Matemática II Repartido 12

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Lugares Geométricos:

44) Dado el punto 𝑂(1,2) hallar el L.G. de los puntos 𝑃 del plano que verifican que 𝑑(𝑂, 𝑃) = 5.

45) Dados los puntos 𝐴(−1,1) y 𝐵(3,3) hallar el L.G. de los puntos del plano que equidistan de 𝐴 y 𝐵.

46) Dados los puntos 𝐴(6,2), 𝐵(4,8) y 𝐶 variable, 𝐶 ∈ 𝑟, 𝑟) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0. Hallar L.G.(G); G baricentro del ABC.

̅̅̅̅.
47) Dado el punto 𝐴(4,1) y 𝐵 ∈ 𝒞, 𝒞 ) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 hallar el L.G.(M), M pm𝐴𝐵

48) Dados los puntos 𝐴(−2,1) y 𝐵(4,5) y las rectas variables 𝑟 y 𝑠 con: 𝑟 ⊥ 𝑠, 𝐴 𝜖 𝑟 y 𝐵 ∈ 𝑠.
Hallar L.G.(P) siendo {𝑃} = 𝑟 ∩ 𝑠.

𝑚+4
49) (a) Dado el punto P con coordenadas 𝑃 ( ; 𝑚2 − 16) hallar el L.G..
2
(b) Ídem. 𝑄(𝛽 2 − 1, 𝛽 + 1).

Distancia de un Punto a una Recta:

|𝑎𝑥𝑃 +𝑏𝑦𝑃 +𝑐|

Dado el punto 𝑃(𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 ) y la recta 𝑟) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 se cumple que: 𝑑(𝑃, 𝑟) =
√𝑎2 +𝑏2

50) (a) Calcular la distancia del punto 𝐴(2,1) a la recta 𝑟) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.

3
(b) Ídem. 𝐵(−3,2) y 𝑠) 𝑦 = 𝑥 − 2.
4

PARÁBOLA:
DEFINICIÓN: Dados un punto F y una recta d que no pasa por F, se llama parábola
de foco F y directriz d, al conjunto de puntos del plano que equidistan de F y d.

La recta que pasa por el foco

perpendicular a la directriz se
denomina eje de la parábola.
Esta recta es eje de simetría de la parábola:
si un punto pertenece a ella, su
simétrico respecto al eje
también.
La intersección de la parábola
con su eje es el vértice (V) y la
distancia del foco a la directriz
es el parámetro de la parábola.
Dado F(α,β) y la recta
d)ax+by+c=0 Vamos a hallar la
ecuación de la parábola de foco F
y directriz d.

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Si un punto P(x,y)  P(F,d) se cumple:

2 (ax  by  c)2
PF dist(P,d)  PF  [dist(P,d)]2 (x  )2 (y  )2 
a2 + b2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a  b )(x  2x   )(a  b )(y  2y   )(a x  2abxy  b y  2acx  2bcy  c )  0

(a2  b2 a2).x2 2.a.b.x.y(a2  b2 b2).y2 2.(a2  b2)2.a.c).x2.(a2 b2)2.b.c )y(a2 b2)(2 2)c2 0

 b2x22abxy+a2y22[α(a2+b2)+ac]x2[β(a2+b2)+bc]y+(a2+b2)(α 2+β2)c2=0

Observamos: la ecuación tiene la forma de la ecuación de una cónica

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 siendo A=b2 , B=2ab , C=a2

Y la expresión B2-4AC = (2ab)24b2a2 =0 Bfi2-4AC=0

El valor 0 de esta expresión nos indica que la cónica no tiene centro.

