REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”

LA TRANSFORMADA Z

Estudiantes:
Cruz Osmara C.I: 27.701.346
Gianfranco Martínez C.I: 28.429.226
Derwis Acosta C.I: 27.982.395
Enmanuel Sibada C.I:26.023.929

Profesor(a): Ing. Heli Saul Lorbes

Especialidad Ingeniería Electrónica

TEORIA MODERNA DE CONTROL AA

Maturín, Noviembre 2022

 INTRODUCCIÓN

La transformada Z que también puede ser conocida como la transformada de

Laurent, tiene bastante similitud con respecto a la transformada de Laplace y se usa

en matemáticas y en el procesamiento de señales para la conversión de señales

reales o complejas definidas en el dominio de tiempo discreto, representado en el

dominio de la frecuencia compleja.

 DESARROLLO

1. Que es La Transformada Z de una secuencia

La Transformada Z (TZ) es una herramienta que proporciona un método para

caracterizar las señales y los sistemas de tiempo discreto por medio de polos y

ceros en el dominio Z transformado.

X(z), La Transformada Z, es el equivalente de la Transformada de Laplace para

tiempo discreto. Puesto que z es una variable compleja, el dominio Z es un plano

complejo.

La transformada Z directa X(z) de una señal x[n] se define como la serie de

potencias:

Dónde z es el número complejo:

La ecuación (1) mapea la señal definida en el dominio del tiempo discreto, a la

función definida en el dominio Z, lo que se denota como:

La notación para la relación entre ambos dominios es:

Como la ecuación (1) es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos

valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al

concepto de región de convergencia (ROC – Region of Convergence).La ROC de

una transformada X(z) es el conjunto de todos los valores de la variable

compleja z para los que X(z) es finita:

El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la

ROC. Por ello, las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna

con su información de la ROC.

2.Mapeo entre Plano S y Plano Z

El empleo de transformaciones entre los planos z y s conduce normalmente a la

simplificación de muchos problemas. Como veremos en artículos posteriores, tales

transformaciones pueden efectuarse fácil y sistemáticamente.

a) Una muy interesante y útil transformación entre el plano z y s es

z = εs (1.23)

Esta relación indica que todo punto del plano s puede ser transformado en uno

del plano z por medio de (1.23). Asimismo, obsérvese que como una línea es

meramente un conjunto o sucesión de puntos, cualquier línea en el plano s puede

reproducirse también en el plano z empleando (1.23).

Para trazar algo en el plano z, es necesario, por supuesto, conocer los

valores x y y, que son las componentes del número complejo z. Como primer paso

substituimos la s y la z de (1.23) por sus componentes:

x + jy = ε(σ + jω) (1.24)

De acuerdo con la regla de los exponentes, la expresión puede escribirse:

x + jy = εσ ε jω (1.25)

En el primer miembro, los valores x y y son las coordenadas de puntos en

el plano z. En el segundo miembro, εσ es el módulo de un complejo y ω es su

argumento. Considerando (1.11), (1.12) y (1.13) se ve que el término εjω puede

expresarse por , quedando:

x + jy = εσ (1.26)
o

x + jy = εσ (cos ω + j sen ω) (1.27)

donde εσ es la magnitud del vector que va del origen al punto en el plano s y ω es

el ángulo director del mismo. Como los términos reales de ambos miembros deben

ser iguales, se obtiene de (1.27),

x = εσ cos ω (1.28)

y = εσ sen ω (1.29)

Por lo tanto, si se da un punto o un conjunto de puntos en el plano s, pueden

ponerse los valores de σ y ω correspondientes en (1.28) y (1.29) y obtener los

valores x y y para situar el punto en el plano z.

3.Transformada Z del Impulso , escalón, rampa y parábola unitario.

Impulso unitario: La función impulso unitario δ(t), también conocida como Delta de

Dirac, tiene un papel fundamental en el análisis de señales. La misma está definida

de la siguiente manera:
Escalón unitario: Las entradas de escalón unitario representan una posición

constante y, por lo tanto, son útiles para determinar la capacidad del sistema de

control para posicionarse con respecto a un objetivo estacionario. Un control de

posición para una antena es un ejemplo de un sistema que se puede probar con

precisión mediante entradas escalonadas.

Rampa unitaria: Las entradas de rampa representan entradas de velocidad

constante a un sistema de control de posición, con una amplitud que aumenta

linealmente. Estas formas de onda se pueden utilizar para probar la capacidad de

un sistema para seguir una entrada (una posición) que aumenta linealmente o, de

manera equivalente, para rastrear un objetivo de velocidad constante. Por ejemplo,

un sistema de control de posición que rastrea un satélite que se mueve a través del

cielo a una velocidad angular constante.

Parábola unitaria: Las entradas parabólicas, cuyas segundas derivadas son

constantes, representan entradas de aceleración constantes para los sistemas de

control de posición y se pueden usar para representar objetivos acelerados, como

un misil.
4. Definición y Ejemplos de las Propiedad de linealidad, desplazamiento,
similitud, diferenciación, integración y convolución.

