Plano

PLANO
ESTUDIAR TODOS LOS EJERCICIOS DE PLANO RESUELTOS EN LA GUÍA DE EDUCO.
1) Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto 𝑃1 (−2; −1; 5) y es perpendicular a la
recta "𝑙" determinada por los puntos 𝑀(2; −1; 2) y 𝑁(−3; 1; −2).
Para resolver el ejercicio, recordemos primero la ecuación vectorial del plano:
𝑛̅ ∙ ̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃 = 0
Siendo 𝑛̅ la normal del plano, y ̅̅̅̅̅

𝑃1 𝑃 un vector perteneciente al plano.
Con los puntos 𝑀 y 𝑁 podemos encontrar la normal, dado que la recta "𝑙" a la que pertenecen,
es perpendicular al plano:
𝑙 = ̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 = 𝑛̅(𝐴; 𝐵; 𝐶) = (−5; 2; −4)
Armamos un vector entre el punto 𝑃1 y un punto genérico 𝑃 (𝑥; 𝑦; 𝑧) de tal manera de obtener
otro vector:
̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃 = (𝑥 + 2; 𝑦 + 1; 𝑧 − 5)
Y ahora calculamos la ecuación del plano:

Ecuación normal del plano:
𝑛̅ ∙ ̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃 = 0
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
(−5; 2; −4) ∙ (𝑥 + 2; 𝑦 + 1; 𝑧 − 5) = 0 Recordar que 𝐴, 𝐵, 𝐶 son las
componentes de la normal del plano
−5(𝑥 + 2) + 2(𝑦 + 1) − 4(𝑧 − 5) = 0
𝑛̅ = (𝐴; 𝐵; 𝐶)
𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎
2) El pie de la perpendicular trazada desde el origen del sistema de coordenadas a un plano es el

punto (1; −2; 1). Hallar la ecuación del plano.
3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (−4; 2; 9) y es perpendicular al eje “𝑧”.
4) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃(3; −2; 6) y es paralelo al plano 4𝑦 − 3𝑧 +
12 = 0.
Ayuda: si dos planos son paralelos, entonces sus normales son…
6) Hallar la ecuación vectorial y general del plano determinado por el punto 𝑃(2; −3; −1) y la recta
𝑥+1 𝑦−2 𝑧+4
de ecuación −1
= 2
= 3
.
A la ecuación vectorial del plano, la conformamos con un punto y dos vectores pertenecientes al
plano. Pero NUNCA con la normal, dado que la normal no pertenece al plano, lo atraviesa.
Ya tenemos el punto 𝑃, nos faltan los dos vectores. Uno de ellos, puede ser el vector dirección
de la recta 𝑎̅ = (−1; 2; 3) y al otro, podemos formarlo con el punto de la recta y el punto 𝑃 del
plano, obteniendo el vector 𝑏̅ = (3; −5; 3). También podríamos haber obtenido
𝑏̅ = (−3; 5; −3).
(𝒙; 𝒚; 𝒛) = (𝟐; −𝟑; −𝟏) + 𝝀𝟏 (−𝟏; 𝟐; 𝟑) + 𝝀𝟐 (𝟑; −𝟓; 𝟑)
Para encontrar la ecuación general del plano, debemos encontrar su normal, aplicando producto
vectorial:
𝑖̅ 𝑗̅ 𝑘̅
𝑛̅(𝐴; 𝐵; 𝐶) = 𝑎̅˄𝑏̅ = |−1 2 3| = (−12; −12; 1)
3 −5 3
𝑛̅ ∙ ̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃 = 0
𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑦 + 3) + 𝐶(𝑧 + 1) = 0
−12(𝑥 − 2) − 12(𝑦 + 3) + 1(𝑧 + 1) = 0
𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟕 = 𝟎
𝑃1 𝑃, 𝑎̅ y 𝑏̅:
Podríamos haber hecho también producto mixto entre los tres vectores ̅̅̅̅̅
𝑥−2 𝑦+3 𝑧+1

̅̅̅̅̅ ̅
𝑃1 𝑃(𝑎̅˄𝑏) = | −1 2 3 |
3 −5 3
𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟕 = 𝟎
8) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4; −2; 1) y es perpendicular a cada uno de
los planos 𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 9 = 0 y 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 11 = 0. Graficar.
15) Hallar la ecuación general del plano que pasa por los tres puntos no colineales 𝑃(−3; 2; 4);
𝑄(1; 5; 7) y 𝑅(2; 2; −1).
19) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta intersección de los planos:
𝜋1 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 4 = 0 y 𝜋2 = 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 9 = 0 y es paralelo a la recta cuyos números
directos son (1; 3; −1).
Este ejercicio lo resolvemos aplicando familia de planos, al igual que hicimos con familia de
rectas:
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 + 𝑘(𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 ) = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 4 + 𝑘(2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 9) = 0
(1 + 2𝑘)𝑥 + (−1 + 𝑘)𝑦 + (2 + 3𝑘)𝑧 + 4 − 9𝑘 = 0
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
Si un plano es paralelo a una recta, entonces su normal es perpendicular a dicha recta:

Por lo tanto, el producto escalar entre ellas es cero:
(𝐴; 𝐵; 𝐶) ∙ (1; 3; −1) = 0
(1 + 2𝑘) ∙ 1 + (−1 + 𝑘) ∙ 3 + (2 + 3𝑘) ∙ (−1) = 0
𝑘=2
Y ahora reemplazamos k en la ecuación de la familia de planos para obtener la ecuación

buscada:
(1 + 2 ∙ 2)𝑥 + (−1 + 2)𝑦 + (2 + 3 ∙ 2)𝑧 + 4 − 9 ∙ 2 = 0
𝟓𝒙 + 𝒚 + 𝟖𝒛 − 𝟏𝟒 = 𝟎
20) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃(2; 5; −1) y por la recta intersección de los
planos 𝜋1 = 4𝑥– 𝑦 − 2𝑧– 8 = 0 y 𝜋2 = 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 – 4 = 0.
23) Determinar el valor del parámetro “𝑘” de tal manera que un plano de la familia
2𝑥 + 𝑘𝑦– 𝑘𝑧 + 7 = 0, sea perpendicular al plano 3𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0. Hallar la ecuación del
plano.
25) Determinar el valor del parámetro “𝑘” de tal manera que un plano de la familia
𝑘𝑥 − 3𝑦 + 𝑘𝑧 − 22 = 0 pueda pasar por el punto (3; −4; 2). Hallar la ecuación del plano.
27) La ecuación de un plano es 5𝑥– 3𝑦 + 15𝑧– 15 = 0. Hallar sus intersecciones con los ejes
coordenados “𝑥”, “𝑦” , “𝑧” y las ecuaciones de sus trazas sobre los planos coordenados
“𝑥𝑦”, “𝑥𝑧”, “𝑦𝑧”. Graficar.
28) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano coordenado “𝑥𝑦” y que pasa por los puntos
𝑃1 (1; 5; −3) y 𝑃2 (−5; −4; 11).
30) Comprobar si los tres planos 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0; 8𝑥 − 𝑦 + 13𝑧 − 21 = 0

y 4𝑥 + 𝑦 + 9 − 5 = 0, se cortan en un punto.
44) Hallar la distancia dirigida del punto 𝑃(− 3 ; − 4 ; 2) al plano 3𝑥 + 12𝑦 − 4𝑧 − 39 = 0.

Interpretar el signo de esta distancia. Graficar.
Para resolver este ejercicio, debemos conocer la ecuación de la distancia de un punto a un

plano:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷
=𝑑
±√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 Si 𝐷 ≠ 0 → +
Si 𝐷 = 0 → −
Siendo 𝑥, 𝑦, 𝑧 las coordenadas del punto.
3 ∙ (−3) + 12 ∙ (−4) − 4 ∙ 2 − 39
=𝑑
+√32 + 122 + (−4)2
𝒅 = −𝟖
El signo negativo indica que el punto se encuentra entre el origen del sistema de coordenadas y
el plano. Si d hubiese sido positiva, entonces el plano se hubiese encontrado entre el origen y el
punto:
Plano que corta a los ejes “x”, “y”, “z” en los puntos A, B y C.
La distancia del plano al punto E(6;5;3) es positiva, porque el plano se encuentra entre el origen del
sistema y el punto.
Plano que corta a los ejes “x”, “y”, “z” en los puntos A, B y C.
La distancia del plano al punto E(2;2;2) es negativa, porque el punto se encuentra entre el origen
del sistema y el plano.

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Para resolver el ejercicio, recordemos primero la ecuación vectorial del plano:

Siendo 𝑛̅ la normal del plano, y ̅̅̅̅̅

Y ahora calculamos la ecuación del plano:

2) El pie de la perpendicular trazada desde el origen del sistema de coordenadas a un plano es el

Ayuda: si dos planos son paralelos, entonces sus normales son…

(𝒙; 𝒚; 𝒛) = (𝟐; −𝟑; −𝟏) + 𝝀𝟏 (−𝟏; 𝟐; 𝟑) + 𝝀𝟐 (𝟑; −𝟓; 𝟑)

𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑦 + 3) + 𝐶(𝑧 + 1) = 0

−12(𝑥 − 2) − 12(𝑦 + 3) + 1(𝑧 + 1) = 0

𝑥−2 𝑦+3 𝑧+1

(1 + 2𝑘)𝑥 + (−1 + 𝑘)𝑦 + (2 + 3𝑘)𝑧 + 4 − 9𝑘 = 0

Si un plano es paralelo a una recta, entonces su normal es perpendicular a dicha recta:

(𝐴; 𝐵; 𝐶) ∙ (1; 3; −1) = 0

(1 + 2𝑘) ∙ 1 + (−1 + 𝑘) ∙ 3 + (2 + 3𝑘) ∙ (−1) = 0

Y ahora reemplazamos k en la ecuación de la familia de planos para obtener la ecuación

(1 + 2 ∙ 2)𝑥 + (−1 + 2)𝑦 + (2 + 3 ∙ 2)𝑧 + 4 − 9 ∙ 2 = 0

30) Comprobar si los tres planos 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0; 8𝑥 − 𝑦 + 13𝑧 − 21 = 0

44) Hallar la distancia dirigida del punto 𝑃(− 3 ; − 4 ; 2) al plano 3𝑥 + 12𝑦 − 4𝑧 − 39 = 0.

Para resolver este ejercicio, debemos conocer la ecuación de la distancia de un punto a un

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