CASOS PARTICULARES: Si la parábola es de eje paralelo al eje de las ordenadas

La directriz d resultará paralela al eje de las abscisas ( 𝑥⃗) o sea su ecuación será de
la forma by+c=0 donde b0 y por lo tanto se podrá escribir de la forma
d) y+  =0la ecuación de la parábola tendrá la forma

x2  2x  2(  )y  2  2  2  0 (considerando a=0, b=1 y c=)

donde se observa que el coeficiente de y: β+0 ya que F(α,β) ∉d por lo que
1 𝛼 𝛼 2 +𝛽 2 −𝛾2
se puede despejar y de la ecuación: 𝑦 = 2(𝛽+𝛾) 𝑥 2 − 𝛽+𝛾 𝑥 + 2(𝛽+𝛾)

Quedando una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0

Esta ecuación corresponde a una parábola de
−𝑏 1+4𝑎𝑐−𝑏2 1−4𝑎𝑐+𝑏2
Foco 𝐹 ( ; ) y directriz 𝑑) 𝑦 + =0
2𝑎 4𝑎 4𝑎

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Análogamente para la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje de las abscisas,

1 𝛽 𝛼 2 +𝛽 2 −𝛾2
se llega a la ecuación: 𝑥 = 2(𝛼+𝛾) 𝑦 2 − 𝛼+𝛾 𝑦 + 2(𝛼+𝛾)

Quedando una ecuación de la forma 𝑥 = 𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0

Esta ecuación corresponde a una parábola de
1+4𝑎𝑐−𝑏2 −𝑏 1−4𝑎𝑐+𝑏2
Foco 𝐹 ( ; 2𝑎 ) y directriz 𝑑) 𝑥 + =0
4𝑎 4𝑎

51) (a) Construir con regla y compas (métricamente) una parábola dada su directriz 𝑑 y el foco F con F∉ 𝑑.
(b) Construir con regla y compas (métricamente) una parábola dado el foco F y el vértice V.

52) Determinar los elementos de las siguientes parábolas (eje, vértice, foco y directriz).
Representarlas gráficamente:
a) 𝑦 = −𝑥 2 b) 𝑦 = 2𝑥 2 c) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 d) 𝑥 = 4𝑦 2 e) 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 f) 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 + 2 g) 𝑥 = 𝑦 2 − 2𝑦 − 1
9𝑦 2
h) 𝑥 = − 6𝑦 i) 𝑥 = 𝑦 2 + 1 j) 𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦
2

53) Hallar la ecuación de las siguientes parábolas dadas por los elementos:
5 17 5
a) 𝑉(1,2) 𝐹(1,3) b) 𝑉 ( , − ) 𝐹 ( , −4) c) 𝐹(2,4) 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑) 𝑦 = 2 d) 𝑉(1,3)𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑) 𝑥 = −2
2 4 2
e) eje paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑦 y pasa por los puntos: 𝐴(1,3), 𝐵(2,7), 𝐶(−1,1)
f) eje paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑥 y pasa por los puntos: 𝐴(0,3), 𝐵(−2,1), 𝐶(4, −1)

54) Hallar la ecuación de la parábola: a) foco 𝐹(0,0) directriz 𝑑)𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

b) foco 𝐹(−1,2) directriz 𝑑)𝑥 − 2𝑦 = 0
c) foco 𝐹(0,1) directriz 𝑑)2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0

𝑥+𝑦−1 ≥0
55) Representar las siguientes regiones: a) 𝑦 − 𝑥 2 ≥ 0 b) { 2 c) (𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦). (𝑥 + 𝑦 + 2) ≤ 0
𝑥 +𝑦−1≤ 0

57) Estudiar las siguientes familias de rectas, en caso de ser envolventes reconocer, graficar y hallar elementos.
(a) (2𝑚 + 1)𝑥 − 𝑦 − 𝑚2 − 𝑚 = 0 (b) 4𝑚2 𝑥 − 4𝑚𝑦 − 3𝑚2 − 2𝑚 + 1 = 0

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ELIPSE:
DEFINICIÓN:
Dados dos puntos F , F’ y un número real positivo (a) tales que FF'  2a , se
llama Elipse de focos F y F’ y constante (a) al conjunto de puntos del plano cuya
suma de distancias a F y F’ es 2a.

