Rodriguez Gilberto 4 BPra 4

Fecha:
Práctica N° 6
Título: Probabilidad y
técnicas de conteo.
Nombre:
Probabilidad
y Estadística
Grupo:
Mayo-agosto 2022
TSU Mantenimiento área
Industrial
Docente:
IQ. Juan Javier Hernández Velarde
“Este documento se envía por medios electrónicos para su
revisión de acuerdo con la política ambiental integral del
Sistema de gestión ambiental de la UTJ.”
• Título de la práctica
Probabilidad y técnicas de conteo
• Objetivo
Aprende las maneras matemáticas como sacar la probabilidad, como

sacar las técnicas de conteo, por medio matemáticas.
• Marco teórico
Notación de conjuntos:
Es posible representar gráficamente los conjuntos a través de diagramas de

Venn. Para trabajar con ellos es necesario poder representarlos también
con el lenguaje propio de la matemática.
Se usan los corchetes {} para representar y definir conjuntos. En el interior de

los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto separado
por comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación
gráfica de diagramas de Venn.
Si por ejemplo se quiere definir el conjunto F como el conformado por los

elementos, 1, p, z, y 3 se puede representar de las siguientes formas:
Vacío:
Es el conjunto que carece de elementos. Puesto que lo único que define a

un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.
Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el

conjunto vacío
El universo:
Es la totalidad del espacio y del tiempo, de todas las formas de la materia,

la energía y el impulso, las leyes y constantes físicas que las gobiernan.
SUBCONJUNTO:
Un subconjunto, como su nombre indica, es una subcolección de cualquier

conjunto.
Diagrama de Venn:
Un diagrama de Venn muestra conjuntos de elementos y sus interacciones

por medio de líneas cerradas (círculos), siendo la exterior (cuadrado) la que
representa al conjunto universal (U).
Por tanto, este diagrama se basa en la teoría de conjuntos y es muy habitual

en matemáticas. Además, también ha demostrado ser útil en el llamado
razonamiento diagramático que representa los diferentes conceptos a
través de figuras. Además, permite un análisis visual de esos datos por medio
de las propiedades de conjuntos como la unión o la intersección.
Lo creó el matemático y filósofo inglés John Venn. Este cursó sus estudios en
la Universidad de Cambridge donde, además, también fue profesor. Toda
su trayectoria académica se basó en el estudio de las teorías de conjuntos.
Esto dio lugar a una gran cantidad de conocimiento que se pudo aplicar en
el futuro.
Estos diagramas fueron presentados en 1880 en un trabajo de investigación

de gran repercusión. A su vez, tienen varios antecedentes, como otro similar
creado por George Boole. Sin embargo, fue Leonhard Euler (matemático
suizo) el que incluyó una notación sencilla para representarlos. Una
curiosidad es que la idea de conjunto universal se atribuye a Charles
Dodgson.
Características del diagrama de Venn
Las principales características del diagrama de Venn son:
• Permite ilustrar la relación entre dos o más conjuntos de elementos.

• Cada conjunto de elementos se representa mediante círculos.
• En las intersecciones de los círculos se ubican aquellos elementos que

forman parte de más de un grupo a la vez
• Es una herramienta que se utiliza particularmente en el campo de la

estadística, las matemáticas y la lógica.
Tipos de diagrama de Venn:
Entre los tipos de diagrama de Venn podemos destacar principalmente las

siguientes categorías:
De un conjunto:
Cuenta con dos regiones, la región de los elementos que pertenecen al

conjunto, y la región de los elementos que están fuera del conjunto.
• De dos conjuntos:
Tiene un total de 4 regiones: Las regiones con los elementos que solo
pertenecen al conjunto A o solo al conjunto B, la región de los elementos
que pertenecen a los dos conjuntos (sombreado con el color plomo más
oscuro), y la región donde están los elementos que no pertenecen a ninguno
de los dos conjuntos.
• De tres conjuntos: Siguiendo la lógica de la categoría anterior, tiene

