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INTRODUCCIÓN A LA
PROBABILIDAD
ÍNDICE
1. Iniciemos
2. Organiza tus ideas: Conceptos clave
3. Profundiza tus conocimientos: Espacio muestral y eventos
4. Fortalece tus conocimientos: Conteo
5. Visualiza: Definición de probabilidad y cálculo de probabilidades
6. Conclusiones
Iniciemos
¡Bienvenido a Introducción a la probabilidad!
Aquí vamos a introducirnos en la fascinante área de la probabilidad.
1. Al cumplir con el desarrollo de la presente unidad estarás en capacidad de:

2. Comprender el concepto de Espacio muestral, eventos y probabilidad.
Identificar los diferentes métodos que existen para calcular probabilidades
¡Avancemos!
Organiza tus ideas: Conceptos clave

A continuación, se presentan algunos conceptos importantes en el área de la esta-
dística.
• Estadística: Es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, analizar e in-

terpretar datos.
• Estadísticas: Son números obtenidos de un conjunto o colección de datos.
• Estadística descriptiva: Es la rama de la estadística que comprende todos los
métodos y técnicas usados para organizar y describir información.
• Estadística inferencial: Es la rama de la estadística que comprende todos los
métodos y técnicas usados para hacer inferencias, estimaciones o predicciones
sobre poblaciones a partir de una muestra.
• Dato: Es una porción de información.
• Datos: Sinónimo de muestra.
• Población: Es el conjunto de todos los elementos de interés para un investigador.
• Muestra: Es cualquier subconjunto de la población.
• Parámetro: Cualquier característica numérica de una población.
• Estadístico: Cualquier característica numérica de una muestra.
• Big Data: Termino utilizado para describir conjuntos de datos tan grandes que los
tradicionales y típicos procesos de almacenamiento, gestión, búsqueda, análisis,
entre otros han convertido en un reto debido a su tamaño.
• Datos cualitativos: Información categórica.
• Datos cuantitativos: Información numérica. Se puede clasificar en continuos y
discretos.
• Datos cuantitativos discretos: Son obtenidos de un proceso de conteo. Núme-
ros naturales, enteros o racionales.
• Medida: Es un valor representativo de un conjunto de datos.
• Valor atípico (o outlier): Es una medida con un valor extremo en un conjunto de
datos. Puede indicar un error de anotación o una medida muy poco común en la
población.
• Distribución de frecuencias: Es sinónimo de tabla de frecuencias y puede ser
representada gráficamente con ayuda de histogramas.
• Evento simple: Es el evento que corresponde a un solo punto muestral y se nota
por E con un subíndice.
• Evento vacío: El evento vacío se nota por ∅ y es el evento que no tiene elemen-
tos.
Ya conociste los conceptos que necesitas en tu camino de aprendizaje.

Continuemos, es hora de viajar a Profundizar tus conocimientos
Profundiza tus conocimientos: Espacio

muestral y eventos
Un experimento es cualquier proceso que produzca resultados.
Ejemplos [Experimentos]
• Medir el tiempo que gasta en ir de su casa a su trabajo.

• Lanzar una moneda.
• Lanzar dos dados.
• Seleccionar dos productos en un proceso de fabricación, para identificar si un
producto es defectuoso ( D) o no defectuoso (N).
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento recibe el nombre de

espacio muestral y aquí lo notaremos por U y cada elemento del espacio muestral
recibe el nombre de punto muestral.
Ejemplos [Espacios muestrales]
Los respectivos espacios muestrales para el ejemplo anterior son:
• U=[0,+∞)
• U=Cara, Sello
• El espacio muestral tiene 36 puntos muestrales de la forma Dado 1, Dado 2
U={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
• U={DD,DN,ND,NN}
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos [Eventos]
Para el ejemplo anterior

• A=[0,40min]
• A={Cara}
• A={(x,y): x+y=5}
• A={DD,DN,ND}
El complemento de un evento A se nota por A^C y se define como
• A^C={x∈U∶ x∉ A}
Sean dos eventos A y B, la unión de A y B se nota por A∪B y se define como
A∪B={x∈U∶ x∈A o x∈B}

Sean dos eventos A y B, la intersección de A y B se nota por A∩B y se define
como
A∩B={x∈U∶ x∈A y x∈B}
Dos eventos A y B son mutualmente excluyentes si y sólo si
A∩B=∅
Ejemplo
Se lanzan dos dados, sean los eventos
A={(x,y): x+y=5} y B={(x,y): x=y+1}

Luego
A∩B={(3,2)} y A∪B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(2,1),(4,3),(5,4),(6,5)}
Ver (Walpole, 2007), (Wackerly D. et al., 2010), (Weimer, 1993) y (Pérez et al.,
2015)
¡Vamos súper bien! ¿Verdad? ¿Ya conocías el Conteo?

