Mat IIIGuion P3

Práctica 3: Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de segundo orden: modelos de

movimiento vibratorio
1. Objetivos
Conocer que una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden puede
servir de modelo para diversos fenómenos fı́sicos.
Saber interpretar PVI asociados a determinadas ecuaciones diferencia-
les ordinarias de segundo orden en términos de ciertos movimientos
vibratorios.
Resolver PVI asociados al movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte
e interpretar las soluciones obtenidas.
2. Modelos de movimiento vibratorio

Cuando una masa m se sujeta a un resorte, lo estira s unidades de longitud
hasta un punto donde la fuerza de recuperación ks del resorte (ley de Hooke,
k > 0 constante de proporcionalidad del resorte) es equilibrada por su peso
mg: ks = mg. Esta es la posición de equilibrio estático. Cualquier movimiento
posterior se describe mediante la distancia y(t) de la masa a esa posición
de equilibrio (y = 0). Cuando la masa está por encima de la posición de
equilibrio, por convenio tomamos y < 0, y si está por debajo tomamos y > 0:
La ecuación diferencial del movimiento se obtiene aplicando la segunda

2
ley de Newton: F = ma = m ddt2y . Las fuerzas que pueden actuar sobre el
cuerpo en movimiento son:
la fuerza de la gravedad: mg. La aceleración de la gravedad es g =
9,8 m/s2 en el sistema internacional, y g = 32 pies/s2 en el sistema
inglés.
1
la fuerza de recuperación del resorte: −k(s + y), k ≥ 0.
la fuerza de amortiguación, que supondremos proporcional a la veloci-
dad de la masa: −βy 0 , β ≥ 0.
una fuerza externa f (t).
Por tanto, la fuerza resultante es:
F = mg − k(s + y) − βy 0 + f (t) = −ky − βy 0 + f (t),
y por la segunda Ley de Newton, se tiene que la ecuación diferencial que rige
el movimiento es: −ky − βy 0 + f (t) = my 00 , es decir,
my 00 + βy 0 + ky = f (t), β ≥ 0, k ≥ 0.
2.1. Algunas funciones de Maxima

Se describen a continuación algunas funciones de Maxima que son útiles
para la resolución de los problemas propuestos es esta práctica.
ode2(ecu, vard, vari) resuelve la EDO (de primer o segundo orden) ex-
presada en ecu, vard es la variable dependiente (p.e. y), y vari la variable
independiente (p.e. t). En ecu, y (n) (t) se representa por 0 diff (y, t, n).
ic2(sol, t = t0 , y = y0 , 0 diff (y, t) = y1 ) resuelve PVI para EDO’s de se-
gundo orden. Aquı́, sol es la solución general de la ecuación calculada con
ode2, y se ha supuesto que las condiciones iniciales son y(t0 ) = y0 , y 0 (t0 ) = y1 .
wxplot2d(expr, [t, t0 , tf ]) muestra la gráfica de la función dada en expr,
función de una variable (aquı́ t), en el rango de valores especificado.
diff (expr, t, n) calcula la derivada n-ésima de expr respecto de t.
define(f (x1 , ..., xn ), expr) define la función de nombre f con argumentos
x1 , . . . , xn y cuerpo expr. La orden define evalúa siempre el cuerpo de la fun-
ción, lo que no ocurre si definimos la función mediante: f (x1 , ..., xn ) := expr
2.2. Movimiento vibratorio libre no amortiguado

Si suponemos que no hay ninguna fuerza de amortiguación ni fuerzas
exteriores que actúen sobre el sistema, el modelo matemático es:
my 00 + ky = 0, k > 0,
o bien, si ponemos ω 2 = k/m,

y 00 + ω 2 y = 0. (1)
2
Puesto que las raı́ces de la ecuación caracterı́stica son ±iω, la solución
general de (1) es
y(t) = C1 sin ωt + C2 cos ωt. (2)
Se trata por tanto de una solución periódica de perı́odo T = 2π/ω y fre-
cuencia f = 1/T = ω/(2π). El perı́odo indica que la gráfica de y(t) se repite
cada 2π/w unidades de tiempo, y la frecuencia indica el número de oscilacio-
nes completas de la masa por unidad de tiempo. Nos referiremos a ω como
la frecuencia natural del sistema.
Es fácil comprobar que la solución (2) puede escribirse en la forma:
y(t) = A sin(ωt + φ), (3)

