Tarea #10

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
TAREA N°10
CURSO: DINAMICA DE GASES
ESTUDIANTE: GÁLVEZ FERMÍN MIGUEL ÁNGEL
CICLO: VI
DOCENTE
ING. COTRINA SAAVEDRA CARLOS JAVIER
LAMBAYEQUE -PERÚ
2022
INDICE
1. Obtenga la formulación matemática para la velocidad del sonido ............. 4
2. Fundamente que geometría debe tener la tobera (convergente o divergente)
en el caso de que se quiera incrementar la velocidad del flujo (caso: subsónico y
supersónico) .............................................................................................................. 10
Bibliografía ................................................................................................................ 16
INDICE DE FIGURAS
figura 1 Propagación de una pequeña onda de presión a lo largo de un ducto. ........... 5
figura 2 Volumen de control que se mueve con la pequeña onda de presión en un ducto.
..................................................................................................................................... 5
figura 3 La velocidad del sonido varía con la temperatura y con el fluido. ................. 8
figura 4 El número de Mach puede ser diferente a temperaturas distintas inclusive si
la velocidad de vuelo es la misma. .............................................................................. 9
figura 5 Obtención de la forma diferencial de la ecuación de energía para un flujo
isentrópico.................................................................................................................. 11
figura 6 No pueden alcanzarse velocidades supersónicas al añadir una sección
convergente adicional a una tobera convergente. Cuando se hace esto solamente se
traslada la sección trasversal sónica corriente abajo y se disminuye la razón del flujo
de masa. ..................................................................................................................... 13
figura 7 Variación de las propiedades de flujo en las toberas aceleradoras y toberas
desaceleradoras (difusores) subsónicas y supersónicas. ............................................ 15

1. Obtenga la formulación matemática para la velocidad del sonido
Para obtener la expresión para la velocidad de sonido en un medio, considere un
conducto lleno de fluido en reposo, como se muestra en la figura 1. Un émbolo
colocado en el conducto se mueve a la derecha con una velocidad infinitesimal
constante 𝑑𝑉 y crea una onda sónica. El frente de onda se mueve a la derecha a
través del fluido a la velocidad del sonido c y separa el fluido adyacente al pistón
que ya está en movimiento del fluido que aún está en reposo. El fluido a la
izquierda del frente de onda experimenta un cambio infinitesimal de sus
propiedades termodinámicas, mientras que el fluido a la derecha del frente de onda
mantiene sus propiedades termodinámicas originales, como se muestra en la
figura 1.
Para simplificar el análisis, considere un volumen de control que encierra al frente
de onda y que se mueve con él, como se muestra en la figura 2. Para un observador
que viaja con el frente de onda, el fluido a la derecha parecería moverse hacia el
frente de onda con una velocidad c y el fluido a la izquierda parecería alejarse del
frente de onda con una velocidad 𝒄 − 𝒅𝑽. Por supuesto, el observador pensará
que el volumen de control que encierra el frente de onda (y a él mismo o ella
misma) está en reposo, y el observador es testigo de un proceso estacionario

figura 1 Propagación de una pequeña onda de presión a lo largo de un ducto.
Fuente: (Cengel & Cimbala, 2006)
figura 2 Volumen de control que se mueve con la pequeña onda de presión en un