¡Vamos a descubrirlo!
Fortalece tus conocimientos: Conteo

En nuestro estudio de la probabilidad es necesario contar los elementos en los
eventos y en el espacio muestral. Sin embargo, si el evento o el espacio muestral
son muy grandes, entonces es muy difícil la tarea de contar los elementos.
En ese sentido, introducimos aquí algunas técnicas que nos permiten contar los
elementos para conjuntos grandes.
Principio fundamental del conteo (o regla de la multiplicación)
Teorema [Regla de multiplicación]
Si una operación se puede llevar a cabo en n formas y si para cada una de estas
formas se puede realizar una segunda operación en m formas, entonces las dos
operaciones se pueden ejecutar de nm formas.
Ejemplo [Regla de la multiplicación]
Se lanzan dos dados, ¿cuántos elementos hay en el espacio muestral?
El primer dado puede caer en n=6 formas y el segundo dado puede caer en m=6
formas, entonces el par de dados pueden caer en
nm=(6)(6)=36 formas.
Factorial de un número
Sea n un número natural, la factorial de n se nota por n! y se define como
n!=1∙2∙3∙∙∙(n-2)∙(n-1)∙n,
donde
0!=1!=1
Ejemplo [Factorial]
2!=1∙2=2
3!=1∙2∙3=6
4!=1∙2∙3∙4=24
Permutaciones
Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.
Permutaciones con objetos distintos
Teorema:
El número de permutaciones de n objetos distintos se nota por y está dado

como
Ejemplo [Permutaciones]
Sea el conjunto
A={x,y,z}
Las posibles permutaciones del conjunto A son
xyzxzyyxz yzxzxyzyx
De esta manera el número de permutaciones del conjunto A es
Teorema:
El número de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez es

Ejemplo [Permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez]
Sea el conjunto
A=x,y,z
Las posibles permutaciones del conjunto A tomando 2 a la vez
xyxzyx yzzxzy
Luego, el número de permutaciones de 3 objetos tomados 2 a la vez es
Permutaciones circulares
Las permutaciones circulares son arreglos de objetos en un círculo.
Teorema:
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es

(n-1)!.
Ejemplo [Permutaciones circulares]
¿De cuántas formas se pueden sentar Carlos, Juan y María en una mesa?
La respuesta es
(3-1)!=2!=2 formas
Se observa que en la primera forma Carlos está a la izquierda de María y Juan a

su derecha y en la segunda forma Carlos está a la derecha de María y Juan a su
izquierda.
Permutaciones con objetos iguales
Ejemplo [Permutaciones distintas con objetos iguales]
Sea el conjunto
A={x,y,z}
Suponiendo que los objetos sean diferentes las permutaciones serian
xyzxzyyxz yzxzxyzyx
Ahora suponga que
a=x=y
Reemplazando
aazazaaaz azazaazaa
Luego, al final solo tenemos las permutaciones distintas
aazazazaa
Teorema:
El número de permutaciones distintas de n objetos de los que n_1 son de una

clase, n_2 son de una segunda clase, … , n_k son de una k-ésima clase es
Ejemplo [Número de permutaciones distintas con objetos iguales]
Para el ejemplo anterior n=3, n_1=2 y n_2=1, entonces el número de permutacio-

nes distintas para objetos iguales es
Dividir un conjunto de n elementos en r subconjuntos
Ejemplo [Dividir un conjunto de n elementos en r subconjuntos]
Sea el conjunto
A={x,y,z}
El conjunto A tiene n=3 elementos y vamos a dividirlo en r=2 subconjuntos. El

primer subconjunto tendrá n_1=2 elementos y el segundo tendrá n_2=1 elemen-
tos. Esto es
{{x,y},{z}} {{x,z},{y}} {{y,z},{x}}
Teorema:
El número de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n_1 ele-
mentos en la primera celda, n_2 elementos en la segunda celda y así sucesiva-
mente es
donde n1+n2+∙∙∙+nr=n.
Ejemplo [Número de formas de dividir un conjunto de n elementos en r sub-

conjuntos]
Para el ejemplo anterior se tiene que el número de formas de dividir un conjunto

de 3 elementos en 2 subconjuntos es
Combinaciones
Las combinaciones son dividir un conjunto de n elementos en 2 subconjuntos,
donde uno de los subconjuntos tiene k elementos.
Teorema
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de k a la vez es

Ejemplo [Combinaciones]
¡Y bien! No olvides repasar el tema de Conteo.

