TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

OBJETIVOS

1 Conocer las diferentes transformaciones geométricas que

facilitan la representación de las formas en el plano. 2 Analizar los criterios de transformación que pueden estable-
cerse entre dos figuras, atendiendo a su disposición en el
plano (criterios gráficos) o a su forma (criterios métricos).
3 Entender los movimientos en el plano como las transforma-
ciones geométricas que se obtienen al aplicar a una figura
sucesivas traslaciones, giros y/o simetrías.

plitud de ángulo ϕ transforma un punto A en

Una transformación es el resultado de un cam- MOVIMIENTOS EN EL PLANO Un giro determinado por el centro O y una am-

otro A’ tal que OA = OA’ y ©AOA’ = ϕ .

bio (de forma, posición, tamaño…) producido en

n)
una forma «F» cuando pasa a ser «F’». Las co-
G ( O, ϕ )

ció
rrespondencias entre elementos de «F» y «F’» A’

sla
B’ Designación:

tra
originan los diferentes tipos de transformaciones.

e
rd
Por tanto, las formas planas pueden ser trans-

to
1.4 Simetría central.

ec
formadas en otras, mediante la aplicación de v

(v
ro, cuyo ángulo ϕ vale 180° ( dextrógiro o

v
diversos criterios que relacionan geométrica- «Es el movimiento que corresponde a un gi-
mente, de alguna manera, a ambas figuras. B’
B B O
B levógiro ) , con centro de rotación ( O ) ».
La relación entre dos figuras puede atender a B’
A’ En una simetría central, dos puntos simétricos
su disposición en el plano –criterios gráficos–,
caso de la traslación, el giro o la simetría, o a v se encuentran alineados y son equidistantes del
su forma –criterios métricos– caso de la igual- centro de simetría O. Los segmentos simétri-
dad, la equivalencia y la homotecia. A’ cos resultan ser paralelos ( AB // A’B’ ).

ϕ
Designación: Simetría de centro O: S ( O )

ϕ
A A A
1 MOVIMIENTOS EN EL PLANO
1.5 Simetría axial.
1.1 Definición. «Es el movimiento que corresponde a una fi-
1.2 Traslación: T (v) 1.4 Simetría central: S (O) gura que se separa del plano que la contiene
Se entiende por movimientos a los cambios de
posición que se consiguen al aplicar, sucesiva- para volver a él mediante una semirrotación
O
mente, a una figura un número cualquiera de alrededor de una recta fija ( e ) del plano ini-
traslaciones, giros y/o simetrías. 1.3 Giro: G (O, ) cial, llamada eje de simetría».
En todo movimiento se ha de contemplar la po- Una simetría determinada por el eje e , transfor-
sición inicial (u original) de la figura en cues- e ma un punto A en otro A’ tal que dicho eje es la
tión y la posición final (o imagen) resultado de mediatriz del segmento AA’ .
la aplicación geométrica. B B’
Notación: Simetría de eje e : S ( e )
En definitiva, los movimientos son correspon-
B
dencias biunívocas que permiten obtener una 1.6 Movimientos directos e inversos.
figura final congruente con la inicial, tal que a
Un movimiento es directo cuando se conserva
cada punto del original le corresponde un pun-
B’ el sentido de giro de las figuras. Las traslacio-
to de la imagen final y viceversa.
nes y giros (incluida la simetría central) son mo-
A A A’ vimientos directos. Las figuras, así obtenidas,
1.2 Traslación. e se dice que son directamente iguales .
«Trasladar una figura plana es aplicar a la A’ 1.5 Simetría axial: S ( e ) Un movimiento es inverso cuando no se conser-
misma un movimiento rectilíneo según una
va el sentido de giro de las figuras, invirtiendo el
dirección determinada».
sentido del plano, caso de las simetrías axiales.
El vector guía v (vector de traslación) marca la
Las figuras que se obtienen por un movimiento
dirección, el sentido y la magnitud del despla-
inverso se dice son inversamente iguales .
zamiento ( AA’, BB’, …) . PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS
Una traslación, determinada por el vector v,
B’ 1.7 Producto de movimientos.
transforma un punto A en otro A’ tal que el vec-
tor AA’ = v. Los segmentos homólogos conser- La aplicación sucesiva de dos o más movi-
B’
van su longitud y dirección, las rectas se man- mientos (traslaciones, giros y simetrías) es
tienen paralelas y los ángulos homólogos se B’’ otro movimiento y se denomina producto de
A’ movimientos. El resultado es una figura «ima-
conservan iguales.
gen» igual a la «original» ; únicamente puede
Designación: Traslación de vector v : T ( v ) O
B cambiar su posición en el plano.
A’
1.3 Giro.
B v2 O2 1.7.1 Producto de dos traslaciones.
«Girar es modificar la posición de una figura
respecto de la inicial, aplicándole un movi- O1 A” El producto de dos traslaciones, de vectores v1
A” y v2 , es otra traslación de vector v .
miento de rotación respecto a un punto fijo v1
O , llamado centro de giro o de rotación». v
A 1.7.2 Producto de dos giros.
Dicho centro ( O ) de giro, puede estar situado B”

