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Notas Met 1 2014
Notas Met 1 2014
Notas Met 1 2014
1 Funciones 2
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Funciones lineales ........................... 4
Lista de ejercicios 1 ............................. 11
1.3 Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lista de ejercicios 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25
1.4 Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lista de ejercicios 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Dominio y signo de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lista de ejercicios 4 ............................ 40
2 Función inversa 43
2.2 Funciones inyectivas ........................... 44
2.3 Funciones sobreyectiva ......................... 45
2.4 Funciones biyectiva ............................ 47
2.5 Función exponencial y logaritmo .................. 51
Lista de ejercicios 5 ............................... 53
2.6 Funciones trigonométricas ....................... 59
Lista de ejercicios 6 ............................... 62
3 Límites de funciones 63
3.2 Técnicas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Tablas de operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Ordenes de Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Lista de ejercicios 7 ............................... 74
4 Continuidad 76
Lista de ejercicios 8 ............................... 78
Respuestas de ejercicios 81
1
Capitulo 1 Funciones
1.1 Introducción
Definición 1.1.1 – Una función es una relación entre los elementos de un conjunto A
(conjunto de entradas) y los elementos de un conjunto B (conjunto de salidas) en la
cual cada elemento de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Ejemplo 1.1.1 – Cuando depositamos dinero en un banco a una cierta tasa de interés
queda establecida una función que nos indica dado un cierto tiempo t (variable de
entrada) cuantos intereses I (variable de salida) se generaron . Es decir que los intereses
I son una variable que “depende” de otra variable el tiempo t y esta dependencia esta
dada por la función I = f (t ) .
Supongamos que el capital que depositamos es de $ 2000 a una tasa de interés anual del
35% (interés simple) entonces el interés generado por ese capital pasado un cierto
tiempo t esta dado por la función I = f (t ) = 2000.(0,35).t con t medido en años.
Ejemplo 1.1.2 – Si queremos calcular el área de un círculo sabemos que esta depende
del radio del mismo. Esta relación que queda establecida entre el radio del círculo
(variable de entrada) y sus áreas (variable de salida)es una función cuya expresión es
A = f (r ) = π .r 2 donde r indica el radio y A el área.
Es importante destacar que en los dos ejemplos es claro que para cada valor concreto de
la variable de entrada se obtiene un y solo un resultado de la variable de salida. Esta
característica es la que hace que estas relaciones sean funciones.
Veamos un ejemplo de una relación que no es función.
2
Dominio y codominio
Gráficas de funciones.
Es así que dada una función f : R → R si tomamos un x del dominio este tendrá su
correspondiente f ( x) generando así un punto del plano de coordenadas ( x, f ( x)) . El
conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas ( x, f ( x )) obtenidos al variar x
es lo que llamaremos la gráfica de la función f . (este conjunto será una curva plana)
Definición 1.1.3 - Diremos que un número real α es raíz de una función f si y solo si
f (α ) = 0 .
En el gráfico las raíces son los puntos donde la curva corta al eje Ox.
Por otro lado si para un valor de x tenemos que f ( x) > 0 esto genera un punto por
encima del eje Ox y si por el contrario f ( x) < 0 el punto estará por debajo del eje Ox.
Es claro que para el estudio del signo de una función las raíces son puntos clave.
3
Ejemplo 1.1.4 - Sea f : R → R cuyo gráfico es el de la figura queremos hallar el signo
de f
Empecemos por observar que la curva
corta al eje Ox en tres puntos de abscisas –1
, 0 y 2 . Estos tres números son las raíces de
la función. También podemos observar que
la función alcanza valores negativos antes
del –1 y entre el 0 y el 2. Y alcanza valores
positivos entre el –1 y el 0 y para los
mayores que 2 . Estos resultados se pueden
resumir en el siguiente esquema:
0 0 0
- - - - +++ - - - - - ++++
-1 0 2
y2 − y1
a= = tg (α )
x2 − x1
Por su parte el número b tiene una interpretación muy simple . En efecto, al sustituir la
x por 0 en f ( x) = a.x + b obtenemos que f (0) = b , lo cual significa que b es la
ordenada del punto de corte de la recta con el eje Oy.
4
Ejemplo 1.2.1 Queremos graficar la función f : R → R dada por f ( x) = 2 x − 1 .