ducto.
El balance de masa para este proceso de flujo estacionario de una entrada y una
salida puede expresarse como:
𝑚̇𝑑𝑒𝑟 = 𝑚̇𝑖𝑧𝑞
𝜌𝐴𝑐 = (𝜌 + 𝑑𝜌)𝐴(𝑐 − 𝑑𝑉)
Al cancelar el área de la sección transversal A y despreciar los términos de orden
superior; esta ecuación se reduce a:
𝑐 𝑑𝑝 − 𝜌 𝑑𝑉 = 0 … … … (𝑎)
Si no hay transferencia de energía en forma de calor o trabajo a través de las
fronteras del volumen de control durante este proceso estacionario, y el cambio
en la energía potencial puede despreciarse, entonces el balance de energía para el
proceso estacionario, se convierte en:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎(𝑒𝑒𝑛𝑡 ) = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑒(𝑒𝑠𝑎𝑙 )
𝑐2 (𝑐 − 𝑑𝑉 )2
ℎ+ = ℎ + 𝑑ℎ +
2 2
𝑑ℎ − 𝑐 𝑑𝑉 = 0 … … … (𝑏)
Donde se ha despreciado el término de segundo orden (𝑑𝑉 )2. La amplitud de la
onda sónica que se presenta normalmente es muy pequeña y no causa ningún
cambio apreciable en la presión y la temperatura del fluido. Por eso, la
propagación de una onda sónica no es solamente adiabática, también es casi
isentrópica.
Usando la siguiente relación termodinámica:
𝑑𝑃
𝑇 𝑑𝑠 = 𝑑ℎ −
𝜌
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑑𝑠 = 0
𝑑𝑃
𝑑ℎ = … … … (𝑐)
𝜌
Al combinar las ecuaciones 𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐 obtenemos la expresión para la velocidad del
sonido.
(𝑐) 𝑒𝑛 (𝑏)
𝑑𝑃
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 , 𝑑ℎ =
𝜌
𝑑ℎ − 𝑐 𝑑𝑉 = 0
𝑑𝑃
− 𝑐 𝑑𝑉 = 0
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝑉 = … … … (∗)
𝑐𝜌
→ 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 (∗) 𝑒𝑛 (𝑎)
𝑐 𝑑𝑝 − 𝜌 𝑑𝑉 = 0
𝑑𝑃
𝑐 𝑑𝑝 − 𝜌 =0
𝑐𝜌
𝑑𝑃
𝑐2 = , ( 𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝑑𝜌
𝑂 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛:
𝜕𝑃
𝑐2 = ( ) … … … (1)
𝜕𝜌 𝑠
Al usar relaciones de propiedades termodinámicas obtenemos:
𝜕𝑃
𝑐2 = 𝑘 ( ) … … … (2)
𝜕𝜌 𝑇
Donde k es la razón de calores específicos del fluido. Observe que la velocidad
del sonido en un fluido es una función de las propiedades termodinámicas de éste.
Cuando el fluido es un gas ideal (𝑃 = 𝜌 𝑅 𝑇), la diferenciación en (2) es:
𝜕𝑃
𝑐2 = 𝑘 ( )
𝜕𝜌 𝑇
𝜕 (𝜌 𝑅 𝑇 )
𝑐2 = 𝑘 [ ]
𝜕𝜌 𝑇
𝑐2 = 𝑘 𝑅 𝑇
𝑐 = √𝑘 𝑅 𝑇 … … … (3)
Observe que la constante del gas R tiene valor fijo para un gas ideal en particular
y que la razón de calores específicos k de un gas ideal es, a lo mucho, una función
de la temperatura, se observa que la velocidad del sonido en un gas ideal dado es
función de la temperatura solamente, figura 3.
figura 3 La velocidad del sonido varía con la temperatura y con el fluido.

Un segundo parámetro importante en el análisis de flujo compresible es el número
de Mach (𝑀𝑎), llamado así en honor al físico austriaco Ernst Mach (1838-1916).
Es el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el
fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo fluido, en el mismo
estado:
𝑉
𝑀𝑎 = … … … (4)
𝑐
Observe que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, la cual
depende del estado del fluido. Por lo tanto, el número de Mach de un avión que
vuela a velocidad constante a través de aire quieto puede ser diferente en regiones
distintas (figura 4).
figura 4 El número de Mach puede ser diferente a temperaturas distintas

inclusive si la velocidad de vuelo es la misma.
Con frecuencia, el régimen de flujos se describe en términos del número de Mach:
Flujo Sónico cuando 𝑀𝑎 = 1
Flujo Subsónico cuando 𝑀𝑎 < 1
Flujo Supersónico cuando 𝑀𝑎 > 1
Flujo Hipersónico cuando 𝑀𝑎 >> 1
Flujo Transónico cuando 𝑀𝑎 ≅ 1