p
con A = C12 + C22 , sin φ = CA2 , cos φ = CA1 . Esta forma indica que la masa
oscila a uno y otro lado de la posición de equilibrio con amplitud A.
Además, la forma (3) resulta útil si se quiere encontrar los valores del
tiempo t para los cuales la masa pasa por la posición de equilibrio:
y(t) = 0 ⇔ sin(ωt + φ) = 0 ⇔ ωt + φ = nπ, n = 1, 2, 3, . . .
Problema 1 Un cuerpo que pesa 2 lb estira un resorte 1/2 de pie. Dicho

cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está a 2/3 de pie bajo la
posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pies/s.
a) Plantear el PVI que modeliza este movimiento y obtener la función y(t)

que lo describe en la forma (2).
b) Escribir la solución obtenida en la forma (3), y representarla gráfica-

mente.
c) Obtener el primer valor del tiempo para el cual la masa pasa por la
posición de equilibrio en dirección hacia abajo.
2.3. Movimiento vibratorio libre amortiguado

En el movimiento vibratorio libre no amortiguado se ha supuesto que no
actúan fuerzas retardadoras sobre la masa en movimiento. Sin embargo, salvo
que la masa esté suspendida en un vacı́o perfecto, al menos habrá una fuerza
opuesta debida al medio que la rodea (p.e. la masa puede estar suspendida
en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación). En este
caso, el movimiento se rige por la ecuación:
my 00 + βy 0 + ky = 0, β > 0, k > 0. (4)
3
La solución de (4) depende de las raı́ces de su ecuación caracterı́stica. Su
estudio lleva a distinguir 3 casos, cada uno de ellos con una solución general
distinta. En consecuencia, también el movimiento resultante puede presentar
importantes diferencias. Ası́, se tiene:
si β 2 − 4mk > 0, el movimiento se dice sobreamortiguado.
si β 2 − 4mk = 0, el movimiento se dice crı́ticamente amortiguado.
si β 2 − 4mk < 0, el movimiento se dice subamortiguado.
Problema 2 Se considera el PVI:
y 00 + 5y 0 + 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
a) Dar una interpretación fı́sica del mismo en términos del movimiento
vibratorio de un sistema resorte-masa, y clasificar dicho movimiento.
b) Encontrar su solución y representarla gráficamente.
c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de la masa y en qué dirección se
produce? ¿Pasa el cuerpo por la posición de equilibrio?.
Problema 3 Un cuerpo que pesa 8 lb estira un resorte 2 pies. Se supone
que actúa sobre el sistema una fuerza de amortiguación que es el doble de la
velocidad instantánea, y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio
con una velocidad dirigida hacia arriba de 3 pies/s.
a) Formular el PVI que modeliza esta situación. ¿De qué tipo de movi-
miento vibratorio se trata?
b) Obtener su solución y representarla gráficamente.
c) Calcular el desplazamiento máximo de la masa en ese movimiento.
Problema 4 Un cuerpo que pesa 16 lb se sujeta a un resorte de 5 pies de
largo. En estado de equilibrio el resorte mide 8.2 pies. El peso se empuja
hacia arriba y se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está a 2 pies
sobre la posición de equilibrio, y se sabe que el medio ofrece una resistencia
que es igual a la velocidad instantánea.
a) Formular el PVI que describe esta situación. ¿Qué tipo de movimiento
vibratorio es?
b) Comprobar que su solución es y(t) = e−t (− 23 sin 3t − 2 cos 3t), y repre-
sentarla gráficamente.
c) Describir el movimiento de la masa.
4
2.4. Movimiento vibratorio forzado no amortiguado
Los movimientos forzados son aquellos en los que hay una fuerza externa
f (t), también llamada fuerza de entrada, actuando sobre la masa sujeta al
resorte. Las entradas periódicas tienen un interés particular desde el punto
de vista práctico, por lo que supondremos que f (t) es de la forma
f (t) = F0 cos ω0 t, F0 > 0, ω0 > 0.
Si no hay fuerza de amortiguación, la ecuación que describe el correspon-
diente movimiento vibratorio forzado es
my 00 + ky = F0 cos ω0 t, k > 0, F0 > 0, ω0 > 0.
El comportamiento de las soluciones de esta ecuación es muy diferente
según que la frecuencia natural ω, con ω 2 = k/m, y ω0 , llamada frecuencia
de entrada, sean muy diferentes, estén próximas ó coincidan. En particular:
Resonancia: si la amplitud de las oscilaciones crece sin lı́mite cuando
ω0 → ω, este fenómeno se conoce como resonancia. Es de gran im-
portancia en el estudio de sistemas vibratorios. Si ω0 = ω, se conoce
como resonancia pura:
Resonancia pura
En la práctica esto significa que los sistemas con poca amortiguación
pueden tener oscilaciones tan importantes que pueden destruirlos.
Pulsaciones Si ω0 ≈ ω, e y(0) = y 0 (0) = 0, se producen oscilaciones con
una amplitud periódica que varı́a lentamente, llamadas pulsaciones:
Pulsaciones
5
Problema 5 Resolver el PVI:
y 00 + y = cos ω0 t, y(0) = 0, y 0 (0) = 0,
y representar gráficamente su solución para ω0 = 0.5, ω0 = 0.9, ω0 = 1 y

