APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES.

4.6.1 MOVIMIENTO VIBRATORIO DE SISTEMAS MECÁNICOS.

Según se conoce, especialmente de la física, la ecuación diferencial que los rige es dada por:

d2 y dy
m +C +ky=F ( t ) o '' '
m y +C y +ky=F ( t )
dt 2
dt

w
donde: m= , w=¿ peso , g=¿gravedad ; m=¿ masa
g

C es el coeficiente de amortiguamiento que se opone al movimiento del resorte.

k es la constante del resorte, depende de la rigidez de dicho resorte.

F (t) es una fuerza de acción exterior.

OBSERVACIÓN. Se mostrarán aplicaciones de las EDO Lineales con coeficientes constantes. Estas
ecuaciones con mayor importancia son aplicadas en el estudio de sistemas mecánicos de
vibraciones y en los circuitos eléctricos, aunque también existen otras aplicaciones de interés
que pueden ser tratadas a través de ejemplos típicos.

a) CASO 1: RESORTE VIBRANTE DE OSCILACIONES LIBRES.

Este es un sistema, el más simple que consiste en un resorte elástico común suspendido
verticalmente en un soporte fijo, como se muestra en la figura (a).

a) Resorte si estirar b) Sistema con peso en c) Sistema con peso en

equilibrio estático movimiento
 yo

yo+y
Resorte sin estirar y

Sistema con peso en

equilibrio estático. Sistema con peso en
movimiento

En el extremo inferior del resorte se sujeta un cuerpo de masa “m ” y el resorte se alarga hasta
una longitud “ y 0”, parte (b) de la figura. La masa del cuerpo es despreciada.

Si tiramos del cuerpo hacia abajo una distancia “ y ” y luego se le suelta, en dirección vertical el
cuerpo realiza un movimiento vibratorio alrededor de la posición vertical de equilibrio.

Se pueden considerar como positivas las fuerzas que actúan hacia abajo y como negativas a las
que actúan hacia arriba.

El objetivo de este sistema consiste en estudiar el movimiento del sistema en este caso y casos
similares; con este fin se consideran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su
movimiento, esto nos lleva a una ecuación diferencial que al resolverla se obtiene el
desplazamiento “ y ” como una función del tiempo “t ”.

Como es obvio la fuerza inmediata que actúa sobre el cuerpo es la gravedad, es decir: F 1=mg .

Donde “m ” es la masa del cuerpo y g ¿) es la aceleración de la gravedad.

Nota. La fuerza que tiende a retornar el cuerpo a su posición de equilibrio, llamada “Fuerza de
reposición”, conocida como la “Ley de Hooke” y es dada por: F=−ky ,

Donde “ y ” es la posición del cuerpo medida a partir de su posición de equilibrio y “ k ” es una

constante de proporcionalidad que depende de la rigidez del resorte; el signo negativo es porque
se opone al movimiento.

La magnitud de la fuerza de reposición es ¿ F∨¿ k ∨ y∨¿.

La fuerza de reposición en el sistema en reposo (equilibrio estático) figura en su parte (b) es

igual a la fuerza F 1, es decir F 1=−k y 0 ó mg=−k y 0 .

La fuerza de reposición en el sistema con desplazamiento y hacia abajo, parte (c) de la figura, es
dada por:
 F 2=−k ( y 0+ y) ó F 2=−k y 0−ky

La resultante de las fuerzas F 1 y F 2 en el sistema es: F=F 1+ F 2 = −mg−k y 0−ky

Pero como mg=−k y 0 , entonces se tiene que: F=−ky .

Aplicando la “Ley de Newton”: Fuerza = Masa por Aceleración:

2 2 2
d y d y wd y
m =−ky ; m + ky=0 ; + ky=0
dt
2
dt
2
g dt2

d 2 y kg
También: 2
+ y =0
dt w

2 kg
Su ecuación característica será: r + =0
w

Cuyas soluciones son: r =0 ±

√ kg
w
i

La solución general será: y= ASen ( √ kgw t )+BCos ( √ kgw t )

Esta función es conocida como OSCILACIÓN ARMÓNICA.

