 0 0 
     
    0 1 0 0 0 0 
    A=  0 0 0 1 0 −1 

     
     0 0 0 0 −1 1 
    0 0 0 0 1 0
    5. La figura 1 representa un nudo de distribución de agua potable. El nudo está formado
    por seis estaciones de bombeo y varias tuberías de sentido único (que aparecen en color
    azul). En las tuberías de entrada y salida del nudo se indica el caudal (en m3 /h).

    Figura 1: Nudo de distribución de agua.

    (a) Plantee el sistema de ecuaciones que modela la condición caudal de entrada = caudal
    de salida en cada estación de bombeo.
    (b) Clasifique el sistema del apartado (a). ¿Cómo interpreta esta clasificación?
    (c) ¿Cuales son los caudales máximos posibles en las tuberías E → F y A → B?
    (d) Se necesita cerrar por reparación la tubería que va de la estación D a la E, ¿cree que
    es posible mantener los mismos caudales de entrada y salida del nudo empleando el resto
    de tuberías?
    (e) Se necesita cerrar por reparación la tubería que va de la estación E a la F , ¿cree que
    es posible mantener los mismos caudales de entrada y salida del nudo empleando el resto
    de tuberías?

    2
    (f) Suponga que el nudo hubiera venido dado por la figura 2. Sin hacer ninguna cuenta,
    ¿de qué tipo sería el sistema de ecuaciones correspondiente?

    Figura 2: Otro nudo de distribución de agua.

    (g) Suponga ahora que la figura 1 representa un nudo de distribución de tráfico entre
    autopistas, que A, B, C, D , E y F son pequeñas rotondas, que se representan en azul
    carriles de sentido único y que los números en las vías de entrada y salida del nudo son
    vehículos por hora. ¿Cree que seguirían siendo válidas las conclusiones de los apartados
    (a), (b), (c), (d) y (e)?

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