ALGEBRA LINEAL

TALLER II DETERMINANTES
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
Marzo de 2013

1. Considere
 las siguientes
 matrices:  
3 0 0 −2 7 6 ( )
−5 6
A =  2 −5 1  B =  5 1 −2  C =
1 2
1 9 −4 3 8 4  
  1 3 1 5 3
1 −2 3 1 
( )
 5 −9 6 −2 −7 0 −4 2 
2 1 3   
D= E=  −1 2 −6 −2 
 F =
 0 0 1 0 1 
−1 3  0 0 2 1 1 
2 8 6 0
0 0 0 1 1
Calcular:
a. det(At B 2 ) b. det(C + 2D) c. det(E) d. det(F −3 )
−1
e. det(C − 3I2 ) d. det(adj(A)) e. det(C DC)
2. Encontrar x ∈ R que
 satisfaga: 
   1 0 −3 
 x 
−1   

a.  = 2 x −6 
3 1 − x   

1 3 x−5  
1 0 −1
b. det(A − xI) = 0 , con A= 2 0 1 
  0 0 −1
 1 1 1 1 
 
 1 x x2 x3 
c.  =0

 3 x+2 2x + 1 3x 
 3 2x + 1 x2 + 2x 3x2 

3. Determinar si la proposicón es verdadera o falsa (JUSTIFICAR)

1
 e. det(A + B) = det(A) + det(B)
f. Si Ak = On×n para algún k entero positivo, entonces A es singular.
g. Si det(A) = −2 ,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la solución
trivial.
h. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0
i. Si B = P AP −1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B)
j. Si A y B son matrices no singulares, entonces A + B es no singular.
k. det(AB) = det(BA)
l. M y N son matrices 3 × 3 tales que det(2M −1 N ) = 12 y det(N ) = 3,
entonces det(M ) = 21
   
a b c  y b t 
   
m. x y z  = x a s 
 s t u  z c u
   
 a b c   a+x b+y c+z 
   
n. Si  p q r  = 6, entonces  3x 3y 3z  = −18

 x y z   −p −q −r 

4. Completar:


αx + y + z = 1
a. El sistema: x + αy + z = 1 Tiene única solución si α ∈ { }


x + y + αz = 1
b. Si det(A) = 35 y AB = O, entonces B =
 
2 c c
c. A =  c c c  es singular si c=
8 7 6
   
a b c  4u 2a −p
 
d. Si  p q r  = 3, y si B =  4v 2b −q , entonces: det(2B −1 ) =
u v w  4w 2c −r
 
e. Si A = O (nilpotente) entonces A =
k
 
f. A5×5 es antisimétrica entonces A =

 −1   
g. si A y B son matrices 3 × 3 tal que 2A  = 6 y At (2B)−1  = 18,

entonces A2 B t  =
h. Si A ∈ Mn×n es no singular entonces |(adjA)| =
5. sea A ∈ Mn×n (R) y suponga que det(A) ̸= 0

a. Muestre que det(adj(A)) = det(A)n−1 .

2
  
4 1 0
c. Encuentre una matriz A tal que adj(A) = −4 −1 −6.
−2 1 0
¿ A es única ?

APLICACIONES
6. Considere la siguiente figura:

 
x1 y1 1
 
Demostrar que el área del triángulo ABC es: 12 x2 y2 1
x3 y3 1
Sug: Area(ABC) = Area(ADEC) + Area(CEF B) − Area(ADF B)
 
2 5 5
7. Usando la adjunta encontrar la inversa de la matriz:  −1 −1 0 
2 4 3

 4x + 5y = 2
8. Usando la regla de cramer resolver el sistema: 11x + y + 2z = 3

x + 5y + 2z = 1

9. Encontrar X de tamaño 3 × 3 talque:

 t    
1 2 2 2 −5 2 −3 −1 2
 3 1 0  X  1 2 −4  +  1 −2 −3  = I3
1 1 1 3 −4 −6 2 3 1