ω0 = 1.2.
2.5. Movimiento vibratorio forzado amortiguado

En los sistemas fı́sicos reales siempre hay alguna amortiguación. La solu-
ción general de la ecuación de un movimiento forzado amortiguado modeli-
zado por:
my 00 + βy 0 + ky = f (t), β > 0, k > 0,
sabemos que puede ponerse:
y(t) = yh (t) + yp (t),
donde yh (t) es la solución general de la ecuación homogénea asociada (4), e

yp (t) una solución particular de la ecuación no homogénea. Lo importante
ahora es destacar que, en todos los casos, se tiene que lı́m yh (t) = 0, y
t→+∞
por tanto, y(t) tiende a yp (t) cuando t → +∞. Por eso se dice que yh (t)
es el término transitorio de la solución, mientras que a yp (t) se le llama
término estacionario.
Problema 6 Se considera el PVI:

1 00
y + 1.2y 0 + 2y = 5 cos 4t, y(0) = 1/2, y 0 (0) = 0.
5
a) Dar una interpretación fı́sica a dicho problema.
b) Obtener su solución y(t), distinguiendo el término transitorio yh (t) y el

estacionario yp (t).
c) Representa en una misma figura y(t), yh (t) e yp (t), y observa en ella el

efecto de ambos términos.

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Práctica 3: Aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales de segundo orden: modelos de

2. Modelos de movimiento vibratorio

La ecuación diferencial del movimiento se obtiene aplicando la segunda

2.1. Algunas funciones de Maxima

2.2. Movimiento vibratorio libre no amortiguado

o bien, si ponemos ω 2 = k/m,

y(t) = A sin(ωt + φ), (3)

y(t) = 0 ⇔ sin(ωt + φ) = 0 ⇔ ωt + φ = nπ, n = 1, 2, 3, . . .

Problema 1 Un cuerpo que pesa 2 lb estira un resorte 1/2 de pie. Dicho

a) Plantear el PVI que modeliza este movimiento y obtener la función y(t)

b) Escribir la solución obtenida en la forma (3), y representarla gráfica-

2.3. Movimiento vibratorio libre amortiguado

my 00 + βy 0 + ky = 0, β > 0, k > 0. (4)

y 00 + y = cos ω0 t, y(0) = 0, y 0 (0) = 0,

y representar gráficamente su solución para ω0 = 0.5, ω0 = 0.9, ω0 = 1 y

2.5. Movimiento vibratorio forzado amortiguado

y(t) = yh (t) + yp (t),

donde yh (t) es la solución general de la ecuación homogénea asociada (4), e

Problema 6 Se considera el PVI:

b) Obtener su solución y(t), distinguiendo el término transitorio yh (t) y el

c) Representa en una misma figura y(t), yh (t) e yp (t), y observa en ella el

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