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La Hipérbola
La Hipérbola
La Hipérbola
Dados dos puntos fijos 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 llamados focos, (𝑭𝟏 ≠ 𝑭𝟐 ) separados por una distancia
𝟐𝒄 y dada una constante 𝒂 tal que 𝟎 < 𝒂 < 𝒄; se define la hipérbola 𝓗 como el
conjunto de todos los puntos 𝑷(𝒙, 𝒚) tales que la diferencia a los puntos fijos 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 ,
en valor absoluto, es igual a 𝟐𝒂. Es decir:
| ‖𝑷 − 𝑭𝟏 ‖ − ‖𝑷 − 𝑭𝟐 ‖ | = 𝟐𝒂
ELEMENTOS:
Centro de la hipérbola:
𝑪 = (𝒉, 𝒌)
Vértices de la hipérbola:
𝑽𝟏 ˄ 𝑽𝟐
Ejes imaginarios de la hipérbola:
𝑽𝟏 ˄ 𝑽𝟐
Focos de la hipérbola:
𝑭𝟏 ˄ 𝑭𝟐
Eje Focal:
𝑿′
Eje Transverso o eje transversal (de longitud 𝟐𝒂):
𝑽𝟏 𝑽𝟐
Eje Conjugado (de longitud 𝟐𝒃):
𝑩𝟏 𝑩𝟐
Distancias:
𝒅(𝑪, 𝑭𝟏 ) = 𝒅(𝑪, 𝑭𝟐 ) = 𝒄
Lados rectos (de longitud 𝟐𝒃𝟐 /𝒂):
𝑴𝑵 ˄ 𝑹𝑺
Directrices (distancia entre ellas es 𝟐𝒂𝟐 /𝒄):
𝒂𝟐 𝒂𝟐
𝑳𝟏 : 𝒙 ′ = − ˄ 𝑳𝟐 : 𝒙 ′ =
𝒄 𝒄
Excentricidad:
𝒄
𝒆= >𝟏
𝒂
En el sistema 𝑿′𝒀′ :
𝑩𝟏 = (𝟎, 𝒃)′ 𝑩𝟐 = (𝟎, −𝒃)′ 𝑭𝟏 = (−𝒄, 𝟎)′ 𝑭𝟐 = (𝒄, 𝟎)′ 𝑪 = (𝟎, 𝟎)′
𝓒: Es la circunferencia con centro en 𝑪, radio 𝒄 y pasa por los focos 𝑭𝟏 ˄ 𝑭𝟐 .
Propiedades de la hipérbola
1. La “propiedad focal” de una hipérbola 𝓗 es análoga a la de la elipse y de la parábola,
es decir, “La normal a la hipérbola en cualquier punto Q de ella, forma ángulos iguales
con el segmento 𝑭𝟏 𝑸 y el segmento 𝑭𝟐 𝑸 .
𝒅 ( 𝑽𝟏 ; 𝑪 ) = 𝒅 ( 𝑽𝟐 ; 𝑪 ) = 𝒂
De la figura:
𝑑 (𝑉1 , 𝐹2 ) − 𝑑 (𝑉1 , 𝐹1 ) = 2𝑎 … (1) (2)−(1)
˄ → 𝑑 (𝑉1, 𝐹1 ) = 𝑐 − 𝑎 … (3)
𝑑 (𝑉1 , 𝐹2 ) + 𝑑 (𝑉1, 𝐹1 ) = 2𝑐 … (2)
De la figura:
𝑑 (𝑉1, 𝐹1 ) = 𝑑 (𝐹1 , 𝐶 ) − 𝑑(𝑉1 ; 𝐶 ) = 𝑐 − 𝑑(𝑉1 , 𝐶 ) → 𝑑 (𝑉1 , 𝐹1 ) = 𝑐 − 𝑑 (𝑉1 , 𝐶 ) … (4)
Reemplazando (4) en (3):
𝑐 − 𝑑 (𝑉1 , 𝐶 ) = 𝑐 − 𝑎 → 𝑑(𝑉1 , 𝐶 ) = 𝑎 → 𝑑 (𝑉2 , 𝐶 ) = 𝑎
Lados rectos de la hipérbola. Son cuerdas perpendiculares al eje focal que pasan por
los focos. En la figura los lados rectos son los segmentos 𝑴𝑵 y 𝑹𝑺.