un total de ocho regiones, pues hay cuatro intersecciones (entre dos o entre
los tres conjuntos), tres regiones donde están los elementos que pertenecen
a solo uno de los tres conjuntos, y una región donde se ubican los elementos
que no pertenecen a ningún conjunto.
¿Cómo se hace un diagrama de Venn?:
El proceso para realizarlo es similar al de otros como el CPM. Tenemos que

saber qué queremos y cómo lo vamos a representar. Además, seguir un
orden de pasos puede ayudarnos a la hora de hacer un diagrama de Venn.
Eso sí, lo veremos mucho más claro en el ejemplo final.
• En primer lugar, debemos elegir las diferentes notaciones. Por ejemplo,
si vamos a hacer una representación de dos variables, podría ser círculos y
cuadrados. De esta forma, la primera correspondería al género femenino y
la segunda el masculino.
• Ahora hay que ver otros aspectos como tamaño o color. Este paso es
muy importante, porque de él partiremos para elegir aquellos casos que
sean semejantes. Así, podemos decidir que el tamaño representa la
frecuencia absoluta y el color el área de conocimiento de cierta variable
educativa.
• Por último, debemos decidir cuáles van a ser semejantes. En el

ejemplo anterior, que desarrollaremos al final, podríamos estar interesados
en hombres y mujeres que estudien economía. Es decir, cuadrados y círculos
de un color determinado.
• No hay que olvidar que todo lo que queda fuera de los conjuntos,
pero está dentro del cuadrado que los rodea, serían aquellos casos que no
se han analizado. Por ejemplo, aquellos que estudiaron otras carreras. Toda
la figura conformaría el conjunto universal (U).
Unión:
Es el conjunto que contiene todos los elementos, que pertenecen por lo

menos a uno de los conjuntos A o B:
Intersección:
de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que
contiene los elementos comunes a conjuntos de partida.
Complemento:
Es aquello que se añade a algo para mejorarlo o hacerlo íntegro.

Diferencia:
Cantidad o medida que resulta de comparar dos cantidades distintas o dos

cosas que pueden cuantificarse o medirse.
Probabilidad:
La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento

determinado.
Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar

de la probabilidad de ciertos resultados: qué tan común es que ocurran. Al
análisis de los eventos gobernados por la probabilidad se le llama
estadística.
La probabilidad se utiliza en muchas áreas como las matemáticas, la

estadística, la física, la economía, las ciencias sociales, entre otras. Los
primeros estudios de probabilidad se desarrollaron para resolver problemas
de juegos y es allí donde más se nota su uso, porque te puede servir para
tener más oportunidades de ganar, o para ahorrarnos dinero (al no jugar a
juegos en los que es muy probable perder).
Experimento:
Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona

datos, numéricos o no numéricos.
Espacio muestral:
Un conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de
un experimento se llama espacio muestral y se representa como S. El espacio
muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único
pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos
construir diferentes espacios muestrales.
Los elementos del espacio muestral se llaman puntos muestrales y son los
distintos resultados del experimento.
Evento:
Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado

al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. Pudiendo ser todos
los posibles subconjuntos del espacio muestral
Eventos mutuamente excluyentes:
La definición de eventos mutuamente excluyentes se puede dar de distintas

formas. Para comenzar, se dice que dos eventos son mutuamente
excluyentes o disjuntos si la ocurrencia de cualquiera de los dos excluye la
posibilidad de que suceda el otro. Esto quiere decir que son eventos que no
pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, al lanzar un dado una sola
vez, el resultado de caer en cualquiera de las seis caras excluye que caiga
en cualquiera de las otras cinco. Así, el evento en el que cae 4 y el evento
en el que cae, por ejemplo, 3, son mutuamente excluyentes, ya que el dado
no puede caer en 4 y 3 al mismo tiempo.
Por otro lado, en el campo de la probabilidad se dice que dos eventos son
mutuamente excluyentes siempre que no compartan resultados entre sí. Esto
viene del hecho de que, en probabilidad, se considera un evento como un
conjunto de posibles resultados de un experimento. Se pueden definir
distintos eventos que compartan o no resultados, y aquellos que no
compartan resultados son los que se consideran como mutuamente
excluyentes.
Frecuencia relativa:
Es uno de los tipos de frecuencia estadística que más información nos

proporciona acerca de una variable. Esto es así porque nos permite saber
sobre la porción que representa un valor dado en el conjunto de datos que
estamos manejando.
La frecuencia relativa (fi) de un valor Xi es la proporción de valores iguales a