2. Fundamente que geometría debe tener la tobera (convergente o divergente)
en el caso de que se quiera incrementar la velocidad del flujo (caso: subsónico y
supersónico)
Se comienza esta investigación con la búsqueda de relaciones entre presión,
temperatura, densidad, la velocidad, área de flujo y número de Mach para flujos
isentrópicos unidimensionales. Se considera el balance de masa para un proceso
de flujo estacionario:
𝒎̇ = 𝝆 𝑨 𝑽 = 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Se busca el diferencial y se divide la ecuación resultante entre la razón de flujo de
masa y se obtiene:
𝒅𝝆 𝒅𝑨 𝒅𝑽
+ + = 𝟎 … … … (𝟓)
𝝆 𝑨 𝑽
Al despreciar la energía potencial, el balance de energía para un flujo isentrópico
sin interacciones de trabajo se puede expresarse de forma diferencial como
(figura 5):
𝒅𝑷
+ 𝑽 𝒅𝑽 = 𝟎 … … … (𝟔)
𝝆
figura 5 Obtención de la forma diferencial de la ecuación de energía para un
flujo isentrópico.
Esta relación es también la forma diferencial de la ecuación de Bernoulli cuando
se desprecian los cambios en la energía potencial, la cual es una forma de
conservación de la cantidad de movimiento para volúmenes de control de flujo
estacionario.Cuando se combinan las ecuaciones (5) y (6) se tiene:
𝑑𝐴 𝑑𝑃 1 𝑑𝜌
= ( 2 − ) … … … (7)
𝐴 𝜌 𝑉 𝑑𝑃
Ahora utilizamos la ecuacion (1) reordenada, y la reemplazamos en la ecuacion
(7):
𝜕𝑃
𝑐2 = ( )
𝜕𝜌 𝑠
𝜌
𝜕𝜌 1
( ) = 2
𝜕𝑃 𝑠 𝑐
𝑑𝐴 𝑑𝑃
= (1 − 𝑀𝑎2 ) … … … (8)
𝐴 𝜌𝑉 2
Ésta es una relación importante para flujo isentrópico en ductos porque describe
la variación de la presión en función de la variación del área de flujo. Note que
𝑨, 𝝆 𝒚 𝑽 son cantidades positivas. Para flujos subsónicos (𝑀𝑎 < 1), el término
(1 − 𝑀𝑎2 ) es positivo; por eso 𝑑𝐴 y 𝑑𝑃 deben tener el mismo signo. Esto es, la
presión del fluido debe aumentar si el área de flujo del ducto aumenta, y debe
disminuir si el área de flujo del ducto disminuye. Por lo tanto, a velocidades
subsónicas la presión disminuye en ductos convergentes (toberas aceleradoras
subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores subsónicos o toberas
desaceleradoras subsónicas).
En un flujo supersónico (𝑀𝑎 > 1) el término (1 − 𝑀𝑎2 ) es negativo y, por lo
tanto, 𝑑𝐴 y 𝑑𝑃 deben tener signos opuestos. Esto es, la presión del fluido debe
aumentar si el área de flujo del ducto disminuye, y debe disminuir si el área del
flujo del ducto aumenta. Por lo tanto, a velocidades supersónicas la presión
disminuye en ductos divergentes (toberas aceleradoras supersónicas) y disminuye
en ductos convergentes (difusores supersónicos o toberas desaceleradoras
supersónicas).
Otra relación importante para el flujo isentrópico de un fluido se obtiene cuando
se sustituye 𝝆𝑽 = −𝒅𝑷/𝒅𝑽 de la ecuación (6) en la ecuación (8):
𝑑𝐴 𝑑𝑉
= (1 − 𝑀𝑎2 ) … … … (9)
𝐴 𝑉
Esta ecuación determina la forma de una tobera aceleradora o de un difusor de
flujos isentrópicos subsónicos o supersónicos. Al notar que 𝑨 y 𝑽 son cantidades
positivas, se llega a la siguiente conclusión:
Para flujo subsónico (𝑴𝒂 < 𝟏), 𝑑𝐴/𝑑𝑉 < 0
Para flujo supersónico (𝑀𝑎 > 1) , 𝑑𝐴/𝑑𝑉 > 0
Para flujo sónico (𝑀𝑎 = 1), 𝑑𝐴/𝑑𝑉 = 0