En toda hipérbola se cumple que:
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
En el triángulo rectángulo de la figura se puede observar que se cumple este resultado.
Observaciones. Pueden presentarse los siguientes casos:
Solución
Consideremos que 2ℎ es la longitud del lado recto, entonces, de la figura siendo 𝑅 ∈ 𝓗 se tiene
por definición:
Pitágoras 𝑏2
𝑑(𝑅, 𝐹1 ) − 𝑑(𝑅, 𝐹2 ) = 2𝑎 ↔ √4𝑐 2 + ℎ2 − ℎ = 2𝑎 → ℎ =
𝑎
Con lo cual se demuestra que la longitud del lado recto 𝑅𝑆 de toda hipérbola 𝓗 es:
2𝑏 2
‖𝑅𝑆‖ =
𝑎
𝒂
𝒊) 𝒄 = 𝒂𝒆 𝒊𝒊) 𝒅(𝑪, 𝑳𝟏 ) = 𝒅(𝑪, 𝑳𝟐 ) = 𝒊𝒊𝒊) 𝒆 > 𝟏
𝒆
En efecto
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 → 𝑏2 = 𝑐 2 − 𝑎2 … (1)
Tenemos:
𝑏2
𝑑(𝑅, 𝐹2 ) 𝑎 𝑏2 (1) 𝑐2 − 𝑎2
𝑒= = = → 𝑒= … (2)
𝑑(𝑅, 𝐿2 ) 𝑐 − 𝑑(𝐶, 𝐿2 ) 𝑎[𝑐 − 𝑑(𝐶, 𝐿2 )] 𝑎[𝑐 − 𝑑(𝐶, 𝐿2 )]
También:
𝑐2 − 𝑎2
𝑒= → 𝑎(𝑐 − 𝑎)(𝑒 + 1) = 𝑐2 − 𝑎2 → 𝑐 = 𝑎𝑒
(𝑐 − 𝑎)(𝑒 + 1)
𝑎 𝑒
Así, queda demostrada la parte i:
𝑐 = 𝑎𝑒
𝑐−𝑐+𝑎 𝑎 𝑎
𝑑(𝐶, 𝐿2 ) = = → 𝑑(𝐶, 𝐿2 ) = 𝑙𝑞𝑞𝑑
𝑒 𝑒 𝑒
En forma similar, se procede para demostrar que:
𝑎
𝑑 (𝐶, 𝐿1 ) =
𝑒
Finalmente, siendo:
𝑎>0 𝑐 𝑖 𝑐
𝑐>𝑎 → >1 → 𝑐 = 𝑎𝑒 → 𝑒= > 1 → 𝑒 > 1 𝑙𝑞𝑞𝑑
𝑎 𝑎
En efecto
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
− =𝟏
𝒂𝟐 𝒂𝟐
En toda hipérbola equilátera se tiene que:
𝒄𝟐
𝒂 = 𝒃 y siendo 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 → 𝒄𝟐 = 𝟐𝒂𝟐 → = 𝟐 ↔ 𝒆𝟐 = 𝟐
𝒂𝟐
Luego:
𝒆 = √𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
→ ‖𝐹 ′
⃗ ⊥ ‖ = √(𝑥 ′ − 𝑐 )2 + 𝑦 ′2 → 𝑑(𝑃; 𝐹2 ) = √(𝑥 ′ − 𝑐 )2 + 𝑦 ′2
⃗ + 𝑦 ′𝑢
2 𝑃 ‖ = ‖(𝑥 − 𝑐 )𝑢
→ 𝒅(𝑷; 𝑭𝟐 ) = √(𝒙′ − 𝒄)𝟐 + 𝒚′𝟐 … (3)
𝑑(𝑃; 𝐿2 ):
𝑎
𝑑 (𝑃; 𝐿2 ) = |𝑥 ′ − | … (4)
𝑒
Reemplazando (3) y (4) en (2):
2
2 𝑎2 2 𝑎2
[√(𝑥 ′ − 𝑐 )2 + ′
𝑦 ] = 𝑒 2 |𝑥 ′ − | → (𝑥 ′ − 𝑐 )2 + 𝑦 ′ = 𝑒 2 |𝑥 ′ − |
𝑒 𝑒