Sabemos que su gráfica es una recta que corta al eje Oy en el punto de ordenada b = − 1
lo cual es equivalente a decir que pasa por el punto P = (0, − 1) . Como una recta queda
determinada por dos puntos distintos, alcanza con encontrar otro punto que pertenezca a
la misma. Esto es inmediato: si le damos a x el valor 1 (por ejemplo) obtenemos
f (1) = 1 y esto nos permite afirmar que esta recta también pasa por el punto Q = (1,1) .
yq − y p 1 − (− 1)
Observamos que = = 2 , lo cual confirma que la pendiente es 2.
xq − x p 1− 0
Observaciones 1.2.1 :
i) Si b = 0 nos queda que f ( x ) = a.x lo que lleva a que su grafica sea una
recta que pasa por el origen . Ver Fig 1.2.1
iii) Si a = 0 nos queda que f ( x) = b esto es una función constante lo que lleva a
que su gráfica sea una recta horizontal (paralela al eje Ox). Ver Fig 1.2.4
5
iv) Las rectas paralelas al eje Oy no constituyen la gráfica de ninguna función.
Como todos los puntos de una de tales rectas tienen la misma abscisa, su
ecuación es de la forma x = k con k constante. Ver Fig 1.2.5
a> 0 a< 0
b
−
a
0
Si a < 0 sig f ( x ) +++++++ - - - - - -
b
−
a
6
1.2.3 Determinación de una función lineal
Hemos visto cómo a partir de la fórmula de una función lineal es posible calcular su
pendiente y obtener su gráfica. En muchas situaciones interesa el problema inverso:
hallar la función lineal conociendo algunos datos sobre su gráfica. Estudiemos un par de
casos sencillos.
Queremos hallar una función lineal que tenga pendiente a y cuya gráfica pase por el
punto P = ( x0 , y0 ) (es claro que estos datos determinan una única recta). Como
queremos que la pendiente sea a , la función buscada es de la forma f ( x ) = a.x + b .
Para determinar b imponemos la condición de que el punto P esté en la recta, es decir
que y0 = f ( x0 ) = a.x0 + b de donde resulta que b = y0 − a.x0 . La función lineal es
entonces f ( x ) = a.x + y0 − a.x0 o lo que es lo mismo f ( x ) = y0 + a.( x − x0 ) .
Resumiendo: la ecuación de una recta que pasa por P = ( x0 , y0 ) y tiene pendiente a es:
y = y0 + a.( x − x0 )
Ejemplo – La ecuación de la recta que pasa por el punto P = (3,1) y que tiene pendiente
4 es y = 1 + 4.( x − 3) que también puede escribirse como y = 4 x − 11 .
Sabemos que dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen. Queremos
ahora encontrar una función lineal cuya gráfica pase por los puntos distintitos
P = ( x0 , y0 ) y Q = ( x1 , y1 ) . Tenemos que tener en cuenta una breve discusión. En efecto
si x0 = x1 entonces la recta determinada por esos puntos es paralela al eje Oy y, por lo
tanto, no es gráfica de función alguna. En este caso la “ecuación de la recta” es
simplemente x = x0 . Supongamos entonces que x0 ≠ x1 . El problema se reduce a la
situación recién estudiada ya que la recta en consideración pasa por el punto P y tiene
y1 − y0
pendiente a = . Deducimos que su ecuación es:
x1 − x0
y1 − y0
y = y0 + .( x − x0 )
x1 − x0
Ejemplo 1.2.2 - La ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (1,5) y Q = (3,1)
es y = 5 − 2.( x − 1) que también puede escribirse como y = − 2 x + 7 .
Veamos una alternativa para resolver este problema. Hay que hallar el a y el b de una
recta para que los puntos P y Q la verifiquen de donde :
7
P = (1,5) pertenece a la recta ⇔ 5 = a.1 + b ⇔ a+ b= 5
Q = (3,1) pertenece a la recta ⇔ 1 = a.3 + b ⇔ 3a + b = 1
Nos queda así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas . Para resolverlo
podemos observar que si restamos las dos ecuaciones obtenemos otra sin b pasando así
a+ b= 5 a+ b= 5
del sistema original a otro equivalente escalerizado. De la
3a + b = 1 2a = − 4
segunda ecuación obtenemos a = − 2 y sustituyendo en la primera obtenemos que b = 7
llegando así a la ecuación de la recta y = − 2 x + 7 .