EJEMPLO 1. Se cuelga un peso de 1 Kg del extremo inferior de un resorte que está fijo en una
viga. El resorte se estira 38,25 mm. Si además se tira del peso hacia abajo 75 mm por debajo de
su posición de equilibrio y se suelta, se pide:

i) Hallar la ecuación diferencial y las condiciones que sigue el movimiento.

ii) Hallar la velocidad y la posición del peso en función del tiempo.

iii) Hallar la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento.

π
iv) Hallar la posición, velocidad y aceleración segundos después de haberlo soltado.
64

Solución.

i) Datos dados: y 0=38,25 mm ó y 0=0,03825 m.

2
g=9,8 m/s .

La magnitud de la fuerza de reposición, según la Ley de Hooke, es dada por: ¿ F∨¿ k ∨ y 0∨¿
 1=k∨0,03825∨¿, entonces k =26,14 .

Es decir que k =26,14 es la constante de proporcionalidad del resorte.

Por lo tanto, la ecuación diferencial que describe el movimiento planteado es:

2 2
1 d y d y
+26,14 y=0 o +256 y=0
9,8 d t 2 d t2

Al tirar el peso hacia abajo y=75 mm, cuando t=0 ó y=0,075 m cuando t=0

dy
Cuando se suelta el peso, la velocidad inicial es de 0 cuando t=0 , o que =0, cuando t=0
dt

En resumen, la ecuación diferencial con sus condiciones iniciales a resolver es:

2
d y
2
+256 y=0 ; y ( 0 )=0,075 ; y ' ( 0 )=0
dt
2
Para resolver, la ecuación característica asociada es: r +256=0,

Cuyas soluciones son los números complejos: r =±16 i

Y la solución general es: y= ASen ( 16 t ) + BCos ( 16 t )

Determinemos la solución particular pedida:

Derivando: y ' =16 ACos ( 16 t )−16 BSen ( 16 t )

Ahora: y (0)= A Sen[ 16 ( 0 ) ]+ B cos [16 ( 0 ) ]  y ( 0 )=B  B=0,075

y ( 0 )=16 Acos [ 16 ( 0 ) ] −B[16 ( 0 ) ]

'
 y ' ( 0 )=16 A  A=0

Por lo tanto, la solución particular es la función posición en el instante t dada por:

y=0,075cos ( 16 t )

ii) Derivando respecto a “t ” la función que describe el desplazamientos, se obtiene la velocidad,

que será:

v ( t )= y ' =−1,2 Sen (16 t )

Derivando v respecto a “t ” se obtiene la aceleración, que será: a ( t )=v ' =−19,2cos (16 t)

iii) En la función posición y=0,075cos (16 t) el número A=0,075 que es el mayor valor de “ y ”
y se llama AMPLITUD DEL MOVIMIENTO.

La expresión cos (16 t) es una función periódica.

EL PERIODO “T ” DEL MOVIMIENTO necesario para que el ángulo 16 t varíe en 2 π radianes, debe
π
verificar que 16 ( t+ T )−16 t=2 π , de donde T =
8

1 8
La frecuencia (número de ciclos por unidad de tiempo) es dad por: n= ó n=
T π

π
iv) Para un tiempo de t= =0,05 segundos se tiene:
64

y=0,075cos 16
[ ( )] π
64
, entonces: y=0,075 metros.

v ( t )= y ' =−1,2 Sen [16 ( π / 64)], entonces: v=−0,0849 m/s .

'
a ( t )=v =−19,2cos ¿ entonces: 2
a=−13,6 m/s .

0.06

0.04

0.02

0.2 0.4 0.6 0.8

-0.02

-0.04

-0.06

EJERCICIOS (12ª PRÁCTICA):

i) La constante de un resorte suspendido del techo es 18 Kg/m. se cuelga del resorte un peso de
3,68 Kg y cuando se alcanza el equilibrio, se levante el peso 128 mm por sobre la posición de
equilibrio y se le suelta. Descríbase el movimiento indicando la amplitud, el periodo y la
frecuencia.

ii) Cuando cierto peso es colocado en el extremo de un resorte vertical se hace vibrar un periodo
de 1,5 segundos, al añadirse 3,68 Kg, el periodo se convierte en 2,5 segundos. ¿Cuál era el peso
colocado originalmente en el resorte?

b) CASO 2: VIBRACIÓN AMORTIGUADA DE UN RESORTE.