Simplificando y considerando que 𝑐 = 𝑎𝑒 y 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 se tiene:
2 2
𝑥′ 𝑦′
− =1
𝑎2 𝑏2
así, la ecuación vectorial de la hipérbola 𝓗 de centro 𝑪, está dada por:
𝟐 𝟐
′
𝒙′ 𝒚′′ ⊥
𝑃 = (𝑥, 𝑦) = 𝐶 + 𝑥 𝑢
⃗ +𝑦 𝑢
⃗ donde 𝓗: 𝟐 − 𝟐 = 𝟏
𝒂 𝒃
Para lo cual:
Vértices:
𝑉1,2 = 𝐶 ± 𝑎𝑢
⃗
Focos:
𝐹1,2 = 𝐶 ± 𝑐𝑢
⃗
Extremos del eje conjugado:
⃗⊥
𝐵1,2 = 𝐶 ± 𝑏𝑢
Directrices:
𝑎
𝐿1,2 : 𝑥 ′ = ±
𝑒
Asíntotas:
𝑏
𝐿′1,2 : 𝑦 ′ = ± 𝑥 ′
𝑎
En efecto
De la ecuación:
2 2
𝑥′ 𝑦′ 𝑏 2
𝓗: 2 − 2 = 1 → 𝑦′ = √𝑎2 − 𝑥′ … (1)
𝑎 𝑏 𝑎
Teoría:
𝑏 ′ |𝑏𝑥 ′ − 𝑎𝑦 ′| |𝑏𝑥 ′ − 𝑎𝑦 ′ |
𝐿′2 : 𝑦 ′ = 𝑥 ↔ 𝐿′2 : 𝑏𝑥 ′ − 𝑎𝑦 ′ = 0 → 𝑑(𝑃, 𝐿′2 ) = =
𝑎 √𝑎2 + 𝑏2 𝑐
𝑏
|𝑏𝑥 ′ − 𝑎𝑦 ′| |𝑏𝑥 ′ − 𝑎. √𝑎2 − 𝑥 ′ 2 | 𝑏
(1)
→ 𝑑 (𝑃, 𝐿′2 ) = =
⏞ 𝑎 = |𝑥 ′ − √𝑎2 − 𝑥 ′2 |
√𝑎2 + 𝑏2 𝑐 𝑐
′2
𝑏 |𝑥 − √𝑎 − 𝑥 | ′
′ 2
2 𝑏 𝑎2
→ 𝑑 (𝑃, 𝐿′2 ) = |𝑥 √ 2 ′
+ 𝑎 −𝑥 = |
𝑐 |𝑥 ′ + √𝑎2 − 𝑥 ′ 2 | 𝑐 |𝑥 ′ + √𝑎2 − 𝑥 ′ 2 |
Luego:
𝑏 𝑎2
𝑑 (𝑃, 𝐿′2 ) = . Así, si 𝑥 ′ → ∞ → 𝑑(𝑃, 𝐿′2 ) → 0
𝑐 |𝑥 ′ + √𝑎2 − 𝑥 ′ 2 |
Notas.
𝒃
1.- En el sistema XY las rectas asíntotas 𝑳′𝟏,𝟐 : 𝒚′ = ± 𝒂 𝒙′ de la hipérbola 𝓗 pasan por el
𝒃
𝑳′𝟏,𝟐 : 𝒚 = 𝒌 ± (𝒙 − 𝒉)
𝒂
𝑩𝟏,𝟐 = (𝒉 ± 𝒃, 𝒌)
Asíntotas:
𝒂
𝑳𝟏,𝟐 : 𝒚 = 𝒌 ± (𝒙 − 𝒉)
𝒃
HIPÉRBOLAS CONJUGADAS
Son hipérbolas que tienen las mismas asíntotas e intercambiados el eje transverso y el
eje conjugado. Así tenemos las hipérbolas conjugadas:
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝒙′ 𝒚′ 𝒚′ 𝒙′
𝓗𝟏 : 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 ˄ 𝓗𝟐 : 𝟐 − 𝟐 = 𝟏
𝒂 𝒃 𝒃 𝒂
Observaciones:
1.- Si en la ecuación de una hipérbola equilátera se tiene que 𝒂 = 𝒃, entonces, se tiene la
hipérbola equilátera:
𝟐 𝟐
𝓗: 𝒙′ − 𝒚′ = 𝒂𝟐
En esta hipérbola se cumple:
1a
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝒂𝟐 → 𝒄 = √𝟐𝒂
1b La pendiente de las asíntotas es igual a 1.