¡Continuemos activando nuestro aprendizaje!
Visualiza: Definición de probabilidad y

cálculo de probabilidades
¡Hola!
¿Quieres conocer la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades?
¡Vamos!
De manera informal, la probabilidad de un evento se puede entender como un

número que varía entre 0 y 1 y que nos da el grado de certidumbre en que ese
evento puede ocurrir.
• Si la probabilidad es cero, entonces la ocurrencia del evento es imposible.

• Si la probabilidad es uno, entonces la ocurrencia del evento es segura.
• Entre más cerca este la probabilidad de 1, habrá más posibilidades que ocurra
el evento y de manera contraria, entre más cerca este la probabilidad de cero
menos posibilidades habrá que el evento ocurra.
La definición formal de probabilidad se da a continuación.
Definición [Probabilidad]
Se supone que U es un espacio muestral asociado con un experimento. A todo

evento A en U se le asigna un número P(A) llamado probabilidad de A, de modo
que se cumplen los siguientes axiomas:
P(A)≥0.
P(U)=1
Si A1, A2, A3,... forman una secuencia de eventos por pares mutualmente excluyentes
en U, entonces
Métodos para asignar probabilidades:
La definición anterior de probabilidad no dice cómo se puede calcular las probabi-

lidades, solo legisla cómo debe comportarse. Para poder calcular las probabilida-
des de un evento hay dos métodos generales:
• El método subjetivo asigna probabilidades a eventos basándose en la intuición

o en la creencia personal.
• El método objetivo asigna probabilidades a eventos basándose en el conteo o
en la experimentación repetida.
El método objetivo presenta dos definiciones (clásica y por frecuencia relativa)
1. La definición de probabilidad como una frecuencia relativa.
Sea un experimento que se repite N veces, sea U el espacio muestral asociado al

experimento y sea A un evento de U. Sea fA la frecuencia absoluta del evento A
en los N ensayos del experimento. Entonces la probabilidad del evento A, notada
por P(A) se define como
Como no siempre se conocen los valores límites, usualmente se asume que
2. La definición clásica de la probabilidad.
Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resulta-

dos igualmente probables y si exactamente n de estos resultados corresponde al
evento A, entonces la probabilidad del evento A es
Ejemplo [Probabilidad subjetiva]
Un médico le informa a un paciente que de acuerdo a su experiencia existe una

probabilidad de 0.8 de que una operación tenga buenos resultados.
Ejemplo [Probabilidad como una frecuencia relativa]
Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda sin cargar (sin amañar).
Sea A el evento que ocurre cuando la moneda cae en cara, sea N el número de
veces que se lanza la moneda y sea fA la frecuencia absoluta del evento A. En-
tonces al ejecutar varias veces el experimento se obtienen los siguientes datos
1 1 1,000
2 1 0,500
3 1 0,333
4 2 0,500
5 3 0,600
6 3 0,500
7 4 0,571
8 4 0,500
9 4 0,444
10 5 0,500
11 5 0,455
12 6 0,500
13 7 0,538
14 7 0,500
15 7 0,467
16 8 0,500
17 9 0,529
18 9 0,500
19 10 0,526
20 10 0,500
21 10 0,476
22 11 0,500
23 11 0,478
24 12 0,500
25 13 0,520
26 13 0,500
27 14 0,519
28 14 0,500
29 15 0,517
30 15 0,500
31 16 0,516
32 16 0,500
33 17 0,515
34 17 0,500
Gráficamente se observa que las frecuencias relativas
cuando N→∞
Por lo tanto, se puede afirmar que

P(A)≈0.5
Ejemplo [Definición clásica de probabilidad]
Se lanzan dos dados sin cargar y el evento A se define como
A=x,y: x+y=5
Se observa que el evento A tiene 4 elementos y que el espacio muestral tiene 36

elementos, entonces la probabilidad del evento A es
P(A)=436
No dejes de revisar la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades
Para finalizar la temática vamos a revisar las conclusiones

