Facultad de Ciencias Exactas y Naturales – Universidad de Buenos Aires

Álgebra I
Práctica 4 - Números enteros (Parte 1)

Divisibilidad

1. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ∀ a, b, c ∈ Z

i) a · b | c ⇒ a | c y b | c vi) a | c y b | c ⇒ a · b | c
2
ii) 4 | a ⇒ 2 | a vii) a | b ⇒ a ≤ b
iii) 2 | a · b ⇒ 2 | a ó 2 | b viii) a | b ⇒ |a| ≤ |b|
iv) 9 | a · b ⇒ 9 | a ó 9 | b ix) a | b + a2 ⇒ a | b
v) a | b + c ⇒ a | b ó a | c x) a | b ⇒ an | bn , ∀ n ∈ N

2. Hallar todos los n ∈ N tales que

i) 3n − 1 | n + 7 iii) 2n + 1 | n2 + 5
ii) 3n − 2 | 5n − 8 iv) n − 2 | n3 − 8

3. Sean a, b ∈ Z.
i) Probar que a − b | an − bn para todo n ∈ N y a 6= b ∈ Z.
ii) Probar que si n es un número natural par y a 6= −b, entonces a + b | an − bn .
iii) Probar que si n es un número natural impar y a 6= −b, entonces a + b | an + bn .
n
4. Sea a un entero impar. Probar que 2n+2 | a2 − 1 para todo n ∈ N.
5. Sea n ∈ N.

i) Probar que si n es compuesto, entonces 2n − 1 es compuesto.

(Los primos de la forma 2p − 1 para p primo se llaman primos de Mersenne, por Marin
Mersenne, monje y filósofo francés, 1588-1648. Se conjetura que existen infinitos primos de
Mersenne, pero aún no se sabe. Se conocen a la fecha 49 primos de Mersenne (Enero 2017). El
más grande producido hasta ahora es 274207281 − 1, que tiene 22338618 dı́gitos, y es el número
primo más grande conocido a la fecha.)
ii) Probar que si 2n + 1 es primo, entonces n es una potencia de 2.
n
(Los números de la forma Fn = 22 + 1 se llaman números de Fermat, por Pierre de Fermat,
juez y matemático francés, 1601-1665. Fermat conjeturó que cualquiera sea n ∈ N0 , Fn era
primo, pero esto resultó falso: los primeros F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537,
son todos primos, pero F5 = 4294967297 = 641 × 6700417. Hasta ahora no se conocen más
primos de Fermat que los 5 primeros mencionados.)
6. i) Probar que el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!.
 
2n
ii) Probar que es divisible por 2.
n
 
2n 2n

2n+1


iii) Probar que es divisible por n + 1 (sugerencia: probar que (2n + 1) n = (n + 1) n
n

y observar que 2n 2n 2n



n = (2n + 2) n − (2n + 1) n ).

1
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7. Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo n ∈ N

i) 99 | 102n + 197 iii) 56 | 132n + 28n2 − 84n − 1

ii) 9 | 7 · 52n + 24n+1 iv) 256 | 72n + 208n − 1

Algoritmo de División

8. Calcular el cociente y el resto de la división de a por b en los casos

i) a = 133, b = −14 iv) a = b2 − 6, b 6= 0

ii) a = 13, b = 111 v) a = n2 + 5, b = n + 2 (n ∈ N)
iii) a = 3b + 7, b 6= 0 vi) a = n + 3, b = n2 + 1 (n ∈ N)

9. Sabiendo que el resto de la división de un entero a por 18 es 5, calcular el resto de la división de

i) la división de a2 − 3a + 11 por 18 iv) la división de a2 + 7 por 36

ii) la división de a por 3 v) la división de 7a2 + 12 por 28
iii) la división de 4a + 1 por 9 vi) la división de 1 − 3a por 27

10. i) Si a ≡ 22 (14), hallar el resto de dividir a a por 14, por 2 y por 7.

ii) Si a ≡ 13 (5), hallar el resto de dividir a 33a3 + 3a2 − 197a + 2 por 5.
Xn
iii) Hallar, para cada n ∈ N, el resto de la división de (−1)i · i! por 36.
i=1

2
11. i) Hallar todos los a ∈ Z tales que a ≡ 3 (11).
ii) Probar que no existe ningún entero a tal que a3 ≡ −3 (13).
iii) Probar que a2 ≡ −1 (5) ⇔ a ≡ 2 (5) ó a ≡ 3 (5).
iv) Probar que a7 ≡ a (7) para todo a ∈ Z.
v) Probar que 7 | a2 + b2 ⇔ 7 | a y 7 | b.
vi) Probar que 5 | a2 + b2 + 1 ⇒ 5 | a ó 5 | b.
12. i) Probar que 25n ≡ 1 (31) para todo n ∈ N.
ii) Hallar el resto de la división de 251833 por 31.
iii) Sea k ∈ N. Sabiendo que 2k ≡ 39 (31), hallar el resto de la división de k por 5.
iv) Hallar el resto de la división de 43 · 2163 + 11 · 5221 + 61999 por 31.

Sistemas de numeración

13. i) Hallar el desarrollo en base 2 de

(a) 1365 (b) 2800 (c) 3 · 213 (d) 13 · 2n + 5 · 2n−1

ii) Hallar el desarrollo en base 16 de 2800.

14. Sea a ∈ N0 . Probar que si el desarrollo en base 10 de a termina en k ceros entonces el desarrollo
en base 5 de a termina en por lo menos k ceros.
15. i) ¿Cuáles son los números naturales más chico y más grande que se pueden escribir con exacta-
mente n “dı́gitos” en base d > 1?
ii) Probar que a ∈ N0 tiene a lo sumo [log2 (a)] + 1 bits cuando se escribe su desarrollo binario.
(Para x ∈ R≥0 , [x] es la parte entera de x, es decir el mayor número natural (o cero) que es
menor o igual que x.)