Por lo tanto, la forma apropiada de una tobera depende de la velocidad más alta
deseada relativa a la velocidad de sonido. Para acelerar un fluido debe usarse una
tobera convergente a velocidades subsónicas y una tobera divergente a
velocidades supersónicas. Las velocidades encontradas en la práctica en
aplicaciones más comunes están muy por abajo de la velocidad sónica, y así es
natural imaginar una tobera aceleradora como un ducto convergente. Sin embargo,
la velocidad más alta que puede alcanzarse mediante una tobera convergente es la
velocidad sónica, la cual ocurre a la salida de la tobera convergente. Si se extiende
aún más una tobera convergente disminuyendo el área de flujo con la esperanza
de acelerar el fluido a velocidades supersónicas, como se muestra en la figura 6,
se tendrá una gran decepción. Ahora, la velocidad sónica ocurrirá a la salida de la
extensión convergente, en vez de la sección transversal correspondiente a la salida
de la tobera convergente original, y la razón de flujo de masa a través de la tobera
convergente extendida disminuirá debido a la reducción del área.
figura 6 No pueden alcanzarse velocidades supersónicas al añadir una sección

convergente adicional a una tobera convergente. Cuando se hace esto solamente
se traslada la sección trasversal sónica corriente abajo y se disminuye la razón
del flujo de masa.
Con base en la ecuación (8), la cual es una expresión de los principios de
conservación de masa y energía, debe añadirse una sección divergente a una
tobera convergente para acelerar el fluido a velocidades supersónicas. El resultado
es un tobera convergente-divergente. El fluido pasa primero por una sección
subsónica (convergente), donde el número de Mach aumenta mientras que el área
de flujo de la tobera disminuye, y entonces alcanza el valor de la unidad en la
garganta de la tobera. El fluido continúa acelerándose mientras pasa por una
sección supersónica (divergente). Al notar que 𝒎̇ = 𝝆 𝑨 𝑽 para un flujo
estacionario, se observa que la gran disminución en la densidad hace posible la
aceleración en la sección divergente. Un ejemplo de este tipo de flujo es el de
gases de combustión calientes a través de una tobera aceleradora en una turbina
de gas.
El proceso opuesto ocurre a la entrada de un motor de un avión supersónico. El
fluido se desacelera al pasar primero por un difusor supersónico, el cual tiene el
área que disminuye en la dirección de flujo. En teoría, el flujo alcanza un número
de Mach igual a la unidad en la garganta del difusor. Después el fluido se
desacelera en un difusor subsónico, el cual tiene un área de flujo que se incrementa
en la dirección de flujo como se muestra en la figura 7.

figura 7 Variación de las propiedades de flujo en las toberas aceleradoras y
toberas desaceleradoras (difusores) subsónicas y supersónicas.
Bibliografía
Cengel, Y. A., & Cimbala, J. M. (2006). Mecánica de Fluidos. Fundamentos y
Aplicaciones. Mexico: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES,
S.A. DE C.V.