2.- Si se multiplica por -1 el lado izquierdo de la ecuación de una hipérbola conjugada se obtiene
la ecuación de la otra hipérbola y viceversa.
𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝐩𝐨𝐫−𝟏 𝐞𝐥 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫 𝐦𝐢𝐞𝐦𝐛𝐫𝐨 𝒚𝟐 𝒙 𝟐
𝓗𝟏 : − =𝟏 → 𝓗𝟐 : − =𝟏
𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟑𝟔
3.- Método práctico para hallar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola:
𝟐 𝟐
𝒙′ 𝒚′
𝓗𝟏 : 𝟐 − 𝟐 = 𝟏
𝒂 𝒃
Se iguala a cero el primer lado de la ecuación de la hipérbola dada y se despeja 𝑦 ′ . Así:
𝒙 ′ 𝒚′ 𝒃
′𝟐 ′𝟐 ′ ′ ′ ′
− =𝟎 𝒚′ = 𝒙′
𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒂 𝒃 𝒂
− = 𝟎 → ( − ) ( + ) = 𝟎 → ˅ → ˅
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒙 ′ 𝒚′ 𝒃
+ =𝟎 𝒚′ = − 𝒙
𝒂 𝒃 𝒂
Se tienen las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola:
𝒃 𝒃
𝑳𝟏 : 𝒚′ = 𝒙 ˄ 𝑳𝟐 : 𝒚′ = − 𝒙
𝒂 𝒂
Problema 07. Dada la ecuación de la hipérbola:
(𝒙 − 𝟏)𝟐 (𝒚 − 𝟐)𝟐
𝓗: − =𝟏
𝟔𝟒 𝟑𝟔
Determinar las ecuaciones de sus asíntotas y de sus directrices, las coordenadas de sus vértices
y de sus focos y; su excentricidad:
Solución:
De la ecuación de la hipérbola:
𝑎=8 ˄ 𝑏=6 → 𝑐 = 10 además ℎ=1 ˄ 𝑘=2
Determinación de las ecuaciones de las asíntotas:
(𝑥 − 1)2 (𝑦 − 2)2 𝑥−1 𝑦−2 𝑥−1 𝑦−2
− =0 → ( − )( + )=0
64 36 8 6 8 6
𝑥−1 𝑦−2 3
− =0 𝑦 = 2 + (𝑥 − 1) 𝐿1 : 3𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0
8 6 4
→ ˅ → ˅ → ˅
𝑥−1 𝑦−2 3 𝐿2 : 3𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
+ =0 𝑦 = 2 − (𝑥 − 1)
8 6 4
Determinación de las ecuaciones de las directrices:
𝒄
𝒂 𝒆=
𝒂 𝒂𝟐 𝟔𝟒
𝑳𝟏,𝟐 : 𝒙 = 𝒉 ± → 𝑳𝟏,𝟐 : 𝒙 = 𝒉 ± → 𝑳𝟏,𝟐: 𝒙 = 𝟏 ±
𝒆 𝒄 𝟏𝟎
37 −27
→ 𝐿1 : 𝑥 = ˄ 𝐿2 : 𝑥 =
5 5
Determinación de los vértices:
𝑽𝟏 = (𝟗, 𝟐)
𝑽𝟏,𝟐 = (𝒉 ± 𝒂, 𝒌) → 𝑽𝟏,𝟐 = (𝟏 ± 𝟖, 𝟐) → ˄
𝑽𝟐 = (−𝟕, 𝟐)
Determinación de los focos:
𝑭𝟏 = (𝟏𝟏, 𝟐)
𝑭𝟏,𝟐 = (𝒉 ± 𝒄, 𝒌) → 𝑭𝟏,𝟐 = (𝟏 ± 𝟏𝟎, 𝟐) → ˄
𝑭𝟐 = (−𝟗, 𝟐)
Determinación de la excentricidad:
𝒄 𝟏𝟎 𝟓
𝒆= = =
𝒂 𝟖 𝟒
Ejercicio. Dada la ecuación de la hipérbola:
𝓗: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟗 = 𝟎
Determinar las ecuaciones de sus asíntotas y de sus directrices, las coordenadas de sus vértices
y de sus focos y; su excentricidad:
Solución:
𝓗: (𝒚 + 𝟏)𝟐 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔
1.- Para 𝑇 > 0, la relación (5) corresponde a la ecuación canónica u ordinaria de una
hipérbola con eje transverso paralelo al eje X.
