Solución Actividad 1 Cálculo Vectorial Versión 2

Solución actividad 1 Cálculo Vectorial Versión 2
1. La recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 0, −3) + 𝑡(1, 2, −4) contiene al punto (2, 2, -1)
Falso. 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 2, −1)
2. La ecuación del plano que contiene los puntos 𝐴(2, 3, −1), 𝐵(5, 5, −2) y C(1, 0, 0) es 𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 1.
Verdadero. Podemos hallar la ecuación del plano o simplemente, probar si los puntos pertenecen al plano
reemplazando las coordenadas (x, y, z) en la ecuación del plano, veamos…
𝐴(2, 3, −1) → 2 + 6 − 7 = 1 𝐵(5, 5, −2) → 5 + 10 − 14 = 1 𝐶(1,0,0) → 1 + 0 + 0 = 1
3. La recta 𝑥 = 1 + 5𝑡, 𝑦 = 1 − 2𝑡, 𝑧 = 4 + 𝑡 y el plano 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1 son paralelos.

Verdadero. El vector direccional de la recta es 𝒗 = (5, −2, 1) y el vector normal del plano es 𝑵 = (2, 3 − 4)
𝒗 ∙ 𝑵 = (5, −2, 1) ∙ (2, 3, −4) = 10 − 6 − 4 = 0
Son paralelos, pues sus vectores direccional y normal, son perpendiculares entre sí.
4. El plano 𝑎𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 15 contiene al punto 𝐴(𝑎, 3, −1) o al punto 𝐵(2, 5, 𝑎)

Falso. Si un punto pertenece al plano, debe satisfacer la ecuación dada, este no es el caso para estos puntos:
𝐴(𝑎, 3, −1) → 𝑎2 + 9 − 2 = 𝑎2 + 7 ≠ 15 ∉ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜
𝐵(2, 5, 𝑎) → 2𝑎 + 15 + 2𝑎 = 4𝑎 + 15 ≠ 15 ∉ 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜
5. Los planos 6𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 8 y 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 5 son paralelos.

Falso. No son paralelos, pues no hay un escalar k, tal que 𝑵 = 𝑘𝑴, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑵 = (6, −1, −4) 𝑦 𝑴 = (3, 2, 4)
6. El punto (15, 5, −20) pertenece a la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) + 𝑡(7, 1, −9).

Falso. 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7, 1, −9)
7. La superficie 𝑥 2 + 3𝑦 2 − 4𝑥 + 𝑦 = 12 corresponde a un cilindro elíptico con generatrices paralelas al eje z.

Verdadero. Es una ecuación en término de dos variables. Este cilindro tiene láminas paralelas al eje z
1 1 1
𝑥 2 + 3𝑦 2 − 4𝑥 + 𝑦 = 12 → 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 3 (𝑦 2 + 𝑦 + ) = 12 + 4 +
3 36 12
2
1 193
(𝑥 − 2)2 + 3 (𝑦 + ) = 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑦 𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠 ∥ 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑧 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒).
6 12
1−3𝑡 (2−3𝑡) (3−4𝑡)

8. Las rectas 𝐿1: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,1) − 𝑡(1,2,3) y 𝐿2: 𝑥 = 2
,𝑦 = 3
,𝑧 = 1
son perpendiculares entre
sí.
3 3 31
Falso. 𝒗𝟏 = (1, 2, 3) y 𝒗𝟐 = (− , −1, −4) → 𝒗𝟏 ∙ 𝒗𝟐 = − − 2 − 12 = − ≠ 0. No son paralelos.
2 2 2
9. El plano 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 7 = 0 y la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, −2, 3) + 𝑡(−6, 1, 4) son perpendiculares.