8
1.2.5 Funciones lineales de costo, ingreso y utilidad
A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos
de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler,
energía, teléfono, calefacción, servicios públicos y otros gastos. El costo total suele
definirse en términos de dos componentes: costo total fijo ( que NO depende del
tamaño de la producción) y el costo total variable ( que depende de la cantidad de
unidades producidas).El siguiente ejemplo intenta aclarar estos conceptos:
Ejemplo 1.2.3 - Una empresa que elabora un solo tipo de producto quiere determinar el
costo total anual en función de la cantidad de unidades producidas. Los
contadores indican que los gastos fijos para cada año son de U$S 45.000.
También han estimado que por cada unidad producida los costos de materias
primas ascienden a U$S 5,50 y que los de mano de obra son de U$S 1,50 en el
departamento de montaje, U$S 0,75 en la planta de acabado y de U$S 1,25 en
el departamento de empaque y embarque. Si designamos con x a la cantidad
de productos fabricados durante el año tenemos:
C ( x) = 45.000 + 9.x
donde es importante recordar que x indica el número de unidades producidas y C ( x) es
el costo total medido en dólares.
Este ejemplo muestra una situación simplificada en donde se supone que los costos
variables son directamente proporcionales al tamaño de la producción (al número de
productos fabricados) y que sólo dependen de ella. Luego veremos algunas funciones de
costo más complicadas.
Supongamos que la empresa del ejemplo anterior vende sus productos a U$S 12 la
unidad. El dinero que entra por concepto de ventas recibe el nombre de ingreso total.
Si suponemos que se venden todos los artículos que produce, entonces la función de ingreso
viene dada por:
I ( x) = 12.x
donde x es el número de unidades producidas e I ( x) es el ingreso medido en dólares.
9
Para el ejemplo que venimos manejando resulta que la función de utilidad U ( x) es:
U ( x) < 0 ⇒ PÉRDIDA
U ( x) > 0 ⇒ GANANCIA
0
En nuestro ejemplo resulta sig U ( x) - - - - - + + + +
15.000
y podemos concluir que si la empresa vende menos de 15.000 unidades tendrá perdidas
y si por el contrario vende más de 15.000 tendrá ganancia. El punto en el que la utilidad
se anula ( costo igual a ingreso ) se denomina punto de equilibrio y, en este caso, se
alcanza cuando x = 15.000 unidades. Podemos visualizar la situación de dos maneras :
graficando la función de utilidad (Fig 1.2.9) o graficando las funciones de costos e
ingresos en un mismo sistema de coordenadas.(Fig 1.2.10)
1
ii) ¿Cuántos artículos hay que vender para obtener una ganancia de 255.000
dólares?
U ( x) = 255.000 ⇔ 3.x − 45.000 = 255.000 ⇔ 3.x = 300.000 ⇔ x = 100.000
Se deben vender 100.000 artículos.
Depreciación lineal
Cuando una empresa compra maquinaria, reporta el valor de ese equipo como uno de
los activos en su balance. En los siguientes años este valor debe disminuir debido al
desgaste del equipo, o bien a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor
de un activo se denomina depreciación. Un método común de calcular el monto de la
depreciación es reducir el valor cada año en una cantidad constante. Esto se denomina
depreciación lineal . Así tenemos que la tasa de depreciación anual Td se calcula así:
Vi − Vd
Td =
t
Ejemplo 1.2.4 – Una empresa compra maquinaria por 150.000 dólares. Se espera que el
tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. En
primer lugar calculemos la tasa de depreciación anual esto es :
150.000 − 0
Td = = 12.500
12
Esto significa que cada año que pase la maquinaria vale 12.500 dólares menos. Esta
interpretación nos permite hallar una función que nos de el valor de la maquinaria en
función del tiempo :
V (t ) = 150.000 − 12.500.t
donde t es el tiempo medido en años y V (t ) el valor de la maquinaria en dólares.
Es así que por ejemplo pasados 8 años el valor de la maquinaria será:
V (8) = 150.000 − 12.500 × 8 = 50.000 dólares.