2.- Para 𝑇 < 0, la relación (5) corresponde a la ecuación canónica u ordinaria de una
hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y.
Solución:
Dato: una asíntota es:
6 la otra asíntota 6
𝑦= 𝑥 → 𝑦=− 𝑥
5 5
generación de la fórmula para determinar las ecuaciones de las asíntotas:
6 6 6 2 𝑦2 𝑥2
(𝑦 − 𝑥) . (𝑦 + 𝑥) = 0 ↔ 𝑦 2 − ( 𝑥) = 0 ↔ 25𝑦 2 − 36𝑥 2 = 0 ↔ − = 0 … (1)
5 5 5 36 25
Luego, la ecuación de la hipérbola se obtiene de (1) cambiando el cero por el uno, Así:
𝒚𝟐 𝒙𝟐
𝓗: − =𝟏
𝟑𝟔 𝟐𝟓
Comprobando, el punto 𝑃 pertenece a la hipérbola, luego debe satisfacer la ecuación obtenida:
En efecto:
2
𝑦2 𝑥2 (−12)2 (5√3) 144
𝓗: − =1 → − =1 ↔ −3 =1 ↔ 4−3=1 → 1= 1
36 25 36 25 36
Luego la ecuación obtenida para la hipérbola es correcta.
Problema 09. Una hipérbola 𝓗 pasa el punto 𝑃 = (9, −4), Si la ecuación de una de sus asíntotas
3𝑥−35
es 𝑦 = y las coordenadas del centro son número enteros, hallar su ecuación.
8
Solución:
Dato: una asíntota es:
3𝑥 − 35 Por la forma de la ecuación la hipérbola está fuera del origen
𝑦= → 𝑦 =?
8
Arreglando la ecuación de la asíntota para obtener su conjugada:
3𝑥 − 35 35 3 32 3 3
𝑦1 = = − + 𝑥 = − + (𝑥 − 1) = −4 + (𝑥 − 1)
8 8 8 8 8 8
3 la otra asíntota 3
→ 𝑦1 = −4 + (𝑥 − 1) → 𝑦2 = −4 − (𝑥 − 1)
8 8
generación de la fórmula para determinar las ecuaciones de las asíntotas:
3 3
(𝑦 + 4) − (𝑥 − 1) = 0 ˅ ( 𝑦 + 4) + (𝑥 − 1)
8 8
2
3 3 3
→ ((𝑦 + 4) − (𝑥 − 1)) ((𝑦 + 4) + (𝑥 − 1)) = 0 → (𝑦 + 4)2 − ( (𝑥 − 1)) = 0
8 8 8
9 (𝑦 + 4)2 (𝑥 − 1)2
→ (𝑦 + 4)2 − (𝑥 − 1)2 = 0 → − =0
64 9 64
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 4)2
→ − = 0 … (1)
64 9
Luego, la ecuación de la hipérbola se obtiene de (1) cambiando el cero por el uno, Así:
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 4)2
𝓗: − =𝟏
64 9
Comprobando; el punto 𝑃 pertenece a la hipérbola, luego debe satisfacer la ecuación obtenida:
En efecto:
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 4)2 (9 − 1)2 (4 − 4)2
− =1 → − = 1 ↔ 1−0= 1 → 1 =1
64 9 64 9
Luego la ecuación obtenida para la hipérbola es correcta.
Problema10. Dados los puntos 𝐴 = (3, 2), 𝐵, 𝐶 = (8, 12) y 𝐷, de tal forma que los segmentos
𝐴𝐶 y 𝐷𝐵 son las diagonales de un rectángulo y están sobre las asíntotas de una hipérbola 𝓗. Si
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ (𝟒, 𝟑) y los vértices de 𝓗 están sobre los lados 𝐴𝐵 y 𝐷𝐶 del rectángulo, hallar la ecuación
𝑨𝑩
de la hipérbola, sus focos y las ecuaciones vectoriales de sus directrices, sabiendo además que
el eje mayor tiene pendiente positiva.
