CURSO DE NIVELACIÓN MAYO 2023

TUTORÍA No 54 DE MATEMÁTICAS
martes 15 de agosto de 2023

Capítulo Secciones

11 Geometría Analítica 10.1 Puntos y Rectas en el plano

1) Determine la distancia entre los siguientes pares de puntos:

• (4, 6); (7, −6)
• (0, 1); (2, 3);
• (5𝑎, 2𝑎); (𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ

SOLUCION:

2
• ⅆ (𝐴, 𝐵) = √(4 − 7)2 + (6 − (−6)) = √(−3)2 + (12)2 = √153
• ⅆ (𝐴, 𝐵) = √(0 − 2)2 + (1 − 3)2 = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2
• ⅆ (𝐴, 𝐵) = √(5𝑎 − 𝑎)2 + (2𝑎 − 3𝑎)2 = √(4𝑎)2 + (−𝑎)2 = √17𝑎2 = 𝑎√17

2) Obtenga los puntos medios de los segmentos de recta determinados por los siguientes pares de
puntos:
• (1, 2); (−5, −6)
• (𝜋, 𝑒); (𝑒, −𝜋);
• (1 + 𝑏, 2𝑏); (𝑏 − 1, 0); 𝑏 ∈ ℝ

SOLUCION:

1+(−5) 2+(−6)
• 𝑀𝐴𝐵
̅̅̅̅ = (
2 2
, ) = (−2, −2)
𝜋+𝑒 𝑒+(−𝜋) 𝜋+𝑒 𝜋−𝑒
• 𝑀𝐴𝐵
̅̅̅̅ = ( , )=( ,− )
2 2 2 2
(1+𝑏)+(𝑏−1) 2𝑏+0 2𝑏 2𝑏
• 𝑀̅̅̅̅
𝐴𝐵 = ( , )=(2 , ) = (𝑏, 𝑏)
2 2 2

3) Calcule la pendiente de las rectas que se obtienen con los siguientes pares de puntos:
• (−1, 1); (1, 1)
𝑒2 𝜋2
• (𝜋+𝑒 , −𝑒); (𝜋+𝑒 , 𝜋);
• (1/𝑏 , 0); (0, 1/𝑎); 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ − {0}

SOLUCION:

1−1 0
• 𝑚 = 1−(−1) = 2 = 0
𝜋−(−𝑒) 𝜋+𝑒 (𝜋+𝑒)2 𝜋+𝑒
• 𝑚= 𝜋2 ⅇ2
= 𝜋2 −ⅇ2
= (𝜋+𝑒)(𝜋−𝑒) = 𝜋−𝑒
−
𝜋+ⅇ 𝜋+ⅇ 𝜋+ⅇ
1 1
−0 𝑏
• 𝑚= 𝑎
1 = − 𝑎1 = − 𝑎 = 0
0−
𝑏 𝑏
4) Determine el vector normal de la recta que contiene los puntos observados en el gráfico:

SOLUCIÓN:

A partir de los puntos del gráfico, se sabe que la ecuación de la recta en su forma simétrica es:
𝑥 𝑦
+ =1
𝑎 𝑏
Realizando la manipulación algebraica para que esta ecuación se presente en su forma general,
obtenemos:
𝑥 𝑦
(ab) ( + ) = 1(𝑎𝑏)
𝑎 𝑏

𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏

𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑎𝑏 = 0 → 𝑛⃗ = (𝑏, 𝑎)

5) Determine la ecuación de la recta en su forma simétrica, tal que, contiene los siguientes puntos
(−6,2); (3, −4)

SOLUCION:
Partiendo de la ecuación paramétrica de la recta:
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1
=
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1
Y aplicando 𝑃1 (−6,2) y 𝑃2 (3, −4), tenemos:
𝑥 − (−6) 𝑦−2 𝑥+6 𝑦−2
= ⇒ =
3 − (−6) −4 − 2 9 −6

𝑥 2 𝑦 1 𝑥 𝑦 1
+ =− + ⇒ + =−
9 3 6 3 9 6 3

Al multiplicar todo por (−3), nos queda:

𝑥 𝑦
+ =1
−3 −2

Resultando que los puntos (−3,0) y (0, −2) son las intersecciones con los ejes coordenados.

6) Determine la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, tal que, la medida del ángulo
3
que se obtiene con el eje 𝑦 es 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ), contiene al punto (4, 4) y es de pendiente
5
positiva.

SOLUCIÓN:
Al realizar una representación gráfica del ángulo que forma la recta y el eje 𝑌, obtenemos:
 En lo que podemos reconocer el triángulo rectángulo 3-4-5 debido
a que
3
𝜑
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
5
Y dado que el ángulo 𝜑 que forma la recta con el eje 𝑋 es
complementario a 𝜃 , tenemos que:
𝜃 5
3
𝑡𝑎𝑛 𝜑 =
4
𝜑
Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente
es:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
3
𝑦 − 4 = (𝑥 − 4)
4

7) Determine la ecuación de la recta 𝐿1 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 si se cumple lo siguiente:

𝐿1 : Contiene el punto 𝑃(1,0) y 𝐿1 ∥ 𝐿2 .
𝐿2 : Contiene los puntos (−5,1) y (1,5).

SOLUCION:
Considerando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente para 𝐿1 , tenemos:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
𝑦 − 0 = 𝑚 (𝑥 − 1)
Obtendremos la pendiente 𝑚 de la recta 𝐿2 , ya que 𝐿1 ∥ 𝐿2
5−1 4 2
𝑚2 = = =
1 − (−5) 6 3
Por lo tanto,
2
𝑦 − 0 = (𝑥 − 1)
3
3𝑦 = 2𝑥 − 2
2𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0

8) Calcule la medida del ángulo agudo que se obtiene al interceptar dos rectas que cumplen con
las siguientes condiciones:
𝐿1 : Contiene los puntos 𝐴(3,1) y 𝐵(5,2)
𝐿2 : Contiene el origen de coordenadas y al punto medio entre 𝐴 y 𝐵.

SOLUCION:
Sabemos que el ángulo entre dos rectas es el mismo que se obtiene entre sus respectivos vectores
normales, entonces obtengamos las ecuaciones de ambas y apliquemos la expresión de ángulo
entre vectores.
Aplicando la expresión de la ecuación paramétrica de la recta para 𝐿1 :
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑥−3 𝑦−1
= → =
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 5−3 2−1

𝑥−3
=𝑦−1 → 𝑥 − 3 = 2𝑦 − 2
2
𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 → 𝑛⃗1 = (1, −2)

Para la recta 𝐿2 , sabemos que un punto es el origen de coordenadas y el segundo es el punto

medio del segmento 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Entonces,
 3+5 1+2 3
𝑀𝐴𝐵
̅̅̅̅ = ( , ) = (4, )
2 2 2
Aplicando la expresión de la ecuación paramétrica de la recta para 𝐿2 :
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑥−0 𝑦−0
= → =
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 4−0 3−0
2
𝑥 2𝑦
= → 3𝑥 = 8𝑦
4 3

3𝑥 − 8𝑦 = 0 → 𝑛⃗2 = (3, −8)

De manera que el ángulo entre las rectas es:

⃗⃗⃗⃗1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑛 𝑛2 19
𝜃 = cos −1 ( ) = cos −1 ( )
‖𝑛
⃗⃗⃗⃗1 ‖‖𝑛 ⃗⃗⃗⃗2 ‖ √5√73

9) Calcule la distancia desde el punto 𝑃 hacia la recta 𝐿 , si se sabe que:

𝑃: Es el punto medio entre 𝐴(3,1) y 𝐵(−5,3).
𝜋
𝐿: Forma un ángulo con el semieje 𝑋 positivo de medida y contiene al punto (2, −1).
4

SOLUCION:
Para saber la distancia debemos determinar el punto 𝑃, y el vector normal a la recta, por tanto,
se debe establecer la ecuación de la recta 𝐿 .
̅̅̅̅ está dado por:
El punto medio del segmento 𝐴𝐵
3 + (−5) 1 + 3
𝑃 = 𝑀𝐴𝐵
̅̅̅̅ = ( , ) = (−1,2)
2 2
Ahora, combinando la forma de la ecuación de la recta de la forma punto-pendiente y la
pendiente en función del ángulo con respecto a la horizontal, tenemos:

[𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )] → [𝑦 − 𝑦0 = (tan 𝜑)(𝑥 − 𝑥0 )]

𝜋
𝑦 − (−1) = (𝑡𝑎𝑛 ) (𝑥 − 2) → 𝑦 + 1 = (1)(𝑥 − 2)
4

𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 → 𝑛⃗ = (1, −1)

De manera que la distancia entre 𝑃 y 𝐿 está dada por:

|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐| |(1)(−1) + (−1)(2) − 3| 6

ⅆ(𝑃, 𝐿) = = = = 3√2
√𝑎2 + 𝑏 2 √12 + (−1)2 √2

10) Obtenga la ecuación de la recta que es bisectriz al ángulo agudo que se forma en la intersección
entre las rectas:
1 1
𝐿1 : 𝑦 + = 𝑥+1
√3 √3
𝐿2 : 𝑦 + √3 = √3 𝑥 + 1

NOTA: La medida del ángulo formado por la bisectriz y el semieje 𝑋 positivo es la media aritmética
de los ángulos formados por las dos rectas con el mismo semieje horizontal.

