Integrales Dobles y Triples Proyecto
Integrales Dobles y Triples Proyecto
Integrales Dobles y Triples Proyecto
PROYECTO DE AULA:
INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES
AUTOR:
ROBLES ROBLES ERMEL ALDAIR
INGENIERO:
ZAMBRANO VIZUETE OSCAR MARCELO
CURSO:
2do “A”
FECHA:
22 DE MAYO DEL 2019
Integrales dobles
¿Que son las integrales dobles?
Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo
obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], por
tanto:
La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos
definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:
Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, una en primer
lugar en función de x, considerando que la y es una constante; y en segundo lugar en función de y
(en este caso ya no habrá ningún termino con x).
3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U
R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área,
entonces:
4. El área del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:
Recordemos que también podemos realizar integrales dobles sobre recintos que no sean
rectángulos, estas integrales se estudian más a fondo en carreras de ciencias como las
ingenierías, por tanto, por ahora, este ha sido un buen comienzo.
Ejercicio resuelto 1
Calcular el área delimitada por estas dos funciones mediante una integral iterada doble:
Como las funciones estás definidas en función de x, vamos a utilizar el orden de integración
dy.dx
En primer lugar, vamos a calcular los puntos de corte de estas dos funciones, ya que los
puntos de corte serán los límites de integración de al variable x, es decir, los límites entre los
cuales se mueve horizontalmente el rectángulo vertical dx.
Nos queda una ecuación de segundo grado, por lo que pasamos todos los términos a un
miembro e igualamos a cero:
Simplificamos términos:
Por lo que los límites para dx son -2 y 1. Siempre ponemos en el límite inferior el número
menor y en el límite superior el límite mayor.
Los límites para la variable «y», están definidos por la altura del rectángulo, que se mueve
entre las dos funciones. La función que quede arriba será el límite superior y la que quede
abajo el límite inferior.
Por lo que ésta será la que determine el límite superior y la otra función la que determine el
límite inferior.
También podemos sustituir el mismo valor de x para cada función y cuyo valor de la función
sea mayor, será la función que quede por encima. Vamos a sustituir por ejemplo por x=0 en
ambas funciones:
Vemos nuevamente que la función 4-x² da como resultado un valor mayor que x+2, por lo
que queda demostrado que 4-x² es el límite superior.
Por tanto, una vez que sabemos los límites, ya podemos escribir al integral iterada doble:
Que queda:
Ahora integramos primero la integral que queda dentro, es decir, la que depende de dy,
mediante la regla de Barrow:
Nos queda una integral que depende de la variable x. Integramos aplicando la regla de
Barrow:
Ejercicio resuelto 2
Representar esa misma área cambiando el orden de integración a dy.dx u verificar que las
dos integrales dan el mismo resultado.
Vemos que el orden de integración es dx.dy y que la región está definida por los límites:
Eso quiere decir que en este caso dy se representa por un rectángulo horizontal, que los
límites exteriores de la integral doble, 0 y 2, son los límites entre los cuales se puede mover
dy verticalmente y los límites internos y² y 4, son los límites entre los que se adapta la
longitud del rectángulo dy.
En otras palabras, el área está acotada a la izquierda por la función y² y a la derecha por la
recta x=4. Además está acotada inferiormente por el eje x (y=0) y superiormente por el valor
4 (y=4):
Vamos a calcular el valor de esta integral:
Integramos y aplicamos la regla de Barrow para la integral interior, integrada con respecto a
x:
Ahora hacemos lo mismo para la integral que nos queda, integrada con respecto a y:
Además vemos que la altura del rectángulo dx se mueve entre el eje x (y=0) y la función
(ahora definida en función de x):
Los cuales son los límites internos de integración para la variable «y», luego el área de la
región viene dada por la integral:
Calcular el área de la región R comprendida entra la parábola y=4x-x², el eje x y por encima
de la recta y=-3x+6:
En primer lugar, dividimos el área de dos partes, en el punto donde la recta corta al eje x:
La región de la izquierda queda definida entre los puntos 1 y 2 (los puntos corte de la recta
con la parábola y el eje x respectivamente) que es por donde puede moverse horizontalmente
el rectángulo:
y corresponden al los límites exteriores.
Los límites interiores para integrar con respecto a y, los determina la altura del rectángulo
que está acotado inferiormente por la recta y superiormente por la parábola:
En la región de la derecha, el triángulo vertical dx, puede moverse entre los puntos 2 y 4
(punto de corte de la recta con el eje x y de la parábola con el eje x):
Por tanto, el área vendrá determinada por la suma de las dos integrales: