Este documento presenta varios problemas relacionados con determinantes y matrices no singulares. Incluye calcular determinantes para diferentes tipos de matrices, demostrar propiedades de determinantes, determinar si matrices son singulares o no, y calcular inversas de matrices. El documento contiene 5 secciones con múltiples partes que abordan conceptos fundamentales de álgebra lineal como determinantes, matrices singulares e inversas.
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Este documento presenta varios problemas relacionados con determinantes y matrices no singulares. Incluye calcular determinantes para diferentes tipos de matrices, demostrar propiedades de determinantes, determinar si matrices son singulares o no, y calcular inversas de matrices. El documento contiene 5 secciones con múltiples partes que abordan conceptos fundamentales de álgebra lineal como determinantes, matrices singulares e inversas.
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Taller 2: Determinantes y Matrices no Singulares
Henry Steven Rueda Corredor
Álgebra Lineal Universidad Nacional de Colombia
March 26, 2020
1. Calcule, resuelva y/o demuestre
(a) Calcule el determinante de A si: i. A es una matriz cuadrada involutiva ii. A es una matriz cuadrada ortogonal iii. A es una matriz cuadrada idempotente iv. A es una matriz cuadrada antisimétrica (b) Demuestre i. Si A y B son matrices triangulares inferiores, entonces el det(AB) = det(A)det(B) ii. En general, no se cumple que det(A + B) = det(A) + det(B) iii. Si A es triangular, entonces detA 6= 0 si y sólo si todos los elementos en la diagonal de A son diferentes de cero. iv. Si A es una matriz antisimétrica de n x n y n es impar, entonces det(A) = 0 v. Demuestre que:
vi. Sea A una matriz singular. Demuestre que (A)(adj(A)) es la matriz
cero.
1
α −3 (c) ¿Para cuáles valores de α la matriz A = es no invertible? 4 1−α −κ κ − 1 κ + 1 (d) ¿Para qué valores de κ la matriz A = 1 2 3 no tiene 2−κ κ+3 κ+7 inversa? cosθ senθ 0 (e) Sea θ un número real. Demuestre que A = −senθ cosθ 0 es in- 0 0 1 vertible y encuentre su inversa. 2. Considere las siguientes matrices: −2 3 1 A = 4 6 5 0 2 1 4 1 1 B = 4 1 3 4 2 −1 −3 0 0 0 −4 7 0 1 C= 5 8 −1 2
2 3 0 6 −2 0 0 7 1 2 −1 4 D= 3 0 −1 5
4 2 3 0
−5 6 E= 1 2 F2x2 = i + (−2)i+j
De ser posible calcule:
(a) det(A2 B) (b) det(A−1 BA) (c) det(C)
2 (d) det(D) (e) det(adjA) (f) det(adjC) (g) det(C −3 ) (h) det(E 2 F 3 ) 3. De ser posible, calcule la inversa de las matrices anteriores. 4. Determine todos los valores de x para los cuales las siguientes matrices son no singulares x 1 2 (a) 3 4 5 6 7 8 x 1 2 (b) 0 1 1 1 0 x x 0 0 1 0 x 0 0 (c) 0 0 x 0
1 0 0 x 5. Demuestre que el det(A) = (a4 − b4 )/(a − b), para todo a, b números reales y a 6= b, donde a + b ab 0 A= 1 a + b ab 0 1 a+b