Xi en el conjunto de datos (X1, X2,…, XN). Es decir, la frecuencia relativa es
la frecuencia absoluta dividida por el número total de elementos N:
Las frecuencias relativas son valores entre 0 y 1, (0 ≤ fi ≤ 1). La suma de las

frecuencias relativas de todos los sujetos es siempre 1. Supongamos que en
el conjunto tenemos k números (o categorías) diferentes, entonces:
Si se multiplica la frecuencia relativa por cien se obtiene el porcentaje (tanto

por cien %).
Probabilidad subjetiva:
Es una medida estadística que indica cuánto de probable es que suceda

un evento basándose en la experiencia de una persona.
Es decir, la probabilidad subjetiva se fundamenta en la opinión de un
experto que valora los posibles resultados y a partir de su conocimiento
determina la probabilidad de ocurrencia de un evento.
La probabilidad subjetiva siempre es un número entre 0 y 1. Cuanto mayor

sea la probabilidad subjetiva, más probable será de que ocurra un evento,
y a la inversa, cuanto menor sea la probabilidad subjetiva, menos probable
será de que suceda el evento.
Ejemplos de probabilidad subjetiva
Vista la definición de probabilidad subjetiva, vamos a ver varios ejemplos de

este tipo de probabilidad para acabar de entender qué significa.
Por ejemplo, si una persona intenta calcular la probabilidad de que mañana

llueva basándose en la experiencia que tiene del clima de esa zona, es una
probabilidad subjetiva porque la persona no está realizando ningún cálculo
matemático, sino que se fundamenta en su intuición.
Otro ejemplo de probabilidad subjetiva es cuando un analista profesional

determina, a partir de su experiencia previa, el porcentaje que tiene un
equipo en ganar un trofeo. En este caso, el analista no está utilizando ningún
modelo matemático para predecir el futuro, sino que su opinión está basada
en su experiencia y su conocimiento del deporte.
Este método de averiguar la probabilidad de ocurrencia de un evento

puede parecer que no sirve, ya que en realidad no se hace ningún cálculo.
Sin embargo, la probabilidad subjetiva es muy útil cuando no existe otro
recurso o cuando es muy difícil hacer un modelo matemático.
Diagrama de árbol:
El diagrama de árbol se puede definir como un esquema que grafica cada
una de las posibles soluciones de un problema, o las diversas acciones
mediante las cuales probablemente se logre alcanzar una meta.
En este sentido, nos ayuda a cuantificar todas las opciones para elegir las
más efectivas, e ir descartando las que impliquen un mayor rango de riesgo.
Además, funciona muy bien para mantener un enfoque claro durante la
evaluación de las posibilidades, sin desviarse del objetivo en cuestión. Por
otra parte, el diagrama de árbol tiene una característica distintiva: su diseño
presenta el problema o la meta en el “tronco”, como eje central, mientras
que todas las medidas potenciales para llegar a él, se ubican en sus
“ramas”, lo cual explica de dónde proviene el nombre de esta herramienta.
Regla de la multiplicativa
La regla de la multiplicación es un proceso que se ocupa cuando se quiere
calcular la probabilidad de que 2 o más sucesos pasen al mismo tiempo,
usando un diagrama de Venn para representar a las probabilidades se
puede observar de manera gráfica lo que se encuentra usando la regla de
la multiplicación.
Como se puede observar en la imagen anterior lo que se busca con la regla

de la multiplicación es la intersección entre 2 o más sucesos de un mismo
espacio muestral, escrito matemáticamente sería “p(a n b)” que quiere
decir “la probabilidad de ‘a’ intersección ‘b’ ”.
Las combinaciones:
Son agrupaciones en las que el contenido importa, pero el orden no.
Si es que no quisiéramos tomar en cuenta las diferentes permutaciones de

los elementos, podemos dividir la expresión de arriba por el número de
permutaciones de r, el cual es r! Este resultado es llamado combinaciones:
Las permutaciones:
Son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos.
Si es que tenemos una colección de n objetos, entonces el número de

maneras que podemos escoger r de ellos es igual a:
La probabilidad condicionada:
es uno de los conceptos clave en Teoría de la Probabilidad. En el tema
anterior se ha introducido el concepto de probabilidad considerando que
la ´única información sobre el experimento era el espacio muestral. Sin
embargo, hay situaciones en las que se incorpora información
suplementaria como puede ser que ha ocurrido otro suceso, con lo que
puede variar el espacio de resultados posibles y consecuentemente, sus
probabilidades. En este contexto aparece el concepto de probabilidad
condicionada. El objetivo es analizar cómo afecta el conocimiento de la
realización de un determinado suceso a la probabilidad de que ocurra
cualquier otro. La probabilidad condicionada tiene una clara interpretación
en espacios muestrales finitos en los que puede aplicarse la regla de
Laplace. Definición. - Sea (Ω, A, P) un espacio probabilístico arbitrario y A un
suceso (A ∈ A) tal que P(A) > 0. Para cualquier otro suceso B ∈ A, se define la
probabilidad condicionada de B dado A o probabilidad de B condicionada
a A como
P(B/A) = P(B ∩ A) P(A) .
Probabilidad conjunta:
Es una medida estadística que indica la probabilidad de que dos sucesos

ocurran al mismo tiempo. La probabilidad conjunta es un número entre 0 y
1. Cuanto más grande sea la probabilidad conjunta, más probable será de
que dos eventos ocurran simultáneamente, y al contrario, cuanto menor sea
la probabilidad conjunta, menos probable será que los dos eventos sucedan
a la vez.
La probabilidad conjunta de dos eventos A y B es igual al producto de la

probabilidad del evento A por la probabilidad del evento B. Por lo tanto, la
fórmula para calcular la probabilidad conjunta de dos sucesos diferentes es
la siguiente:
• Metodología para emplear
Modelo matemático y tradicional.
• Materiales
Lápiz, pluma, cuaderno, hojas, baraja, domino, calculadora, cuaderno,

monedas,
• Desarrollo
• Conclusiones:
Realizamos conteos de forma tradicional y aprendimos a realizar las formas

matemáticas de las probabilidades y las permutaciones y combinaciones
como realizarlas de ambas formas matemática mente y de forma
tradicional.
Referencias bibliográficas:
Estadística, P. Y. (2022, 24 mayo). ▷ ¿Qué es la probabilidad clásica?

(definición y ejemplos). Probabilidad y Estadística.
https://www.probabilidadyestadistica.net/probabilidad-
clasica/#:%7E:text=La%20probabilidad%20cl%C3%A1sica%20es%20una,n%
C3%BAmero%20total%20de%20casos%20posibles.
Estadística, P. Y. (2021, 8 septiembre). ▷ Probabilidad conjunta: definición,

fórmula y ejemplos. Probabilidad y Estadística.
https://www.probabilidadyestadistica.net/probabilidad-
conjunta/#:%7E:text=La%20probabilidad%20conjunta%20de%20dos,la%20pr
obabilidad%20del%20evento%20B.
I. (2021, 27 marzo). Mutuamente Excluyente – Significado, aplicación y

ejemplos. YuBrain. https://www.yubrain.com/matematicas/el-significado-
de-mutuamente-excluyente/
Probabilidad: conceptos básicos (artículo). (2001, 12 septiembre). Khan

Academy. Recuperado 10 de junio de 2022, de
https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-
geometry/probability-basics/a/probability-the-
basics#:%7E:text=La%20probabilidad%20es%20simplemente%20qu%C3%A9,
probabilidad%20se%20le%20llama%20estad%C3%ADstica.
Arias, E. R. (2021, 2 agosto). Diagrama de Venn. Economipedia.
https://economipedia.com/definiciones/diagrama-de-venn.html.