𝑷𝑭 + ̅̅̅̅̅
ℇ = {𝑷(𝒙, 𝒚) ∈ 𝝅/ ̅̅̅̅ 𝑷𝑭´ = 𝟐𝒂}

EJES DE LA ELIPSE: A’
1) EJE FOCAL: la recta FF’ es eje de simetría de : si un punto
X  el simétrico respecto a FF’ : SFF’(X)= X’’ 

2) EJE NO FOCAL: la mediatriz de FF’ (e) es eje de simetría de ya que si X

Se(X)=X’  

CENTRO DE LA ELIPSE: El punto medio (O) de FF’ (punto de corte de los ejes de
la elipse ) es centro de simetría de . Si un punto X  el simétrico respecto a O:
CO(X) =X” 

VÉRTICES DE LA ELIPSE: es la intersección de con sus ejes:
 Eje no focal: e ∩ ={B,B’ } / B’ =CO(B)
Si B BF + BF’ =2a, pero B e BF BF’ Por lo tanto BF BF’a  B cfa(F,a)
Eje focal: FF’ ={V,V’ } / V’ CO(V)
V no está en el segmento FF’ ya que si lo estuviera VF+VF’ 2c que es menor que 2a y
por lo tanto V no sería de .
Como VVF+VF’ 2a , pero además : VF OVOF y VF’ OV+OF’ OV+OF
 VF + VF’ 2.OV 2a OV a Lo cual significa que: LOS VÉRTICES DEL EJE
FOCAL PERTENECEN A UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO O Y RADIO a.

Propiedad: V , V’ , B y B’ son los vértices de . En el triángulo rectángulo OBF se cumple:

̅̅̅̅ 2 + ̅̅̅̅
𝑂𝐹 𝐵𝑂2 = ̅̅̅̅
𝐵𝐹 2 o sea 𝑐 2 + ̅̅̅̅
𝑂𝐵2 = 𝑎2 si llamamos 𝑏 = ̅̅̅̅
𝑂𝐵 tendremos: a2 = b2 + c2

a = SEMIEJE MAYOR b = SEMIEJE MENOR c = SEMIDISTANCIA FOCAL

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HIPÉRBOLA:
DEFINICIÓN:
Dados dos puntos F , F’ y un número real positivo (a) tales que FF'  2a , se llama
hipérbola de focos F y F’ y constante (a), al conjunto de puntos del plano cuya diferencia
de distancias a F y F’ es 2a.

̅̅̅̅ − ̅̅̅̅̅
𝑯 = {𝑷(𝒙, 𝒚) ∈ 𝝅/ |𝑷𝑭 𝑷𝑭´| = 𝟐𝒂}

EJES DE LA HIPÉRBOLA:
1) EJE FOCAL : la recta FF’ es eje de simetría de H:
si un punto X H SFF’(X) =X’H
2) EJE NO FOCAL : la mediatriz de FF’ (e) es eje de
simetría de H ya que si X H Se(X)=X” H

CENTRO DE LA HIPÉRBOLA:
El punto medio (O) de FF´ (punto de corte de los ejes de la hipérbola) es centro de
simetría de H . Si un punto X H  CO(X) =X”H.
VÉRTICES DE LA HIPÉRBOLA: es la intersección de H con sus ejes:
 Eje no focal: e H  No hay puntos de H en (e) ya que todos sus puntos
equidistan de F y F’
Eje focal: FF’ H = {V,V’ } / V’ =CO(V)

V es un punto del segmento FF’ ya que si no lo fuera |AF-AF’| 2c > 2a lo cual no se
cumple.

V∈ 𝐻 ⇔ |𝑉𝐹 ̅̅̅̅ − ̅̅̅̅̅ 𝑉𝐹 = ̅̅̅̅

𝑉𝐹´| = 2𝑎 pero ̅̅̅̅ 𝑂𝑉 ; ̅̅̅̅̅
𝑂𝐹 − ̅̅̅̅ 𝑂𝑉 + ̅̅̅̅̅
𝑉𝐹´ = ̅̅̅̅ 𝑂𝐹´ = ̅̅̅̅
𝑂𝑉 + ̅̅̅̅
𝑂𝐹 por lo
̅̅̅̅ − ̅̅̅̅̅
que: |𝑉𝐹 𝑉𝐹´| = 2𝑂𝑉 ̅̅̅̅ ⇒ ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = 𝑎

LOS VÉRTICES DEL EJE FOCAL ESTÁN EN UNA CIRCUNFERENCIA DE

CENTRO O Y RADIO a.