Las vibraciones de los resortes estudiada antes (RESORTE VIBRANTE DE OSCILACIONES

LIBRES) no son muy reales debido a que las oscilaciones son ilimitadas, de decir el movimiento
nunca se detiene. En la realidad, experimentalmente, se observa que las oscilaciones disminuyen
en amplitud hasta detenerse, debido a fuerzas de rozamiento u otras.

Debemos entonces considerar una “Fuerza Amortiguadora” que sumada al sistema lo haga más
real; esta fuerza depende de muchos factores y no hay ley exacta que la determine, pero
dy
experimentalmente para velocidades pequeñas es dada por: F 3=−C
dt

donde C> 0 es la constante de amortiguamiento, el signo negativo es porque se opone al

movimiento del resorte.

La fuerza amortiguadora F 3 es aproximadamente proporcional a la velocidad instantánea del

peso colocado sobre el resorte.

Su gráfica que la represente se da a continuación.

Resorte sin estirar Sistema con peso en Sistema con peso en Sistema con un
equilibrio estático movimiento amortiguador

yo

yo+y
Resorte sin estirar y

Sistema con peso en

equilibrio estático. Sistema con peso Sistema con un
en movimiento amortiguador

dy
La resultante de las fuerzas F 1 , F 2 y F 3 en este sistema es: F=F 1+ F 2+ F3 = −ky −C
dt

d2 y dy d2 y dy
 m =−ky−C o m +C +ky=0
dt 2
dt dt 2
dt

2
d y C dy k C k
También se puede escribir como: + + y=0 o y' '+ y '+ y=0
d t m dt m
2
m y

2 C k
La ecuación característica asociada será: r + r + =0
m m

−C √ C −4 mk
2
Las soluciones serán: r 1 ; 2= ±
2m 2m

La forma de la solución, depende del amortiguamiento y se desprenden tres casos:

CASO I. SOBRE–AMORTIGUAMIENTO. Si C 2−4 mk> 0, las raíces son reales y distintas r 1 ≠r 2 y el
movimiento se denomina “vibración sobre-amortiguada” y la solución general es:

r t r t
y= A e + B e ,
1 2

Donde r 1 <0 , r 2 <0 y cuando “t ” crece “ y ” tiende a cero.

En términos prácticos pasado un largo tiempo la masa quedará en su posición de equilibrio

estático [ y=0].

CASO II. SUB–AMORTIGUAMIENTO. Si C 2−4 mk< 0, entonces las raíces son números complejos
−C √ C −4 mk
2
conjugados y el movimiento se denomina r 1 ;2= ± , y el movimiento se denomina
2m 2m

, b= √
−C C 2−4 mk
“vibración sub-amortiguada” y la solución general se obtiene haciendo: a=
2m 2m
, esta queda:

y=e−at [ ACos ( bt ) + BSen ( bt ) ] o y=C e−at Sen ( bt +θ )

A
donde C 2=A 2 + B2 y Tag ( θ )= .
B
−at
Dado que Sen(bt + θ) varía entre –1 y 1, la curva de la solución está entre las curvas y 1=C e ,
−at
y 2=−C e ; y por lo tanto se asemeja a la curva del Seno con amplitud variable decreciente.
¿
Como el movimiento no es realmente periódico, podemos definir un “cuasi – periodo” T =2 π /b
como el tiempo entre máximas sucesiones del desplazamiento. Debemos observar que la
frecuencia disminuye debido a que la oposición al movimiento aumento el tiempo necesario
para realizar un ciclo completo. El ángulo θ es a menudo llamado “ángulo de fase”.

CASO III. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. Si C 2−4 mk=0 , entonces las raíces son dos números
−C
reales iguales: r 1=r 2= ; y el movimiento se denomina “vibración con amortiguamiento
2m
−C
crítico” y la solución general se obtiene haciendo r = ,
2m

y queda: y=C 1 e−rt + C2 t e−rt o y=( C1 +C 2 t ) t e−rt

OBSERVACIÓN. En los tres Casos anteriores observamos que cuando “ t ” tiende al infinito (t → ∞
) la función y (t ) tiende a cero ( y (t)→ 0), es decir, el movimiento decae a medida que pasa el
tiempo sin importar las condiciones iniciales del movimiento.