SOLUCION:
 Basta con encontrar la pendiente y un punto que pertenezca a la recta bisectriz para determinar
la ecuación de esta recta.
El punto que pertenece sería la misma intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 . De manera que:
1 1
𝑥−𝑦 = −1
{√3 √3
√3𝑥 − 𝑦 = √3 − 1
Restando la segunda de la primera ecuación obtenemos:
−1 𝑥 +𝑦 = −1 + 1
√3 √3
√3𝑥 −𝑦 = √3 − 1
→𝑥=1 ∧ 𝑦=1
2 2
𝑥=
√3 √3
Luego, el punto (1,1) pertenece a la recta bisectriz.

Ahora, sabemos que el ángulo de la recta bisectriz depende de los ángulos de las dos rectas 𝐿1
y 𝐿2 , entonces tenemos que:

1
𝑡𝑎𝑛 𝜑1 = ∧ 𝑡𝑎𝑛 𝜑2 = √3
√3
𝜋 𝜋
𝜑1 = ∧ 𝜑2 =
6 3
Por lo tanto,
𝜋 𝜋
+ 𝜋
𝜑3 = 6 3 =
2 4
𝜋
Por lo que la pendiente de la bisectriz es 𝑡𝑎𝑛 𝜑3 = 𝑡𝑎𝑛 = 1, y ya que conocemos que el punto
4
(1,1) pertenece a la recta, podemos obtener su ecuación:
[𝑦 − 𝑦0 = (tan 𝜑)(𝑥 − 𝑥0 )]
[𝑦 − 1 = 1(𝑥 − 1)]
𝑦−1 =𝑥−1
𝑦=𝑥

11) Determine las ecuaciones de las rectas paralelas que tienen una distancia de separación de 1
unidad y que contienen cada una a los puntos (0, 1) y (3,2) respectivamente.

SOLUCION:
Al ser paralelas, ambas rectas poseen el mismo valor de pendiente.
(0,1) ∈ 𝐿1 → 𝑦 − 1 = 𝑚𝑥 → −𝑚𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
(3,2) ∈ 𝐿2 → 𝑦 − 2 = 𝑚(𝑥 − 3) → −𝑚𝑥 + 𝑦 + 3𝑚 − 2 = 0
 Ahora, para sacar la distancia entre las rectas, basta con tomar un punto de una recta y aplicar
la expresión que determina la distancia de este con respecto a la otra recta.
Se va a obtener la distancia del punto (3,2) ∈ 𝐿2 hasta la recta 𝐿1 .

|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐| |(−𝑚)(3) + (1)(2) − 1| |−3𝑚 + 1|

ⅆ(𝑃2 , 𝐿1 ) = = = =1
√𝑎2 + 𝑏2 √(−𝑚)2 + 12 √𝑚2 + 1

Elevando al cuadrado,

2
(−3𝑚 + 1)2 = (√𝑚2 + 1)
9𝑚2 − 6𝑚 + 1 = 𝑚2 + 1
8𝑚2 − 6𝑚 = 0
2𝑚(4𝑚 − 3) = 0
3
(𝑚 = 0) ∨ (𝑚 = )
4
De manera que tenemos dos posibles soluciones:

Con 𝑚 = 0
(0,1) ∈ 𝐿1 : 𝑦 = 1
(3,2) ∈ 𝐿2 : 𝑦 = 2
3
Con 𝑚 =
4
3
(0,1) ∈ 𝐿1 : − 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
4

3 1
(3,2) ∈ 𝐿2 : − 𝑥 + 𝑦 + = 0
4 4

12) Determine la ecuación de la recta mediatriz del segmento formado por los puntos (0, 𝑒) y (𝜋, 0).

SOLUCION:
La mediatriz es una recta perpendicular que biseca al segmento en partes iguales, es decir que
pasa a través de su punto medio. Se necesita de un punto y la pendiente para obtener la ecuación
solicitada.
De tal manera, que el punto medio entre los puntos mencionados es:

0+𝜋 𝑒+0 𝜋 𝑒
𝑃 = 𝑀𝐴𝐵
̅̅̅̅ = ( , )=( , )
2 2 2 2
La pendiente del segmento se lo puede obtener con el cociente de las diferencias de las
coordenadas de los puntos.
0−𝑒 𝑒
𝑚1 = =−
𝜋−0 𝜋

La pendiente de la mediatriz se la obtiene mediante el teorema de las pendientes de rectas

perpendiculares. Por lo tanto,
𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1

−1 𝜋
𝑚2 = =
𝑚1 𝑒

De manera tal que al aplicar los datos obtenidos en la ecuación de la forma punto-pendiente,
tenemos:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
 𝑒 𝜋 𝜋
𝑦− = (𝑥 − )
2 𝑒 2

−2𝜋𝑥 + 2𝑒𝑦 + (𝜋 2 − 𝑒 2 ) = 0