la figura a transformar. El ángulo ( ϕ ) de giro

en el interior, en el contorno o en el exterior de El producto de dos giros es otro giro, de centro
A
la intersección de las mediatrices de los seg-
puede ser positivo o levógiro (contrario a las 1.7.1 T (v1 )· T (v 2 ) = T (v) 1.7.2 G (O1, )· G (O 2 , ) = G (O, ) mentos que unen puntos homólogos de las posi-
agujas del reloj ) y negativo o dextrógiro (senti- ciones inicial y final. Cuando las rectas mediatri-
do según agujas del reloj ). ces son paralelas, el producto es una traslación.

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 1.7.3 Producto de una traslación por un giro. 2.3 Trazado de figuras homotéticas.
PRODUCTO DE MOVIMIENTOS
El producto de una traslación por un giro (o vi- B’ e1 Para dibujar una figura homotética de otra,
ceversa) es un giro cuyo centro se determina puede elegirse como centro de homotecia (O)
como en el caso anterior; ya que una traslación B B’ cualquier punto interior a la figura, exterior o del
v
es un giro de centro impropio. contorno de la misma.
e2 Analicemos cada caso con un ejemplo.
1.7.4 Producto de dos simetrías axiales. B
El producto de dos simetrías axiales es un giro, A’ 2.3.1 Con el centro O en un punto interior.
cuyo centro es el punto intersección de los ejes - Datos: cuadrilátero ABCD; centro de homote-
de simetría. Si ambos ejes son paralelos el pro- O1 A A’
A’’ B’’ B’’ cia O (en el interior de la figura) y razón de
ducto resulta ser una traslación , o lo que es lo homotecia: k = 1/ 2 .
mismo, un giro de centro impropio. A’’
O - Construcción:
A
1.7.5 Conclusiones generales. O Se define A’ como punto homotético de A , ve-
rificándose: OA / OA’ = k = 1/ 2 ; OA’ = 2 OA.
• El producto de dos movimientos directos o in-
versos es otro movimiento directo.
1.7.3 T (v)· G (O 1 , ) = G (O, ) 1.7.4 S (e1)· S (e 2 ) = G (O, ) Partiendo de conocer la posición del punto A’
se trazan paralelas a los lados y se determina
• El producto de un movimiento directo por otro el polígono homotético A’B’C’D’.
inverso invierte el sentido entre la figura inicial y HOMOTECIA
la imagen final, las cuales no pueden relacio- O A’ A a a’ 2.3.2 Con el centro O en un punto exterior.
A
narse entre sí por un solo movimiento, a no ser
se trate de casos particulares. - Datos: triángulo ABC; centro de homotecia O
Homotecia directa o positiva: k > 0
α
(en el exterior de la figura) y razón de homote-
A’ cia en los dos casos posibles:
OA / OA’ = k 1er caso:
2 HOMOTECIA k = 1/ 2 ( directa o positiva ).
A’ O A B’
α C’ B C
2 o caso: k = -2 / 3 ( inversa o negativa ).
2.1 Definición. b b’ - Construcción:
≠
O
Dado el punto fijo O y un número real k 0 , se Se determina A’ como homotético de A , cum-
Homotecia inversa o negativa: k< 0 r’ s’ r s
llama homotecia a la transformación geométri- pliéndose que OA’ = 2 OA . Seguidamente, se