Lista de ejercicios 1
a) f1 ( x) = 2 x + 4 b) f 2 ( x) = − 3 x + 1 c) f3 ( x ) = (2 x − 3)(− x + 5)
d) f 4 ( x ) = ( x − 3)( − 4 x + 4) x
1
c) Pasa por el punto (-2 ,1) y tiene coeficiente angular 2
d) Pasa por el (1,1) y tiene coeficiente angular –3
6 – Una fábrica vende un solo tipo de producto a $25 cada uno. Los costos variable por
unidad son de $2 por concepto de materiales y de $6 por concepto de mano de obra. Los
costos fijos anuales ascienden a $ 22.000
a) Encuentre las funciones de costo , ingreso y utilidad (graficarlas)
b) ¿Cuál es la ganancia de la empresa si se venden 10.000 unidades?
c) Hallar el punto de equilibrio
8 – Una empresa tiene $ 24000 de gastos fijos para producir un artículo cuyo costos
variables de producción por unidad es de $90. El artículo se vende a $120 cada uno.
Discutir en función del número de artículos producidos y vendidos cuando la empresa
dará perdidas y cuando ganancia. (interpretar gráficamente)
1
Problemas propuestos en revisiones y exámenes.
1 - Una persona tiene el auto roto y debe alquilar otro rápidamente. Le ofrecen dos
posibilidades:
A) Pagar $ 3 por cada km recorrido.
B) Pagar $ 200 por el alquiler (independientemente de los kilómetros recorridos) más
$ 2 por cada km recorrido.
3 - Una empresa debe adquirir una máquina para producir un nuevo producto. Se le
presentan dos opciones:
A) Comprar una máquina relativamente vieja a un costo de 500 dólares. Con dicha
máquina podrá producir a un costo de 2 dólares por unidad producida.
B) Comprar una maquina última generación a un costo de 1200 dólares. Con esta otra
máquina el costo de producción es de 1 dólar por unidad.
i) Hallar la función de costos que se le generará a la empresa con cada opción.
ii) Representar gráficamente ambas funciones
iii) Si esperan producir 600 unidades ¿Cuál de las dos opciones es la más
conveniente?
Discutir en función de la cantidad de unidades producidas cuál de las dos opciones es
mas conveniente.
1
4 - Un grupo de amigos está estudiando la posibilidad de alquilar un auto para irse una
semana de vacaciones. Luego de estudiar las ofertas se le plantean 2 alternativas entre
las cuales deberían elegir. La primera opción es un auto gasolero cuyo alquiler diario es
de $ 500. La segunda opción es alquilar un auto a nafta por $ 400 diarios.
Se sabe que ambos vehículos tienen un rendimiento de 20 kms por litro de combustible
y que los precios del gasoil y la nafta es de $ 10 y $ 20 por litro respectivamente.
Establecer las funciones que expresan los costos de cada opción en función de la
distancia recorrida. Graficar
¿cuál seria la distancia que deberían recorrer para que ambas alternativas fueran
indiferentes? Interpretar gráficamente.
Si estiman que durante la semana recorrerán 1000 kms. ¿Cuál será la opción más
conveniente?
6 - Los Caddies son las personas que ayudan a cargar los palos de golf durante los
torneos. Un caddie montevideano piensa viajar a trabajar en un torneo en un club de las
afueras de una ciudad del interior del pais. Tiene dos opciones de locomoción para
llegar al club anfitrión :
a) Tomarse un ómnibus en Tres Cruces de costo $ 200 hasta la terminal de la
ciudad y despues tomar un minibus de la zona que cobra $ 35 más $ 3 por
kilómetro
b) Irse a dedo hasta la terminal de la ciudad y desde allí tomar un taxi que cobra
$ 50 la bajada de bandera más $ 8 por kilómetro.(por razones de tiempo no
puede tomarse el minibus)
i) Determinar las funciones de costos de cada opción y graficarlas.
ii) Discutir según la distancia de la terminal al club que opción es más
conveniente.
iii) Si el caddie solo pudiera reunir $ 400 ¿qué opción le conviene más? (¿con
cuál opción recorre más kilómetros?)
iv) En la situación de la parte iii) si además se sabe que el club queda a 65
kilómetros de la terminal . ¿le sobrará plata? ¿o tendrá que caminar? en este
caso ¿Cuántos kilómetros caminará?
