CÓNICAS

De la intersección de una superficie cónica circular y un plano que no pasa por el vértice, según la inclinación del plano
resultan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Estas curvas reciben el nombre general de cónicas.

CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que equidistan de otro fijo llamado centro.
Para determinar una circunferencia se necesita conocer su centro y su radio.
El punto fijo es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquier punto de la misma se denomina radio.
Ubicando la circunferencia en un sistema de ejes cartesianos se obtiene la ecuación canónica de la misma.

 El centro de la circunferencia es el punto (0 ; 0)

y
2 2 2
x + y =r
r

(0,0) x

 El centro de la circunferencia está desplazada al punto ( α ; β )

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

( x−α )2+ ( y−β )2=r 2

α x

Desarrollando los cuadrados de los binomios de la expresión ( x−α )2+ ( y−β )2=r 2 , se obtiene la ecuación general de la
circunferencia.

x 2−2 xα +α 2 + y 2−2 yβ+ β2−r 2=0

x 2+ y 2−2 αx−2 βy + ( α 2+ β2 −r 2 )=0

x 2+ y 2+ ax+ by+ c=0

Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de las siguientes circunferencias:

a) Centro (2 ; -3) y r= 2
( x−α )2+ ( y−β )2=r 2
( x−2 )2 + ( y +3 )2=4

b) x 2+ y 2+2 x−6 y +1=0

x 2+ 2 x + y 2−6 y =−1
( x 2 +2 x +1 ) −1+ ( y 2−6 y +9 ) −9=−1
( x +1)2 +( y−3)2=9

ACTIVIDADES:

1) Indicar el centro y radio de cada una de las siguientes circunferencias.

a) ( x−3)2 +( y −2)2 =25
b) ( x +7)2+ y 2=1
c) x 2+( y + 4)2=5

2) Escribir la ecuación canónica de cada una de las siguientes circunferencias.

3) Escribir la ecuación general de cada una de las siguientes circunferencias.

a) Centro : (−1; 2 ) y r=3
1
b) Centro : ( 0 ; 3 ) y r =
2
c) Centro : (−5 ;−4 ) y r=√ 7
1
(
d) Centro : ;−1 y r=2
3 )
4) Hallar la ecuación canónica y graficar la circunferencia x 2+ y 2−6 x+ 2 y +9=0

5) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas representan la ecuación de una circunferencia?

a) x 2+ y 2+5 x + y=3 x−2 y−5
b) x 2+ y 2+ 4 y=x +1−xy
 c) x 2+ 2 y 2−8 x + y =−x 2+ y −6
d) x 2+ y 2−4 x +9 y −3=0
e) x 2+ y 2+10 x−2 y−22=0

6) Completar el siguiente cuadro:

CENTRO RADIO ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA REPRESENTACIÓN GRÁFICA

(0 ; 0) 3

(1 ; 1) 4

5
(0 ; -2) 2

( x +1)2 +( y +2)2=9
 ( x +4 )2 + y 2=1

7) Escribir las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

 ELIPSE

Se llama elipse al conjunto de puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.

p1´ f 1 + p1´ f 2= p2´f 1 + p2´f 2

Elementos principales de una elipse:

 El centro: o
 Los vértices: a 1 ; a2 ; b1 y b2
 Los focos: f 1 y f 2
 La distancia focal: f 1´f 2=2 C
 El diámetro mayor: a 1´a2 =2 A
 El diámetro menor: b 1´b2 =2 B

b 2´f 2+ b2´f 1=2 A → 2 b´2 f 1=2 A → b2´f 1 =A → A2=B2 +C 2

C C
Al cociente se lo llama excentricidad de la elipse y como C< A , entonces 0 ≤ <1
A A

En una circunferencia, C = 0, ya que los dos focos coinciden con el centro de la misma, por lo tanto la excentricidad de la
misma es cero.
Cuanto más achatados están los focos del centro, en una elipse, mayor es su excentricidad y se la ve más “achatada”.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

Para determina r una elipse se necesita conocer las coordenadas del centro y las medidas de los diámetros. Ubicando a
la elipse en un sistemas de ejes coordenados cartesianos se obtiene la ecuación de la misma.

 El centro de la elipse es el punto ( 0;0 )

x2 y2
+ =1
A2 B2

Si A> B Si B> A
y

Xx

 El centro de la elipse está desplazado al centro ( α ; β )

(x−α)2 ( y− β)2
+ =1
A2 B2

α x

ACTIVIDADES.