Propiedad de linealidad: La linealidad es la propiedad de un elemento que

describe una relación lineal entre causa y efecto. Aunque tal propiedad se aplica a
muchos elementos de circuitos en esta ocasión se aplicara para resistores.

Esta característica es una combinación de la propiedad de homogeneidad

(escalamiento) y la propiedad adictiva. La propiedad de homogeneidad establece
que si la entra(también llamada excitación) se multiplicara por una constante, la
salida(también llamada respuesta) se multiplicara por la misma constante.

Un circuito lineal es aquel cuya carga salida se relaciona lineal mente o directamente
proporcional a su entrada.
Desplazamiento de tiempo: La propiedad de desplazamiento en el tiempo hace
referencia a que, sí una señal arbitraria x(t) es desplazada un instante de tiempo t0;
ese mismo valor se ve reflejado en el dominio de la frecuencia como un desfase
cuyo valor se interpreta en la escala adecuada. Dicho de otra manera, la
transformada de Fourier de la función desplazada en el tiempo, es igual a la
transformada de Fourier de la señal sin desplazar, multiplicada por un exponencial
complejo cuyo argumento es igual al factor de desplazamiento, incluyendo su signo.

Desplazamiento en frecuencia: También denominada propiedad de Modulación y

hace referencia a que, si una función arbitraria x(t) con densidad espectral X(ω) y
ancho de banda Ω (Figura 4.6(a)) es multiplicada por un exponencial complejo con
frecuencia de oscilación ω0, su transformada de Fourier será igual a la densidad
espectral de x(t) desplazada ω0 veces. Dicho de otra manera, es igual a la
transformada de Fourier de x(t) centrada en la frecuencia de oscilación del
exponencial complejo.

Dualidad: La propiedad de dualidad se puede apreciar desde la definición misma

de la transformada de Fourier. Las diferencias se dan en el cambio de signo de la
exponencial compleja y en el factor 1/2π de una de ellas.

Por tanto, si se desea calcular la transformada directa de Fourier de una función

arbitraria x(t), teniendo conocimiento de una función idéntica a ella en estructura
matemática, pero en el dominio de la frecuencia X1(ω). La transformada de Fourier
de x(t) también será idéntica en estructura a la transformada inversa de Fourier de
X1(ω).

Diferenciación: Dada una señal x(t) con transformada de Fourier X(ω), la derivada
de cada una de ellas refleja un comportamiento de incremento según su dominio.

(a). Para el caso del tiempo, la derivada incrementa los componentes de alta
frecuencia de la señal.
(b). Para el caso de la frecuencia, la derivada incrementa la magnitud de la señal en
el tiempo, a medida que este crece.

Integración: De manera similar a la propiedad de diferenciación, la integración

suprime los componentes de alta frecuencia de la señal.

Donde X(0) es:

,o

Convolución:

(a). Tiempo: La convolución en el dominio del tiempo pasa a ser la multiplicación en

el dominio transformado.

(b). Frecuencia: Así mismo, la multiplicación en el dominio del tiempo, pasa a ser la
convolución en el dominio transformado.

El término 1/2π se da por las unidades del dominio ω (radianes).

5.Transformada Z inversa.

Es interesante obtener transformadas Z inversas de funciones de variable

compleja F(z), es decir, qué sucesiones verifican que:

O equivalentemente:

Para calcular la transformada Z de una función F(z) basta calcular el desarrollo en serie
de Laurent centrada en cero de manera que tenga un anillo de convergencia de la forma {z ∈
C : |z| > r}, donde r ≥ 0. Por ejemplo, si F(z) = 1 / z−1 , entonces desarrollando en serie de
Laurent:

Si |z| > 1. Entonces la sucesión:

 CONCLUSIÓN

Las transformadas Z, de Laplace y de Fourier tienen unos métodos de

conversión bastante similares. La transformaciones Z usa conversiones discretas

en intervalos de tiempo más cercanos a las implementaciones digitales.

La transformada de Laplace se usa para convertir/representar una función variable

en el tiempo en el dominio integral. Las transformadas de Fourier

convierten/representan una función variable en el tiempo en el dominio de la

frecuencia.
 BIBLIOGRAFIA

• https://dademuch.com/2020/04/15/la-transformada-z-analisis-de-sistemas-
discretos/

• https://0ptimo.wordpress.com/paginas/transformadas-de-laplace/capitulo-
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• https://dademuch.com/2020/09/11/la-funcion-impulso-unitario/

• https://dademuch.com/2018/03/26/error-en-estado-estable-de-un-sistema-
de-control/

• http://analisisdecircuitosporteoremascd.blogspot.com/2017/03/propiedad-
de-linealidad.html

• https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/senales_y_
sistemas/Lecturas/Modulo2/Unidad2/M2U2Propiedades_TCF.pdf

• https://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/z.pdf