1
7 - El alquiler mensual de un local, en las afueras de Montevideo, para instalar una
fábrica de tapas para frascos es de $ 47000.
Además tendrá otros gastos, por concepto de sueldos y otros gastos administrativos, que
ascenderán a $ 120000 por mes.
Los costos variables (correspondientes básicamente a materia prima) ascenderán a $ 5
por cada tapa fabricada.
La máquina que necesita para la fabricación se la alquilan por mes a $ 4000.
2) ¿Cuál tendrá que ser el precio de venta de cada tapa para ello?
3) Calcular la función de ingresos
4) Realizar las gráficas correspondientes.
Al empresario le dan una segunda alternativa para arrendar la máquina, y es pagar por la
máquina en función de su uso de la siguiente manera: en lugar de pagar $ 4000
mensuales deberá pagar $ 206 por mes más $ 0,05 por cada tapa que fabrique en el mes.
Se considerará que se mantiene el precio de venta anterior y el resto de los gastos
anteriores.
8 - Una señora decide comenzar una pequeña producción de galletas para vender y sabe
que si las hace en su casa tiene un costo total de $ 22 si hace 4 galletas y $ 100 si hace
30 galletas. (se sabe que la función de costo total es lineal)
i) Hallar la función costo total
El panadero de su barrio le ofreció otra opción que consiste en que utilice las
instalaciones de su panadería por lo que le cobraría $ 60 y además como el compra las
materias primas a granel los materiales para hacer una galleta le saldrán $ 0,50.
ii) Hallar el costo total en función del número de galletitas con esta segunda
opción.
iii) ¿Qué cantidad de galletas tendría que hacer para que fuera indiferente
hacerlas en la panadería o en su casa?
iv) Si necesariamente debe hacer 50 galletitas para un pedido ¿Cuál opción le
conviene mas?
v) Si el precio de venta es de $ 8 cada galletita. ¿A partir de que cantidades
tendrá ganancia en cada opción?
1
iii) Obtener y graficar las funciones de Costo, Ingreso y Utilidad indicando el
punto de equilibrio (y sus coordenadas)
I ( p ) = p.D( p)
1
a> 0
a< 0
En el ejemplo anterior pudimos hallar las raíces de la función de una manera muy
simple porque pudimos expresarla en su descomposición factorial. De todos modos es
importante recordar la fórmula que siempre nos permite hallar las raíces de un
polinomio de segundo grado (en caso de que existan):
⇔ − b± b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = 0 x=
2a
1
Está claro que la existencia de raíces depende del signo del “discriminante” :
∆ = b 2 − 4ac . Pueden darse los siguientes casos:
ii) Si ∆ = 0 entonces la función tiene una sola raíz (diremos que es una raíz
doble). Su gráfico corta al eje Ox en un solo punto cuya abscisa es la raíz
doble. Ver Fig 1.3.2
Observe que en los tres ejemplos de las figuras optamos por casos con a > 0 . Se pueden
obtener ejemplos con a < 0 en cualquiera de los tres casos. Intente dibujar estos
ejemplos.
0 0
i) ∆ > 0 sig a − sig a sig a
α β
0
ii) ∆ = 0 sig a sig a
1
Ejemplo 1.3.2- Estudiar el signo de f ( x ) = − 2 x 2 + 6 x − 4
− 6± 62 − 4.(− 2).(− 4) − 6 ± 4 − 6 ± 2
Empecemos por hallar las raíces: x = = = de
2.( − 2) −4 −4
− 6+ 2 − 6− 2
donde estamos en el caso de ∆ > 0 y las raíces son α = =1 y β = = 2
−4 −4
1 2
1
Ejemplo 1.3.3 – Hallar la función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos
P = ( − 1, 6 ) , Q = ( 2,3) y R = ( 3,10 ) . Como dijimos antes consideramos
y = ax 2 + bx + c luego:
P = ( − 1, 6 ) ∈ a la parábola ⇔ 6 = a( − 1) 2 + b(− 1) + c ⇔ a− b+ c = 6
Q = ( 2,3) ∈ a la parábola ⇔ 3 = a.(2) 2 + b(2) + c ⇔ 4a + 2b + c = 3
R = ( 3,10 ) . ∈ a la parábola ⇔ 10 = a(3) 2 + b(3) + c ⇔ 9a + 3b + c = 10
Para resolver este sistema utilizaremos el método de escalerización
Para pasar del primer sistema al segundo sustituimos la ecuación (2) por (2´) = (2) – (1)
y la ecuación (3) por (3´) = (3) – (1). Luego para pasar del segundo sistema al tercero
sustituimos la ecuación (3´) por (3´´) = 3.(3´) – 4.(2´).