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ESTUDIANTE: GÁLVEZ FERMÍN MIGUEL ÁNGEL

ING. COTRINA SAAVEDRA CARLOS JAVIER

1. Obtenga la formulación matemática para la velocidad del sonido ............. 4

2. Fundamente que geometría debe tener la tobera (convergente o divergente)

en el caso de que se quiera incrementar la velocidad del flujo (caso: subsónico y

figura 1 Propagación de una pequeña onda de presión a lo largo de un ducto. ........... 5

figura 4 El número de Mach puede ser diferente a temperaturas distintas inclusive si

la velocidad de vuelo es la misma. .............................................................................. 9

figura 5 Obtención de la forma diferencial de la ecuación de energía para un flujo

figura 6 No pueden alcanzarse velocidades supersónicas al añadir una sección

convergente adicional a una tobera convergente. Cuando se hace esto solamente se

figura 7 Variación de las propiedades de flujo en las toberas aceleradoras y toberas

desaceleradoras (difusores) subsónicas y supersónicas. ............................................ 15

Para obtener la expresión para la velocidad de sonido en un medio, considere un

conducto lleno de fluido en reposo, como se muestra en la figura 1. Un émbolo

colocado en el conducto se mueve a la derecha con una velocidad infinitesimal

constante 𝑑𝑉 y crea una onda sónica. El frente de onda se mueve a la derecha a

izquierda del frente de onda experimenta un cambio infinitesimal de sus

propiedades termodinámicas, mientras que el fluido a la derecha del frente de onda

mantiene sus propiedades termodinámicas originales, como se muestra en la

Para simplificar el análisis, considere un volumen de control que encierra al frente

que el volumen de control que encierra el frente de onda (y a él mismo o ella

misma) está en reposo, y el observador es testigo de un proceso estacionario

figura 2 Volumen de control que se mueve con la pequeña onda de presión en un

salida puede expresarse como:

𝜌𝐴𝑐 = (𝜌 + 𝑑𝜌)𝐴(𝑐 − 𝑑𝑉)

Al cancelar el área de la sección transversal A y despreciar los términos de orden

superior; esta ecuación se reduce a:

Si no hay transferencia de energía en forma de calor o trabajo a través de las

fronteras del volumen de control durante este proceso estacionario, y el cambio

en la energía potencial puede despreciarse, entonces el balance de energía para el

proceso estacionario, se convierte en:

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎(𝑒𝑒𝑛𝑡 ) = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑆𝑎𝑙𝑒(𝑒𝑠𝑎𝑙 )

Donde se ha despreciado el término de segundo orden (𝑑𝑉 )2. La amplitud de la

onda sónica que se presenta normalmente es muy pequeña y no causa ningún

cambio apreciable en la presión y la temperatura del fluido. Por eso, la

propagación de una onda sónica no es solamente adiabática, también es casi

Usando la siguiente relación termodinámica:

→ 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 (∗) 𝑒𝑛 (𝑎)

Al usar relaciones de propiedades termodinámicas obtenemos:

Donde k es la razón de calores específicos del fluido. Observe que la velocidad

del sonido en un fluido es una función de las propiedades termodinámicas de éste.

Cuando el fluido es un gas ideal (𝑃 = 𝜌 𝑅 𝑇), la diferenciación en (2) es:

de la temperatura, se observa que la velocidad del sonido en un gas ideal dado es

función de la temperatura solamente, figura 3.

figura 3 La velocidad del sonido varía con la temperatura y con el fluido.

Un segundo parámetro importante en el análisis de flujo compresible es el número

Es el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el

fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo fluido, en el mismo

distintas (figura 4).

figura 4 El número de Mach puede ser diferente a temperaturas distintas

Con frecuencia, el régimen de flujos se describe en términos del número de Mach:

Flujo Sónico cuando 𝑀𝑎 = 1

Flujo Subsónico cuando 𝑀𝑎 < 1

Flujo Supersónico cuando 𝑀𝑎 > 1