EJEMPLO 1. Se suspende un peso de 29,4 Kg de un resorte cuya constante es 75Kg/m. sobre el

peso actúa una fuerza resistente, que en Kg es numéricamente igual a 18 veces su velocidad
instantánea. Si el peso se lleva 153 mm por debajo de su posición de equilibrio y se le suelta;
describir el movimiento indicando la amplitud variable con el tiempo y el cuasi periodo del
movimiento.

Solución.

Se tienen los siguientes datos:

k =75 Kg/¿m ; w=29,4 Kg ; C=18 V ; 2

g=9,8 m/s .

La ecuación diferencial de este movimiento con amortiguamiento, queda expresada por:

2
wd y dy
+C +ky =0
g dt 2
dt

29,4 d 2 y dy d2 y dy
Reemplazando los datos: +18 +75 y=0 o +6 +25 y=0
9,8 d t 2
dt dt 2
dt

O también y ' ' +6 y ' +25 y=0

Además, se tiene que y=153 mm cuando t=0 y como parte del reposo y '=0 , cuando t=0 , es
decir y ( 0 )=153 mm ó y (0)=0,153 m; y (0)=0 .

En resumen, la ecuación con sus condiciones iniciales es:

2
d y dy
+6 +25 y=0 ; y ( 0 )=0,153 ; y ' ( 0 )=0
dt
2
dt

2
Para resolverla le asociamos su ecuación característica: r +6 r +25=0

Cuyas soluciones son dos números complejos conjugados: r =−3 ± 4 i . (Cae en el CASO II).

Y la solución general es: y=e−3t [ ACos ( 4 t ) +BSen ( 4 t ) ]

Determinando la solución particular, sujeto a las condicones:

De y=e−3t [ ACos ( 4 t ) +BSen ( 4 t ) ]

La derivada: y =−3 e
' −3 t
[ ACos ( 4 t )+ BSen ( 4 t ) ] +e−3 t [−4 ASen ( 4 t ) +4 BCos ( 4 t ) ]

y ( 0 )=e
−3 ( 0)
[ ACos ( 0 ) + BSen ( 0 ) ]  0,153=A

y ' ( 0 )=−3 e−3 (0 ) [ ACos ( 0 )+ BSen ( 0 ) ] +e−3 (0 ) [ −4 ASen ( 0 )+ 4 BCos ( 0 ) ]  0=−3 A +4 B

En resumen: A=0,153 ; B=0,114 ;

Y la solución particular es: y ( t ) =e−3 t [ 0,153 cos ( 4 t ) +0,114 Sen ( 4 t ) ]

A
Ó usando la otra forma: y ( t ) =C e
−at
Sen ( bt +θ ) , donde C 2=A 2 + B2 y tan ( θ )=
B

La solución particular será: y ( t ) =0,191 e−3 t Sen ( 4 t +θ )

Aquí θ=0,927 radianes ó θ=53° 18 ' 37 ' ' .

La gráfica de la solución “ y ” se encuentra entre las gráficas de:

−3 t
y ( t ) =0,191 e ; y ( t ) =−0,191 e−3t .

La amplitud variable es dada por: Amp(t )=0,191 e−3 t .

¿ 2π 2π π
El cuasi periodo quedará: T= = =
b 4 2
c) CASO 3: VIBRACIONES FORZADAS. RESONANCIA.

En este caso consideramos el movimiento oscilatorio de un resorte sobre el que además de las
fuerzas de restitución y amortiguamiento se consideran otras fuerzas externas que varían con el
tiempo actuando sobre el sistema. Estas fuerzas se presentan por ejemplo, cuando el soporte
que contiene al resorte se le hace subir o bajar de manera determinada tal como en movimiento
periódico; o cuando se le empuja ligeramente hacia arriba cada vez que alcanza su posición más
baja.

Denotando estas fuerzas como F ( t ), la ecuación diferencial que describe el movimiento del
2 2
d y dy wd y dy
resorte es: m 2
+C +ky=F ( t ) o 2
+C +ky =F ( t )
dt dt g dt dt

EJEMPLO 1. Experimentalmente se observa que un peso de tres Kg estira 153 mm cierto resorte.
Se aplica una fuerza externa dada por F (t)=39,2 cos (8 t). Se supone que actúa una fuerza de
amortiguamiento que expresada en Kg es numéricamente igual a 2,45 v ( v = velocidad). Si
inicialmente se tira del peso hasta 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y luego se le
suelta; expresar “ y ” en función del tiempo “t ”.