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16. Sea a = (ad ad−1 . . . a1 a0 )2 un número escrito en base 2 (o sea escrito en bits). Determinar simple-
mente cómo son las escrituras en base 2 del número 2a y del número a/2 cuando a es par, o sea
las operaciones “multiplicar por 2” y “dividir por 2” cuando se puede. Esas operaciones se llaman
shift en inglés, o sea corrimiento, y son operaciones que una computadora hace en forma sencilla.
17. Enunciar y demostrar criterios de divisibilidad por 8, 9 y 11.

Máximo común divisor

18. En cada uno de los siguientes casos calcular el máximo común divisor entre a y b y escribirlo como
combinación lineal entera de a y b:

i) a = 2532, b = 63 iii) a = 131, b = 23

ii) a = 5335, b = 110 iv) a = n2 + 1, b = n + 2 (n ∈ N)

19. Sean a, b ∈ Z. Sabiendo que el resto de dividir a a por b es 27 y que el resto de dividir b por 27 es
21, calcular (a : b).
20. Sea a ∈ Z.
i) Probar que (5a + 8 : 7a + 3) = 1 o 41. Exhibir un valor de a para el cual da 1, y verificar que
efectivamente para a = 23 da 41.
ii) Probar que (2a2 + 3a − 1 : 5a + 6) = 1 o 43. Exhibir un valor de a para el cual da 1, y verificar
que efectivamente para a = 16 da 41.
21. Sean a, b ∈ Z coprimos. Probar que 7a − 3b y 2a − b son coprimos.
22. Sean a, b ∈ Z con (a : b) = 2. Probar que los valores posibles para (7a + 3b : 4a − 5b) son 2 y 94.
Exhibir valores de a y b para los cuales da 2 y para los cuales da 94.
b+4 5
23. i) Determinar todos los a, b ∈ Z coprimos tales que + ∈ Z.
a b
9a 7a2
ii) Determinar todos los a, b ∈ Z coprimos tales que + 2 ∈ Z.
b b
2a + 3 a + 2
iii) Determinar todos los a ∈ Z tales que + ∈ Z.
a+1 4
Primos y factorización

24. i) Probar
√ que un número natural n es compuesto si y sólo si es divisible por algún primo positivo
p ≤ n.
ii) Determinar cuáles de los siguientes enteros son primos: 91, 209, 307, 791, 1001, 3001.
iii) Hallar todos los primos menores o iguales que 100.
25. Probar que existen infinitos primos congruentes a 3 módulo 4.
Sugerencia: probar primero que si a 6= ±1 satisface a ≡ 3 (mod 4), entonces existe p primo, p ≡ 3
(mod 4) tal que p | a. Luego probar que si existieran sólo finitos primos congruentes a 3 módulo
n
Y
4, digamos p1 , p2 , . . . , pn , entonces a = −1 + 4 pi serı́a un entero distinto de 1 y −1 que no es
i=1
divisible por ningún primo congruente a 3 módulo 4.
26. Sea p primo positivo.
 
p
i) Probar que si 0 < k < p, entonces p | .
k
ii) Probar que si a, b ∈ Z, entonces (a + b)p ≡ ap + bp (mod p).

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27. Decidir si existen enteros a y b no nulos que satisfagan

i) a2 = 8b2 ii) a2 = 3b3 iii) 7a2 = 11b2

√
28. Sea n ∈ N, n ≥ 2. Probar que si p es un primo positivo entonces n p∈
/ Q.
29. Sean p y q primos positivos distintos y sea n ∈ N. Probar que si p q | an entonces p q | a.

30. Sean a, b ∈ Z. Probar que si ab es un cuadrado en Z y (a : b) = 1, entonces tanto a como b son

cuadrados en Z.
31. Determinar cuántos divisores positivos tienen 9000, 154 ·423 ·565 y 10n ·11n+1 . ¿ Y cuántos divisores
en total ?
32. Hallar la suma de los divisores positivos de 24 · 5123 y de 10n · 11n+1 .

33. Hallar el menor número natural n tal que 6552 n sea un cuadrado.
34. Hallar todos los n ∈ N tales que
i) (n : 945) = 63, (n : 1176) = 84 y n ≤ 2800
ii) (n : 1260) = 70 y n tiene 30 divisores positivos

35. Hallar el menor número natural n tal que (n : 3150) = 45 y n tenga exactamente 12 divisores
positivos.
36. Sea n ∈ N. Probar que
i) (2n + 7n : 2n − 7n ) = 1,
ii) (2n + 5n+1 : 2n+1 + 5n ) = 3 ó 9, y dar un ejemplo para cada caso.
iii) (3n + 5n+1 : 3n+1 + 5n ) = 2 ó 14, y dar un ejemplo para cada caso.
37. Sean a, b ∈ Z. Probar que si (a : b) = 1 entonces (a2 · b3 : a + b) = 1.
38. Sean a, b ∈ Z tales que (a : b) = 5.

i) Calcular los posibles valores de (ab : 5a − 10b) y dar un ejemplo para cada uno de ellos.
ii) Para cada n ∈ N, calcular (an−1 b : an + bn ).
39. Hallar todos los n ∈ N tales que

i) [n : 130] = 260. ii) [n : 420] = 7560.

40. Hallar todos los a, b ∈ Z tales que

i) (a : b) = 10 y [ a : b ] = 1500 ii) 3 | a, (a : b) = 20 y [a : b] = 9000

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