ca que hace corresponder a un punto A otro A’, trazan paralelas a los lados homólogos hasta
alineado con A y con O, tal que: 2.1 Tipos de homotecia. 2.2.1 Rectas y ángulos homotéticos.
completar el triángulo homotético del dado.
OA / OA’ = k (cte.) Análogamente, el vértice A’’ se obtiene consi-
TRANSFORMACIONES HOMOTÉTICAS derando que OA’’ = 3 OA /2 . El resto de vértices
Al punto O se le denomina centro de homote-
cia, y a la constante k razón de la homotecia. A A’ que determina la figura homotética se consigue
B
A’ C trazando, como siempre, paralelas por el pun-
Designación: H ( O , k ). A
C C’ to A’’ previamente determinado.
- Si k > 0 : A y A’ están del mismo lado que O.
La homotecia se dice que es directa o positiva. 2.3.3 Con el centro O en un vértice de la forma.
- Si k < 0 : A y A’ están a distinto lado que O. - Datos: pentágono OABCD; centro de homo-
La homotecia se dice que es inversa o negativa. C tecia en el punto O (vértice de la figura) y ra-
B
C’ A’ C’ zón de homotecia: k = 5 / 3 .
2.2 Propiedades de la homotecia. O
B B’ - Construcción:
2.2.1 Propiedades generales. Como en casos anteriores, se comienza por de-
• Una recta r que no pasa por el centro O de ho- terminar el homotético de un vértice (en la figu-
motecia se transforma en otra r ’ paralela (fig. ra A’) que verifica la relación: OA / OA’ = 5 / 3 .
A
2.1.1). Existe proporcionalidad (Teorema de B’ Como siempre, una vez determinado A’ se tra-
O B’
Thales) entre los triángulos OAB y OA’B’. 2.2.2 Identidad ( k=1). Simetría central ( k= -1). Traslación ( k=1 y O ). zan paralelas a los lados homólogos, determi-
• La razón entre dos segmentos homólogos es nando el polígono homotético OA’B’C’D’.
igual a la razón de homotecia. Esto es: FIGURAS HOMOTÉTICAS…
OA’ / OA = OB’ / OB = AB’ / A’B = … = k . B’’
A’ C’’
• Las rectas que pasan por el centro O se trans- OA 1 er OA 1 OA 5
=k= 1- caso: =k= =
forman en sí mismas (son dobles). En la fig. OA’ 2 OA’ 2 B OA’ 3
2.2.1, las rectas a y b son dobles.
OA 2
2-o caso:
lados son paralelos: ©B AC = ©B’A’C’ = α .
• Los ángulos homólogos son iguales, ya que sus =k=- A’’
OA’’ 3
D’ A O
2.2.2. Propiedades de transformación. A A B’ C
D
• Si la razón de homotecia es igual a la unidad
O A’
( k = 1), todos los puntos del plano son dobles C’
A’
(homólogos de sí mismos) y la transformación O C
es una IDENTIDAD. B 5
4
• Si la razón de homotecia es k = -1, la transforma-
C B 3
ción es una SIMETRÍA CENTRAL de centro O. 2
1
• Si el centro de homotecia se encuentra en el in- C’
C’ B’ B’ O D’ D
finito (homotecia impropia) y la razón k = 1, la
correspondencia geométrica se transforma en 2.3.1 … con el centro O, interior al polígono. 2.3.2 … con el centro O, exterior al polígono ABC. 2.3.3 … con el centro O en un vértice.
una TRASLACIÓN.

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