Solución.

Se tiene los datos:

w=3 Kg ; C=2,45 v ; y 0=0,153 m ; g=9,8 m/s 2 ; F ( t )=39,2 cos ( 8 t )

El valor de k se obtiene de: ¿ F∨¿ k ∨ y 0∨¿

3=k∨0,153∨¿ , de donde k =19,6

2
wd y dy
La ecuación diferencial queda: +C +ky =F (t )
g dt 2
dt

3 d2 y dy
 +2,45 +19,6 y=39,2 cos ( 8 t )
9,8 d t 2
dt

2
d y dy
 2
+8 +64 y =128 cos ( 8 t ) o y ' ' + 8 y ' +64 y =128 cos ( 8 t )
dt dt

Las condiciones iniciales son: y (0)=10 cm ó y (0)=0,10 m ; y ' (0)=0

La ecuación característica es: r 2 +8 y +6 4=0  r =−4 ± 4 √ 3i

La solución general es: y g=e

−4 t
[ ACos ( 4 √3 t )+ BSen ( 4 √3 t ) ]
La solución particular será: y p=aCos 8 t+bSen 8 t
 '
 y p=−8 aSen 8 t+8 bCos 8 t ; y 'p' =−64 aCos 8 t−64 bSen 8t

Reemplazando en la EDO:

−64 aCos 8t−64 bSen 8 t+8 [ −8 aSen 8 t +8 bCos 8 t ] +64 [ aCos 8 t +bSen 8 t ] =128cos ( 8 t )

 (−64 a+64 b+ 64 a ) cos 8 t + (−64 b−64 a+64 b ) Sen 8 t=128cos ( 8 t )

 64 bCos 8 t −64 aSen 8 t=128 cos ( 8 t ) +0 Sen 8 t  {b=2

a=0
 y p=2 Sen ( 8 t )

La solución general del problema es: y= y g + y p

 y=e−4 t [ ACos ( 4 √ 3 t ) + BSen ( 4 √ 3 t ) ]+ 2 Sen ( 8t )

Usando las condiciones iniciales se obtiene la solución particular del problema:

 y=0,10 e
−4 t
[ cos ( 4 √ 3 t ) −13,3 Sen ( 4 √3 t ) ] +2 Sen ( 8 t )

EJERCICIOS (13ª PRÁCTICA) Resolver los siguientes problemas:

i) Se ha suspendido un peso de 7,26 Kg de un resorte vertical cuya constante es 7,44 Kg/m. Se

aplica una fuerza externa dad por F (t)=10,9 Sen(10 t), t ≥ 0. se supone que actúa una fuerza de
amortiguamiento que expresada en kilogramos, es numéricamente igual a 5,95 v ( v
=velocidad). Inicialmente ésta se encuentra en reposos en su posición de equilibrio.

- Determínese la posición del peso en cualquier instante “t ”.

- Indíquense las soluciones transitoria y de estado estacionario.

 - Hállese la amplitud, el periodo y la frecuencia de la solución de estado
estacionario.

ii) Se ha suspendido un peso de 29Kg de un resorte vertical cuya constante es 11,9 Kg/m. Se
aplica una fuerza F (t)=2,27 cos (4 t ), t ≥ 0. Suponiendo que el peso está inicialmente en su
posición de equilibrio y se le imprime una velocidad hacia arriba de 3,05 m/s y que la fuerza
amortiguadora sea despreciable, determínese la posición y velocidad del peso en cualquier
instante.

iii) Un resorte espiral se extiende 1/8 pies a causa de un peso de 4 libras. Sobre el resorte actúa
una fuerza externa dad por F (t)=2 cos (3 t) libras. Si el peso es desplazado una distancia de 2
pulgadas de su posición de equilibrio y después soltado; determinar el movimiento provocado.
Despreciar el amortiguamiento. Si la fuerza externa es 4 Sen(wt ) libras. ¿Para qué valor de w
ocurrirá la resonancia?