Falso. Sus vectores normal y direccional son perpendiculares entre sí, esto implica que la recta es paralela al plano.
10. Una ecuación de la recta que contiene los puntos 𝐴(2, 3, −1) y 𝐵(5, 5, −2) es (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 1, 0) +
𝑡(3, 2, −1)
Verdadero. La ecuación de la recta puede ser:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, −1) + 𝑡(3, 2, −1) 𝑜 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5, 5, −2) + 𝑡(3, 2, −1)
En el primer caso, para t=-1 se cumple que (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 1, 0). En el segundo caso, para t=-2 se cumple que (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(−1, 1, 0). Por lo tanto, la recta también puede ser: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 1, 0) + 𝑡(3, 2, −1)
Resumen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F V V F F F V F F V
Solución ejercicio C.
(7 puntos) Encuentre, una ecuación de la recta que pasa por (−1, 3, 4) y es paralela al plano que pasa por las
intersecciones (4, 0, 0), (0, 2, 0) 𝑦 (0, 0, 3). Para este ejercicio debe hacer la gráfica de los puntos en un sistema de
coordenadas rectangulares a mano y un bosquejo del plano y la recta que cumpla con esas condiciones.
Se tienen los puntos 𝑀(4, 0, 0), 𝑄(0, 2, 0) 𝑦 𝑅(0, 0, 3), entonces:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, 2, 0) 𝑦 𝑀𝑅
𝑀𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, 0, 3). 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜:
𝒊 𝒋 𝒌
𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑀𝑅
⃗ = 𝑀𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |−4 2 0| = 6𝒊 + 12𝒋 + 8𝒌 = 2(3, 6, 4)
−4 0 3
⃗ = (2, 6, 4) y 𝑀(−4, 0, 0). Si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un punto cualquiera sobre el plano, se cumple que:
Usamos 𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 ∙ 𝑁 ⃗ = 0 → (𝑥 − 4, 𝑦, 𝑧) ∙ (3, 6, 4) = 0 → 3𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 12
Ahora, una vez obtenida la ecuación del plano, necesitamos la ecuación de una recta paralela a él y que contenga al
⃗
punto (−1, 3, 4). Para que esta recta sea paralela al plano, su vector direccional debe ser perpendicular al vector 𝑁
⃗.
normal del plano. Lo cual es sencillo, pues cualquier vector sobre el plano es perpendicular a 𝑁
Ya disponemos de dos vectores en el plano
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑄 = (−4, 2, 0) 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑅 = (−4, 0, 3).
Por lo tanto, una ecuación del plano puede ser:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 3, 4) + 𝑡(−4, 2, 0)
𝑜 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 3, 4) + 𝑡(−4, 0, 3)
La gráfica muestra el plano, el vector normal del plano y dos

rectas que son paralelas al plano y que pasan por el punto (-1, 2,
3). Hay infinitas rectas que cumplen con esta condición.

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3. La recta 𝑥 = 1 + 5𝑡, 𝑦 = 1 − 2𝑡, 𝑧 = 4 + 𝑡 y el plano 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1 son paralelos.

4. El plano 𝑎𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 15 contiene al punto 𝐴(𝑎, 3, −1) o al punto 𝐵(2, 5, 𝑎)

5. Los planos 6𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 8 y 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 5 son paralelos.

6. El punto (15, 5, −20) pertenece a la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) + 𝑡(7, 1, −9).

7. La superficie 𝑥 2 + 3𝑦 2 − 4𝑥 + 𝑦 = 12 corresponde a un cilindro elíptico con generatrices paralelas al eje z.

1−3𝑡 (2−3𝑡) (3−4𝑡)

9. El plano 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 7 = 0 y la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, −2, 3) + 𝑡(−6, 1, 4) son perpendiculares.

Se tienen los puntos 𝑀(4, 0, 0), 𝑄(0, 2, 0) 𝑦 𝑅(0, 0, 3), entonces:

Ya disponemos de dos vectores en el plano

Por lo tanto, una ecuación del plano puede ser:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 3, 4) + 𝑡(−4, 2, 0)

𝑜 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, 3, 4) + 𝑡(−4, 0, 3)

La gráfica muestra el plano, el vector normal del plano y dos

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