Llegamos así al tercer sistema que es “equivalente” al primero (tiene la misma solución)
y es muy fácil de resolver ya que de (3´´) obtenemos que a = 2 sustituyendo este valor
en (2´´) y despejando llegamos a que b = − 3 y por ultimo sustituyendo en (1´´) los
valores de a y b y despejando nos queda que c = 1 . Por lo que concluimos que la
función cuadrática que pasa por esos tres puntos es:
y = f ( x) = 2 x 2 − 3x + 1
Supongamos que en base a una serie de encuestas, una empresa ha estimado que la
demanda de uno de sus artículos depende del precio p del mismo mediante la función:
d ( p ) = 1500 − 50 p
En este caso sólo tiene sentido considerar valores de p ≥ 0 para los cuales d ( p ) ≥ 0 es
decir 0 ≤ p ≤ 30 (al intervalo [ 0,30 ] lo llamaremos dominio restringido).
Cuando el precio es p = 0 la demanda es 1500 artículos, la misma decrece hasta llegar a
0 cuando el precio es p = 30 .
2
Ahora el ingreso también es función de p y viene dado por :
Una pregunta importante que la empresa debe hacerse es ¿cuál debe ser el valor del
precio a fijar para que el ingreso sea máximo?
Para resolver este problema graficamos la función I ( p) , teniendo en cuenta que sólo
nos interesará la región correspondiente a valores de p entre 0 y 30.
En el ejemplo anterior vimos como hallar el precio para que el ingreso sea máximo y
dijimos que esto era algo que sin duda le importaba saber a la empresa. Pero
otra pregunta no menos importante (y no necesariamente coincidente con la
anterior ) es ¿qué precio debemos ponerle al articulo para que las utilidades
sean máximas?
Para esto recordemos que la función de utilidad U ( p) se obtiene de restar la función de
ingreso I ( p) . menos la de costos C ( p ) . Si volvemos al ejemplo anterior la
función de ingreso ya la tenemos pero nos faltan datos para hallar la de costos
Agreguemos pues a los datos del ejemplo anterior los siguientes datos:
La empresa tiene un costo fijo de $ 3.750 y el costo por unidad producida es de $2
En el capítulo anterior con estos datos concluiríamos que la función de costos es :
C ( x) = 3750 + 2 x donde x indica el número de unidades producidas. Este resultado esta
muy bien pero observemos que nuestra variable es el número de unidades producidas y
no el precio (como en la función de ingreso que tenemos). Es claro entonces que el
problema que tenemos planteado es el de hallar el costo en función del precio. Para esto
pensemos que dado un precio p es razonable fabricar la cantidad de unidades que se
pueden vender a ese precio y esa cantidad nos las da la función de demanda. Esto
implica tomar a x igual a la demanda es decir que en nuestro ejemplo tomaremos:
x = d ( p ) = 1500 − 50 p por lo que si sustituimos en la función de costos nos queda que:
2
Obteniendo así el costo en función del precio.
Ahora si estamos en condiciones de hallar la utilidad en función del precio, esto es:
U ( p ) = I ( p ) − C ( p ) = ( − 50 p 2 + 1500 p) − (6750 − 100 p) = − 50 p 2 + 1600 p − 6750
Si graficamos esta función nos queda:
Es claro a partir del gráfico que el máximo de esta función de utilidad se da en el vértice
de la parábola esto es cuando el precio es p = 16 y las utilidades a ese precio son de
U (16) = 6050 .
2
obtendremos que la cantidad de unidades ofrecidas sea igual a la demandada. Observe
que si tomamos un precio mayor al que corresponde al equilibrio tendremos un mercado
donde la oferta supera la demanda y si tomamos un precio menor al de equilibrio la
oferta no cubrirá las cantidades demandadas.