4.6.2 CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

Anteriormente se explicó cómo formular las ecuaciones diferenciales que resultan en ciertos
problemas en que intervienen circuitos eléctricos; sin embargo, no se consideró el caso en que
conectan una resistencia, un condensador y una inducción en serie con una batería o generador.
En esta parte trataremos el siguiente caso: consideremos el circuito en serie de la figura adjunta.
Al cerrar el inductor o llave k , circulará una corriente instantánea. Si designamos por Q la carga
instantánea del condensador C , entonces según la “Ley de Kirchhoff”,

dI Q
L + RI + =E ( t ) ,
dt C

donde la fem E(t ), depende del tiempo, pero hemos supuesto que L, R y C son constantes.

2
dQ d Q dQ Q
Puesto que I= , se tiene L +R + =E ( t )
dt dt 2
dt C

OBSERVACIÓN. Si comparamos esta ecuación con la ecuación general de las vibraciones

forzadas, advertiremos una sorprendente analogía entre las cantidades mecánicas y eléctricas, la
cual se verifica en los casos más complicados, la mayoría de las conclusiones que se dedujeron
para los sistemas mecánicos se aplican a los eléctricos e inversamente. Es más, en la industria se
utiliza frecuentemente esta analogía para estudiar sistemas mecánicos cuya construcción
resultaría demasiado cara y complicada y cuando las consecuencias quizá pudieran ser muy
peligrosas.

En particular el fenómeno de resonancia ocurre en los sistemas eléctricos, empero,

contrariamente a que los efectos de la resonancia eléctrica son generalmente muy útiles. La
radio, le televisión, el radar y la comunicaciones serían virtualmente imposibles sin la
resonancia eléctrica; en estos casos, la corriente, y en consecuencia la energía eléctrica generada,
puede aumentare hasta las grandes intensidades que necesitan en estos campos. El que
tengamos que sintonizar nuestro radio a la frecuencia de la estación radio – transmisora para
conseguir una recepción clara se debe a la resonancia eléctrica.

EJEMPLO. Se conectan en serie una fem de 500 voltios, una resistencia de 20 ohmios, un
inductor de 4 henrios y un condensador de 0,008 faradios. La carga Q y la intensidad de la
corriente I , son nulas cuando t=0

a) Hállese Q e I en un instante t ≥ 0 .

b) Indíquense los términos transitorio y estacionario de Q e I .

c) Calcúlense la carga e intensidad cuando haya transcurrido mucho tiempo.

Solución.

dQ
Según la Ley de Kirchhoff, y teniendo en cuenta que I =
dt
2
d Q dQ Q
L 2 +R + =E ( t ) ; Q ( 0 )=0 ; I (0)=0
dt dt C

La solución de esta ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales dadas es:

Q=−2 e
−2,5 t
[2 cos ( 5 t )+ Sen ( 5 t ) ]+ 4 ,
dQ −2,5t
De aquí: I= =25 e Sen ( 5 t )
dt

El término con el factor e−2,5t en Q e I son la solución transitoria, que pronto se hace
despreciable. La solución estacionaria para Q la constituye el término 4; se observa después que
el término transitorio ha desaparecido virtualmente. Así se tiene Q=4 ; I =0 cuandot crece
ilimitadamente (tiene al infinito).

EJERCICIOS (14ª PRACTICA). Resolver los problemas que se plantean a continuación:

i) Se han conectado en serie una resistencia de 50 ohmios, un inductor de 2 henrios, un

condensador de 0,005 faradios y una fem de 40 voltios con un interruptor que está abierto.
Hállense la carga y la intensidad en cada instante, después de cerrar el interruptor en t=0 ,
suponiendo que en esta instante la carga del condensador era de 4 culombios.

ii) Se conectan en serie un inductor de 0,1 henrio, un condensador de 4x10 –3 faradio y un

generador cuya fem está dada por 180 cos(40 t), t ≥ 0. hállense la carga Q y la intensidad I en
cada instante si I =Q=0, cuando t=0 .
iii) Se conectan en serie un condensador de 10 –3 faradios, una fem de 20 voltios y un inductor de
0,4 henrios. Cuando t=0 , Q=0 e I =0 . (a) Hállense la frecuencia natural y el periodo de las
oscilaciones eléctricas. (b) Calcúlense la carga Q y la Intensidad I de las corrientes máximas.