Solución:
De la figura:
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩
𝑨𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → (𝟓, 𝟏𝟎) = 𝒓(𝟒, 𝟑) + 𝒕(−𝟑, 𝟒)
→ 𝑩 = (𝟏𝟏, 𝟖) → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑩𝑪 = (−𝟑, 𝟒)
Teoría: el centro 𝑷𝟎 del rectángulo
𝑨+𝑪 𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝑷𝟎 = = ( , 𝟕) → 𝑷𝟎 = ( , 𝟕)
𝟐 𝟐 𝟐
Dato:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝟒, 𝟑) 𝟒 𝟑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 ∥ (𝟒, 𝟑) → 𝒖
⃗ = =( , )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖(𝟒, 𝟑)‖ 𝟓 𝟓
Vértices:
Dato:
𝟏𝟏 𝟓√𝟓 𝟒 𝟑 𝟏𝟏 𝟑√𝟓
𝐹1,2 = 𝑃0 ± 𝑐𝑢
⃗ = ( , 𝟕) ± ( , ) = ( , 𝟕) ± (𝟐√𝟓, )
𝟐 𝟐 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐
𝟏𝟏 𝟑√𝟓 𝟏𝟏 𝟑√𝟓
→ 𝑭𝟏 = ( − 𝟐√𝟓, 𝟕 − ) ˄ 𝑭𝟐 = ( + 𝟐√𝟓, 𝟕 + )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
Determinación de los vértices:
𝐵+𝐶 11 3
𝑉2 = = ( , 10) → 𝑉1 = ( , 4)
2 2 2
Determinación de las ecuaciones de las directrices:
𝑎 1 1 𝑎
𝐿1,2 : 𝑥 ′ = ± =± → 𝐿1,2 : 𝑥 ′ = ± ˅ 𝐿1,2 = {(𝑃0 ± 𝑢 ⃗ ⊥}
⃗ ) + 𝑟𝑢
𝑒 2√𝟓 2√𝟓 𝑒
PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE HIPÉRBOLAS
PROBLEMA N° 02. El centro de una hipérbola es el punto 𝐶 = (4, 5) y uno de sus focos es el
punto (8, 5). Si su excentricidad es igual a 2, hallar su ecuación y las longitudes de sus ejes
transverso y conjugado.
Hallar las ecuaciones vectoriales de sus asíntotas y de sus directrices, así como también
determinar el centro y su excentricidad.
𝟐𝟒 𝟕
PROBLEMA N° 06. 𝑭𝟐 = ( , ) es uno de los focos de la hipérbola:
𝟓 𝟓
𝟐 𝟐
𝓗 = {𝑷 = 𝑪 + 𝒙′ 𝒖
⃗ ⊥ + 𝒚′ 𝒖
⃗ : 𝒙′ − 𝟐𝒚′ = 𝟔} ˄ 𝑳𝑫 : 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟓 directriz de 𝑭𝟐
Hallar la ecuación de la parábola con vértice en 𝑭𝟐 que sea tangente a las asíntotas de esta
hipérbola.
PROBLEMA N° 09. Los focos de una hipérbola son los puntos 𝑭𝟏 = (−𝟑, −𝟏) y 𝑭𝟐 = (𝟏, 𝟕) y
una de sus directrices es la recta 𝑳𝑫 : 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟗. Hallar la ecuación vectorial de la hipérbola, la
ecuación de la otra directriz y de sus asíntotas.
PROBLEMA N° 10. La recta 𝐿 = {(−2, 0) + 𝑡(1, 𝑚); 𝑚 > 0} contiene al eje focal de una
hipérbola 𝓗 de vértices 𝑉1 y 𝑉2 , de focos 𝐹1 y 𝐹2 y centro 𝐶. Si 𝑉1 = 𝐿 ∩ eje 𝑋, 𝐶 = 𝐿 ∩ eje 𝑌 y
el punto 𝑃 = (3, −5) forma con los focos un triángulo isósceles recto en 𝑃, hallar la ecuación
vectorial de 𝓗.