Conclusiones/Para terminar…
De la temática vista hasta el momento podemos sacar las siguientes conclusio-
nes:
• La probabilidad de un evento nos da el grado de certidumbre de la ocurrencia

de un evento.
• La definición formal de probabilidad no nos permite calcular las probabilida-
des, solo nos dice la forma en que debe comportarse la probabilidad.
• La probabilidad subjetiva se obtiene a partir de la opinión personal.
• La probabilidad clásica a partir de contar los elementos en el evento y en el
espacio muestral y solo se puede calcular si todos los elementos del espacio
muestral son igualmente probables.
• La probabilidad vista como una frecuencia relativa se calcula teniendo en
cuenta las posibles repeticiones del evento.
¡Excelente! ¿Verdad? Hemos llegado al final de esta unidad, te invito a continuar

en la próxima para seguir aprendiendo más
¡Hasta pronto!

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INTRODUCCIÓN A LA

Aquí vamos a introducirnos en la fascinante área de la probabilidad.

1. Al cumplir con el desarrollo de la presente unidad estarás en capacidad de:

Organiza tus ideas: Conceptos clave

• Estadística: Es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, analizar e in-

Ya conociste los conceptos que necesitas en tu camino de aprendizaje.

Profundiza tus conocimientos: Espacio

• Medir el tiempo que gasta en ir de su casa a su trabajo.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento recibe el nombre de

Ejemplos [Espacios muestrales]

Los respectivos espacios muestrales para el ejemplo anterior son:

Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Para el ejemplo anterior

El complemento de un evento A se nota por A^C y se define como

Sean dos eventos A y B, la unión de A y B se nota por A∪B y se define como

A∪B={x∈U∶ x∈A o x∈B}

A∩B={x∈U∶ x∈A y x∈B}

Dos eventos A y B son mutualmente excluyentes si y sólo si

Se lanzan dos dados, sean los eventos

A={(x,y): x+y=5} y B={(x,y): x=y+1}

¡Vamos súper bien! ¿Verdad? ¿Ya conocías el Conteo?

Fortalece tus conocimientos: Conteo

Principio fundamental del conteo (o regla de la multiplicación)

Teorema [Regla de multiplicación]

Ejemplo [Regla de la multiplicación]

Se lanzan dos dados, ¿cuántos elementos hay en el espacio muestral?

Sea n un número natural, la factorial de n se nota por n! y se define como

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.

Permutaciones con objetos distintos

El número de permutaciones de n objetos distintos se nota por y está dado

Las posibles permutaciones del conjunto A son

De esta manera el número de permutaciones del conjunto A es

El número de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez es

Las posibles permutaciones del conjunto A tomando 2 a la vez

Luego, el número de permutaciones de 3 objetos tomados 2 a la vez es

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es

Ejemplo [Permutaciones circulares]

Se observa que en la primera forma Carlos está a la izquierda de María y Juan a

Ejemplo [Permutaciones distintas con objetos iguales]

Suponiendo que los objetos sean diferentes las permutaciones serian

Ahora suponga que

Luego, al final solo tenemos las permutaciones distintas

El número de permutaciones distintas de n objetos de los que n_1 son de una

Ejemplo [Número de permutaciones distintas con objetos iguales]

Para el ejemplo anterior n=3, n_1=2 y n_2=1, entonces el número de permutacio-

Ejemplo [Dividir un conjunto de n elementos en r subconjuntos]

El conjunto A tiene n=3 elementos y vamos a dividirlo en r=2 subconjuntos. El

{{x,y},{z}} {{x,z},{y}} {{y,z},{x}}

Ejemplo [Número de formas de dividir un conjunto de n elementos en r sub-

Para el ejemplo anterior se tiene que el número de formas de dividir un conjunto

El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de k a la vez es

¡Y bien! No olvides repasar el tema de Conteo.

Visualiza: Definición de probabilidad y

De manera informal, la probabilidad de un evento se puede entender como un

• Si la probabilidad es cero, entonces la ocurrencia del evento es imposible.

La definición formal de probabilidad se da a continuación.

Se supone que U es un espacio muestral asociado con un experimento. A todo

La definición anterior de probabilidad no dice cómo se puede calcular las probabi-

• El método subjetivo asigna probabilidades a eventos basándose en la intuición

El método objetivo presenta dos definiciones (clásica y por frecuencia relativa)