Ejemplo 1.3.4 - Los resultados de una encuesta de mercado realizada entre los
proveedores de un producto revelaron que el comportamiento de la función de oferta es
cuadrática. Se les preguntó cuantas unidades del producto estaban dispuestos a ofertar a
distintos precios obteniendo los siguientes resultados: si los precios del producto son
$20 , $30 y $40 la cantidad de unidades ofrecidas son 175 , 675 y 1375 respectivamente.
Con estos datos es claro que podemos hallar la función de oferta ya que el problema
equivale al de hallar la parábola que pasa por los puntos ( 20 , 175) , ( 30 , 675) y ( 40 ,
1575) . Tipo de ejercicio que ya hemos resuelto (ver ejemplo ) por lo que lo dejaremos
como ejercicio. El resultado es que la función de oferta es O( p ) = p 2 − 225 .
A su vez una encuesta entre los consumidores reveló que la demanda también se
comporta como una función cuadrática. A precios de $10 , $30 y $60 las cantidades
demandadas serán de 265 , 105 y 15 respectivamente. Al igual que con la oferta queda
1 2
como ejercicio hallar la función de demanda la que dará d ( p) = p − 12 p + 375 .
10
Hallar el punto de equilibrio implica hallar el precio para que la oferta sea igual a la
demanda de donde :
1 2 9 2
O( p ) = d ( p ) ⇔ p 2 − 225 = p − 12 p + 375 ⇔ p + 12 p − 600 = 0
10 10
Hallando las raíces de esta ecuación nos queda que p = 20 (la otra raíz es negativa por
lo que queda descartada). Gráficamente esto es :
Una observación importante en este ejemplo es respecto a los dominios de estas dos
funciones. Para empezar no parece razonable trabajar con precios negativos.
Pero además en el caso de la oferta recién para los p > 15 alcanza valores
positivos (es decir realmente hay oferta) por lo que debemos decir que el
dominio razonable para la función de oferta es D = { p ∈ R , p > 15}
Por su parte si observamos la demanda parece razonable tomar como dominio
A = { p ∈ R , 0 < p ≤ 60} ya que si miramos la gráfica a partir del 60 la función
crece y esto no es de esperar en una función de demanda.
2
En este capítulo hemos insistido en aplicaciones de ingreso , costos , utilidades, oferta ,
demanda , etc y en casi todos los ejemplos hemos tomado como variable el precio. Así
hemos calculado por ejemplo la utilidad generada por un producto en función del precio
del mismo. Sin embargo debemos tener claro que en cada aplicación tendremos que
elegir (salvo que el problema especifique cual tomar) la variable mas adecuada y no
siempre esta será el precio. Por ejemplo en el capítulo anterior hemos resuelto varios
ejercicios donde la variable que utilizamos era el número de unidades producidas y
vendidas. Pero veamos un ejemplo distinto:
Ejemplo 1.3.5 - Un empresario es propietario de un edificio con 30 apartamentos. A
partir de un estudio de mercado el sabe que si cobra $ 1.500 pesos de alquiler por
apartamento los alquilará todos. Por otro lado también sabe que por cada $ 300 pesos
que suba el alquiler de cada apartamento uno le quedara sin arrendar. Es claro que la
pregunta que se hace el empresario es ¿qué precio pedir por cada apartamento para que
sus ingresos sean máximos?.
Veamos algunos casos particulares que nos pueden ayudar a elegir que variable elegir
para resolver este problema:
Podríamos seguir con este procedimiento hasta agotar todos los casos para luego elegir
el mas conveniente. Pero estos son muchos casos ( 30 casos en este problema) y además
de los tres casos analizados podemos concluir que si llamamos x al número de
apartamentos sin alquilar el precio de cada apartamento es de $ 1.500 + 300x y el
ingreso es:
I ( x) = (30 − x)(1.500 + 300 x) = − 300 x 2 + 7.500 x + 45.000 .
Es decir que nos quedo que el ingreso se comporta como una función cuadrática pero
cuya variable no es el precio sino el número de apartamentos no alquilados.
Veamos la gráfica de dicha función.