Como 𝑎 < 𝑐, se define la relación 𝑐 2 − 𝑎 2 = 𝑏 2 ⇔ 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 siendo los

nombres iguales que en la elipse:

a = SEMIEJE MAYOR b = SEMIEJE MENOR c = SEMIDISTANCIA FOCAL

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58) Hallar la ecuación de las elipses dadas por:

a) Focos 𝐹(±5,0) Vértices 𝑉(±8,0) b) 𝐹(±2,0) 𝑉(0, ±1) c) 𝐹(0, ±3) 𝑉(±2,0)
√2
d) Vértices 𝑉(𝑂, ±6) y pasa por 𝐴(3,2) e) Focos en : 𝐹(1,2), 𝐹´(2, −1) constante 𝑎 =
2

59) Determinar los elementos de las siguientes elipses y representarlas gráficamente:

𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2
a) + = 1 b) + = 1 c) 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 d) 9𝑥 2 + 𝑦 2 − 9 = 0 e)4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 32𝑥 − 36𝑦 + 64 = 0
9 4 25 16

f) 9𝑥 2 + 16𝑦 2 + 54𝑥 − 32𝑦 − 47 = 0 g) 25𝑥 2 + 4𝑦 2 − 250𝑥 − 16𝑦 + 541 = 0 h) 5𝑥 2 + 2𝑦 2 = 10

60) Hallar la ecuación de las siguientes hipérbolas:

a) 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝐹(±9,0) 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉(±5,0) b) 𝐹(0, ±4) 𝑉(0, ±2) c) 𝑉(±3,0) y pasa por 𝑃(5,2)
d) 𝐹(−2, 1); 𝐹´(3,0) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑎 = 2

61) Determinar los elementos de las siguientes hipérbolas y representarlas gráficamente:

𝑥2 𝑦2 𝑦2 𝑥2
a) − = 1 b) 𝑦 2 − 4𝑥 2 = 16 c) 𝑥 2 − 5𝑦 2 = 25 d) − =1 e) 3𝑥 2 − 𝑦 2 = −3
9 4 9 4

f) 25𝑥 2 − 16𝑦 2 + 250𝑥 + 32𝑦 + 109 = 0 g) 4𝑦 2 − 𝑥 2 + 40𝑥 − 4𝑦 + 60 = 0

𝑥2 𝑦2
62) Representa gráficamente: a) 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 4𝑥 ≤ 0 b) ( + − 1) . (2𝑥 + 𝑦 − 4) ≥ 0
4 25
𝑦2
𝑥 2 + 2𝑦 2 ≤ 8 𝑥2 − < 1
c) { d) { 4
𝑥 ≥ 2𝑦 2 𝑦>0
63) Dada la familia 𝑟𝑚 ) (𝑚2 − 1)𝑥 + 3𝑚𝑦 + 3(𝑚2 + 1) = 0 representa el L.G. de los puntos del plano por donde
pasan dos, una o ninguna recta de la familia.

64) Reconocer, hallar elementos y representar:

a) 4𝑥 2 − 4𝑦 2 = 0 b) −𝑥 2 + 𝑦 + 4 = 0 c) 3𝑥 2 − 12𝑦 2 − 3 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 9 = 0

(𝑦+2)2
e) (𝑥 − 1)2 + = 1 f) 9𝑥 2 + 8𝑦 2 − 54𝑥 − 16𝑦 + 17 = 0 g) 𝑦 2 − 4𝑦 + 6𝑥 − 8 = 0
9

(𝑥−1)2 (𝑦+2)2
h) − =1 i) 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 36𝑥 − 32𝑦 − 124 = 0
16 9

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