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Aprende las maneras matemáticas como sacar la probabilidad, como

Es posible representar gráficamente los conjuntos a través de diagramas de

Se usan los corchetes {} para representar y definir conjuntos. En el interior de

Si por ejemplo se quiere definir el conjunto F como el conformado por los

Es el conjunto que carece de elementos. Puesto que lo único que define a

Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el

Es la totalidad del espacio y del tiempo, de todas las formas de la materia,

Un subconjunto, como su nombre indica, es una subcolección de cualquier

Un diagrama de Venn muestra conjuntos de elementos y sus interacciones

Por tanto, este diagrama se basa en la teoría de conjuntos y es muy habitual

Estos diagramas fueron presentados en 1880 en un trabajo de investigación

Características del diagrama de Venn

Las principales características del diagrama de Venn son:

• Permite ilustrar la relación entre dos o más conjuntos de elementos.

• En las intersecciones de los círculos se ubican aquellos elementos que

• Es una herramienta que se utiliza particularmente en el campo de la

Tipos de diagrama de Venn:

Entre los tipos de diagrama de Venn podemos destacar principalmente las

Cuenta con dos regiones, la región de los elementos que pertenecen al

• De tres conjuntos: Siguiendo la lógica de la categoría anterior, tiene

¿Cómo se hace un diagrama de Venn?:

El proceso para realizarlo es similar al de otros como el CPM. Tenemos que

• Por último, debemos decidir cuáles van a ser semejantes. En el

Es el conjunto que contiene todos los elementos, que pertenecen por lo

Es aquello que se añade a algo para mejorarlo o hacerlo íntegro.

Cantidad o medida que resulta de comparar dos cantidades distintas o dos

La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento

Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar

La probabilidad se utiliza en muchas áreas como las matemáticas, la

Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona

Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado

Eventos mutuamente excluyentes:

La definición de eventos mutuamente excluyentes se puede dar de distintas

Es uno de los tipos de frecuencia estadística que más información nos

La frecuencia relativa (fi) de un valor Xi es la proporción de valores iguales a

Las frecuencias relativas son valores entre 0 y 1, (0 ≤ fi ≤ 1). La suma de las

Si se multiplica la frecuencia relativa por cien se obtiene el porcentaje (tanto

Es una medida estadística que indica cuánto de probable es que suceda

La probabilidad subjetiva siempre es un número entre 0 y 1. Cuanto mayor

Ejemplos de probabilidad subjetiva

Vista la definición de probabilidad subjetiva, vamos a ver varios ejemplos de

Por ejemplo, si una persona intenta calcular la probabilidad de que mañana

Otro ejemplo de probabilidad subjetiva es cuando un analista profesional

Este método de averiguar la probabilidad de ocurrencia de un evento

Como se puede observar en la imagen anterior lo que se busca con la regla

Son agrupaciones en las que el contenido importa, pero el orden no.

Si es que no quisiéramos tomar en cuenta las diferentes permutaciones de

Son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos.

Si es que tenemos una colección de n objetos, entonces el número de

P(B/A) = P(B ∩ A) P(A) .

Es una medida estadística que indica la probabilidad de que dos sucesos

La probabilidad conjunta de dos eventos A y B es igual al producto de la

Modelo matemático y tradicional.

Lápiz, pluma, cuaderno, hojas, baraja, domino, calculadora, cuaderno,

Realizamos conteos de forma tradicional y aprendimos a realizar las formas

Estadística, P. Y. (2022, 24 mayo). ▷ ¿Qué es la probabilidad clásica?