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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA
FUERZA ARMADA NÚCLEO FALCÓN
EXTENSIÓN PUNTO FIJO
CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
PROF: ING. EURILIG QUERO. Mg
INTEGRALES DEFINIDAS
La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la
gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de
que la función f es positiva). Esta integral se representa por:
Donde a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.
Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de

Barrow o teorema fundamental del cálculo se tiene que:
PROPIEDADES
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 1

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
Ejemplo

ÁREA BAJO LA CURVA
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el
concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x
se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual
al valor de la función en el centro del intervalo.
Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más

grande y mejor la aproximación al valor del área
El área de la región A es la integral definida

b
A   F ( x)dx
a
Una de las condiciones para que la integral coincida con el área es que la región
debe estar en el semiplano superior (y≥0).
REGIÓN NEGATIVA
Si la región se encuentra en el semiplano inferior (y≤0), entonces, la integral sigue

siendo el área de la región, pero con signo negativo:
Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:
b
A 
a
F ( x)dx

REGIÓN NEGATIVA Y POSITIVA
Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área se
debe calcular una integral definida para cada región.
En las regiones de la parte superior, el resultado es no negativo. En las de la parte

inferior, es no positivo.
En el caso de la representación, el área de la región es
b c
A  B   F ( x)dx   F ( x)dx
a b
Si no se calculan las integrales por separado, el resultado de la integral es menor o

igual que el área, puesto que estamos sumando áreas positivas y negativas.
EJEMPLO 1
Hallar el área de la región limitada por la gráfica de y = 2x2 – 3x +2. el eje x y las rectas
verticales x= 0 y x = 2.
SOL: Como es habitual, empezamos por dibujar la curva y así acotar la región a calcular su
área. De acuerdo a lo anterior, de igual forma se ubica los límites de integración.

Se determina los extremos de integración que se encuentran entre las rectas x =0 y x = 2
Se plantea la integral
2
𝐴 = ∫ (2𝑥 2 − 3𝑥 + 2)𝑑𝑥
0
Resolvemos las integrales

2
2𝑥 3 3𝑥 2
𝐴=⌈ − + 2𝑥⌉
3 2
0
16
𝐴= −6+4
3
10 2
𝐴= 𝑢
3
EJEMPLO 2
Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas x3 - 6x2 + 8x =0
Graficamos
Obtenemos los cortes con el eje X

Planteamos una integral definida
El área sobre el eje es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje (en el
intervalo dado), por tanto se puede escribir:
Resolvemos las integrales
Cálculo del área encerrada por dos funciones

El área encerrada por dos funciones f(x) y g(x) viene determinada por la siguiente fórmula:
Donde los límites de integración «a» y «b» corresponden a los puntos de corte entre ambas
funciones. Además f(x) debe ser mayor o igual que g(x):
Que una función sea mayor que otra significa que para el mismo rango de valores de x, el
valor de la función es mayor y por tanto su gráfica queda representada por encima en los
ejes de coordenadas.
Si representamos gráficamente ambas funciones, la función f(x) queda por encima de g(x) y
el área encerrada por ambas curvas es el área calculada por la fórmula anterior:

Lo que realmente hacemos cuando calculamos el área limitada entre dos funciones aplicando
esta fórmula es obtener el área que hay por debajo de una determinada función en un intervalo
de valores de x y restarle el área que tiene por debajo otra función menor, en el mismo
intervalo, quedando como resultado el área encerrada entre las dos funciones.
Procedimiento para calcular el área limitada entre dos funciones

Para calcular el área limitada entre dos funciones se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se calculan los puntos de corte entre ambas funciones. Para ello, se igualan las
funciones y se resuelve la ecuación resultante. El resultado obtenido corresponde a
los límites de integración.
2. Determinar cuál de las dos funciones es mayor, es decir, cuál queda por encima
gráficamente. Esto lo podemos obtener representando ambas funciones, que además
nos dará una idea más visual del área que queremos calcular.
3. Aplicar la fórmula, restando la integral de la función mayor, menos la integral de la
función menor, entre los límites de integración calculados en el puto 1.

EJEMPLO 3
Calcular el área delimitada por las siguientes funciones:
En primer lugar, calculamos los puntos de corte de las funciones. Igualamos ambas funciones
y nos queda la siguiente ecuación:
Es una ecuación de segundo grado. Primero reducimos a común denominador:
Y eliminamos los denominadores en ambos miembros:
Pasamos todos los términos al primer miembro, quedando el segundo miembro igual a cero,
operamos y reordenamos términos:
Resolvemos la ecuación de segundo grado completa, que nos dan las siguientes soluciones:
Por tanto, las funciones se cortan en esos dos valores de x.

Ahora pasamos a representar cada una de las funciones.
La función f(x) corresponde a una recta (en el curso de funciones, tienes explicado cómo
representar rectas) y la función g(x), corresponde a una parábola (en el curso de funciones,
también tienes explicado cómo representar funciones de segundo grado):
Vemos que en este caso, la función f(x) queda por encima de la función g(x) entre los valores
de x 1/3 y 3, lo que quiere decir que f(x) es mayor que g(x) en ese intervalo.
Por tanto, aplicamos la fórmula restando la integral de f(x) menos la integral de g(x), cada
una entre los límites de integración que son 1/3 y 3:
La resta de dos integrales de dos funciones la podemos expresar como una única integral
donde se realice la resta de funciones, según las propiedades de las integrales:

Sustituimos f(x) y g(x) por sus valores. Se tiene en cuenta que delante de g(x) tenemos un
signo menos, que cambia de signo a todos los términos de g(x), por lo que la dejamos
encerrada entre paréntesis:
Ahora eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos que están dentro de él:
Operamos y reordenamos términos:
Pasamos a resolver la integral, dejando el resultado entre corchetes con los límites de
integración:
Y operamos llegando al resultado:

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Donde a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.

Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 1

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 2

Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más

El área de la región A es la integral definida

Si la región se encuentra en el semiplano inferior (y≤0), entonces, la integral sigue

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 3

En las regiones de la parte superior, el resultado es no negativo. En las de la parte

En el caso de la representación, el área de la región es

Si no se calculan las integrales por separado, el resultado de la integral es menor o

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Resolvemos las integrales

Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas x3 - 6x2 + 8x =0

Obtenemos los cortes con el eje X

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Resolvemos las integrales

Cálculo del área encerrada por dos funciones

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Procedimiento para calcular el área limitada entre dos funciones

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 7

Calcular el área delimitada por las siguientes funciones:

Es una ecuación de segundo grado. Primero reducimos a común denominador:

Y eliminamos los denominadores en ambos miembros:

Por tanto, las funciones se cortan en esos dos valores de x.

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 8

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 9

Operamos y reordenamos términos:

Y operamos llegando al resultado:

Realizado por: Ing. Eurilig Quero. Mg. 10

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