1) Escribir las ecuaciones de las siguientes elipses.

 2) Realizar un gráfico aproximado de las siguientes elipses e indicar centro, vértices y focos
(x−3)2 ( y−1)2
a) + =1
16 9
2
b)
y 2 (x −2)
+ =1
25 9

3) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan una elipse?

a) x 2+ 2 y 2=−2 x +12 y−17
b) x 2+ y 2+ 6 y=8

4) Dar las ecuaciones de las siguientes elipses

5) Completar el siguiente cuadro:

CENTRO A B ECUACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA

 (0;0) 5 4  

x2 2
+ y =1
36  

(x−2)2 y 2
+ =1
9 16  
PARÁBOLA:

Se llama parábola al conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta
llamada directriz.
p´1 f = p1´d 1
{ p´2 f = p2´d 2

Elementos principales de una parábola:

 El foco: f
 La recta directriz: D
 El vértice: V
 El eje: E
 La distancia del foco a la directriz: p

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.

Para determinar una parábola se necesita conocer el valor de p y las coordenadas del vértice.
Ubicando la parábola en un sistema de ejes coordenados cartesianos se obtiene la ecuación de la misma.
  El vértice de la parábola es el punto (0 ; 0)

y 2=2 px x 2=2 py

y
D y f
F
x x

Ejemplo:
y 2=12 x y 2=−12 x x 2=12 y x2 =−12 y

 El vértice de la parábola está desplazado al punto ( α ; β ) .

( y− β)2=2 p (x−α )

ACTIVIDADES:

1) Indicar con una A la gráfica correspondiente a y 2=8 x , y con una B, la correspondiente a ( y−3)2=6(x +2)

2) Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas:

a) F= (4; 0) y D: x=2
b) F= (0;6) y D: y=-2
c) F= (-3; 0) y D: x=6
d) F= (0;-4) y D: y=0
e) F= (5; 3) y D: x=9
f) F= (-1; 8) y D: y=6
3) Escribir las ecuaciones de cada una de las siguientes parábolas y de cada recta directriz:

4) Completar el siguiente cuadro:

ECUACIÓN FOCO VÉRTICE DIRECTRIZ REPRESENTACIÓN GRÁFICA

y 2=8 x

1
y 2= x
2
 ( y +1)2=4 ( x−1)

5) Dar las ecuaciones de las siguientes parábolas:

HIPÉRBOLA.

Se llama hipérbola al conjunto de puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
| p1´ f 1− p 1´ f 2|=| p2´f 1 − p 2´ f 2|

Elementos principales de una hipérbola:

 El centro: o
 Los vértices: a 1 y a2
 Los focos: f 1 y f 2
 La distancia focal: f 1´f 2=2 C
 El eje real: a 1´a2 =2 A
 El eje imaginario: b 1´b2 =2 B
 Las asíntotas R1 y R2 rectas que incluyen a las diagonales del rectángulo de lados 2A y 2B.
En la hipérbola se cumple que: C 2=A 2 + B2
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA.

Para determinar una hipérbola se necesitan conocer las coordenadas del centro y los valores de A y B.
Ubicando la hipérbola en un sistema de ejes cartesianos se obtiene la ecuación de la misma.

 El centro de la hipérbola es el punto (0;0)

x2 y2 y2 x2
− =1 − =1
A 2 B2 A2 B 2

 El centro de la hipérbola está desplazado al punto ( α ; β ) .

(x−α )2 ( y−β)2
− =1
A2 B2

ACTIVIDADES:

1) Escribir las ecuaciones de cada una de las siguientes hipérbolas:

2) Graficar aproximadamente las siguientes hipérbolas, escribir las ecuaciones de las mismas e indicar en cada
caso los valores del centro de A, de B y de C.

a) a 1=( 3 ; 2 ) y b1=(1 ; 3)

b) a 1=(−3 ; 3 ) y b 1=(−2 ; 0)

3) Hallar la ecuación de las asíntotas de cada una de las siguientes hipérbolas y graficarlas.

x2 y 2
a) − =1
4 5

x2 y2
b) − =1
12 4

y2 x2
c) − =1
5 4

4) Completar el siguiente cuadro:

CENTRO Vértice 1 Vértice 2 b ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA REPRESENTACIÓN GRÁFICA

(0;0) (3,0) 2
(-3; 2) (0; 2) 1

(4; -3) (4;1) 2