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200508191144590.22 Trigonometria
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TRIGONOMETRÍA
Es el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Esto se realiza a
través de las llamadas funciones trigonométricas de los ángulos (o goniométricas).
Consideremos el triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura y trabajemos con los ángulos y
de él.
Del mismo modo se pueden obtener las razones trigonométricas del ángulo b, para llegar a concluir
que:
sen =cos
cos = sen
tg = cot
cot = tg
sec = cosec
cosec = sec
Lo primero es determinar el valor del cateto BC que, a través del teorema de Pitágoras, resulta de
4 cm. Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del triángulo, resolvamos aplicando las
definiciones dadas:
1.
2.
3.
4.
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5.
6.
7.
Para algunos ejercicios es importante conocer los valores de algunos ángulos que son muy
comunes en su utilización. Entre ellos destacan los de 30º, 45º y 60º.
Los valores para 30º y 60º pueden ser determinados a través de un triángulo equilátero, al cuál se
le traza una de sus alturas para formar un triángulo rectángulo para luego utilizar las funciones
trigonométricas. En el caso de 45º, se utiliza un triángulo rectángulo isósceles.
30 45 60
sen
cos
tg 1
AB : Linea Visual
: ángulo de depresión: Se refiere al ángulo formado con la horizontal cuando el objeto es
observado desde lo alto.
: ángulo de elevación: Se refiere al ángulo formado con la horizontal cuando el objeto es
observado desde abajo hacia arriba..
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En este tipo de ejercicios te sugiero hacer siempre una figura que te permita visualizar mejor el
problema.
1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo
de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación?
x = 100
2. Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es
62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.
Al despejar x en ambas ecuaciones, por igualación se obtiene que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y
= 41,5 metros.
Reemplazando este valor de y, resulta que x = 78 metros.
La altura del edificio es de 78 metros.
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EJERCICIOS
P Q
4. Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde del
muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es:
a) m. b) m. c) 6 m. d) 8 m. e) No se puede
determinar
cos es:
a) b) c) d) e)
6. Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista
desde el punto A, es de 45º. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina.
D C
A B
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a) b) c) d) e)
8. Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo adyacente a ella es . El
perímetro del triángulo es:
A C
a) 3 cm. e) 2 cm.
b) cm. c) cm. d) cm.
10. En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB, igual al diámetro. La
tangente del ángulo ABC es:
a) 1 d) e) Falta
b) c) Información
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ALTERNATIVAS
que
Alternativa E:. Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a optar por esta alternativa.
P Q
Alternativa A: CORRECTA.. Sen nos indica la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa del
triángulo. o sea 1:2. Luego, aplicando Pitágoras se tiene que , de donde .o
sea .
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde al valor obtenido de resolver , pero no al de
PR.
Alternativa C. Incorrecta. Se sabe que sen corresponde a la razón entre el cateto opuesto y la
hipotenusa, o sea 1:2, pero luego se determina erradamente que 2 debe ser el valor de la
hipotenusa.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene de que , pero luego se considera la
2cossen = cos, o sea 2sen = 1. Luago sen = 1/2 lo que implica que = 30°
Alternativa C. Incorrecta. El error se da al no saberse el valor fundamental de cuando sen = 1/2
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4. Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde
del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es:
Alternativa A: Incorrecta. Al ubicar mal en la figura el ángulo de 60° se producen errores que
llevan a esta alternativa.
Alternativa B. Incorrecta. Al hacer la figura correspondiente al problema, se considera el triángulo
como rectángulo isósceles, lo que lleva al error de obtener como el largo de la escala.
de cos es:
Alternativa A: Incorrecta. Se obtiene que el otro cateto es 12, pero luego no se concluye
correctamente el valor de cos.
Alternativa B. Incorrecta. Se obtiene que el otro cateto es 12, pero luego no se concluye
correctamente el valor de cos.
Alternativa C. CORRECTA. A través del teorema de Pitágoras se obtiene que el cateto mide 12 y
luego se aplica la definición de la función coseno, que corresponde a la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa, o sea 12/13.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene que el otro cateto es 12, pero luego no se concluye
correctamente el valor de cos.
Alternativa E: Incorrecta. Se confunde cos con cosec, obteniéndose como resultado 13/5.
6. Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima,
vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina.
D C
A B
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8. Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo adyacente a ella es .
El perímetro del triángulo es:
Alternativa A: Incorrecta. Se consideran los lados iguales del triángulo de medida 2 cm., lo que
lleva a obtener 12 cm. de perímetro.
Alternativa B. Incorrecta. Se consideran los lados iguales del triángulo de medida 5 cm., lo que
lleva a obtener 18 cm. de perímetro.
Alternativa C. CORRECTA. Se traza la altura a la base de 8 cm. y ésta queda dividida en dos
segmentos d 4 cm. cada una. Como cos = 2/3, o lo que es lo mismo, cos = 4/6, entonces se
concluye que la hipotenusa mide 6 cm. Luego el perímetro del triángulo es 6 + 6 + 8 = 20 cm.
Alternativa D: Incorrecta. Se consideran todos los lados iguales a 8, o sea, equilátero en vez de
isósceles y no se considera la información sobre el coseno del ángulo.
Alternativa E: Incorrecta. Se consideran los lados iguales de media 9, al hacer una mala
aplicación del dato cos = 2/3. Se obtiene 26 cm de perímetro.
A C
de donde . Luego
10. . En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB, igual al
diámetro. La tangente del ángulo ABC es:
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