2
Es claro en la gráfica que el máximo se da en el vértice de la parábola cuya abscisa es
12,5 pero tengamos en cuenta que no podemos dejar de alquilar 12 apartamentos y
medio por lo que debemos elegir el entero mas próximo (en este caso puede ser 12 o 13)
Pero recordemos que la pregunta que el empresario se hacia era cuál era el precio que
debía pedir por unidad. Si optamos por x = 12 el precio por unidad deberá ser
1.500 + 300 × 12 = 5100 obteniendo así un ingreso de $91.800. Analice la opción de
x = 13 y compare los resultados.
Lista de ejercicios 2
d) f 4 ( x ) = − x + 4 e) f5 = 2 x + 6 x f) f 6 ( x ) = − 3 x + 3 x + 6
2 2 2
c) f 3 ( x) = ( x + 2 x + 2).(− x + 2) d) f 4 ( x ) = (− x − 2 x − 1).( x + 4 x − 5)
2 2 2
4 – Hallar la intersección de :
a) La parábola de ecuación y = 2 x − 3x + 2 y la recta y = 3 x − 2 (graficar)
2
6 – Una encuesta entre los productores de un cierto producto determinó que la función
de oferta del mismo es cuadrática. Tres datos de dicha encuesta indican que a un precio
de 60 , 70 y 80 pesos las cantidades del producto ofrecidas son de 2750 , 6000 y 9750
respectivamente.
a) Determine la función de oferta
b) Graficar. Halle el corte con el eje Ox e interprete dicho resultado.
c) ¿Qué cantidad será ofrecida a un precio de 85 pesos?
2
8 – En un mercado se conoce que la función de oferta es una función cuadrática. Se sabe
que el vértice de dicha función esta en el punto (0 , -100) y que una de las raíces de la
función es 10.
i) Hallar la función de oferta y determinar el dominio restringido.
ii) ¿Cuál será la cantidad ofertada a un precio de 20?
iii) ¿Para qué precio la oferta será de 800?
iv) Si sabemos que la función de demanda es q ( x )=−x 2 +6x+1000
Hallar el punto de equilibrio
v) A partir de que nivel de precios la cantidad ofrecida supera la cantidad
demandada.
2
Problemas propuestos en revisiones y exámenes.
1 - Una empresa que comercializa bicicletas realiza un estudio de mercado del cual
surgen los siguientes resultados: i) La oferta se comporta en forma cuadrática con las
cantidades de 0 , 6000 y 12.800 para los precios de 70 , 80 y 90 dólares por unidad
respectivamente. ii) La demanda responde a la ecuación q ( p ) = ( p − 100) 2 + 5600
donde p indica el precio por unidad.
Hallar la cantidad ofertada en función del precio.
¿Para que valores de p tiene sentido la función de oferta?
Hallar el punto de equilibrio
Graficar señalando el punto de equilibrio.
4 - La oferta de un bien esta dada por una función cuadrática , cuya variable es el precio
del articulo, y de la que se sabe que :
2
A un precio de $ 3 la oferta es 0 , a un precio de $ 4 la oferta es 6 y a un precio de $ 5 la
oferta es 14.
Hallar la función de oferta.
Por otro lado se sabe que el comportamiento de la demanda en función del precio esta
dado por la función g ( x) = − x 2 + ax + 6 y que el punto de equilibrio entre la oferta y la
demanda se da a un precio de $ 4
Hallar a
Graficar las funciones de oferta y demanda indicando el punto de equilibrio.
7 - La oferta de un bien esta dada por una función cuadrática , cuya variable es el precio
del artículo, y de la que se sabe que :
A un precio de $ 2 la oferta es 0 , a un precio de $ 3 la oferta es 1 y a un precio de $ 4 la
oferta es 3.
Hallar la función de oferta.
Por otro lado se sabe que el comportamiento de la demanda en función del precio es
lineal y el gráfico de dicha función pasa por los puntos (1 , 2 ) y ( 3 , 1 )
Hallar la función de demanda
Hallar el punto de equilibrio
Interpretar gráficamente.
2
i) Hallar dichas funciones sabiendo que la función oferta tiene como coeficiente de
p 2 a 1, una raíz en p= 10 y para un precio de 25 la cantidad ofertada es 390.
En cuanto a la demanda se estableció que para precios de 12 , 15 y 18 las
cantidades demandadas son 342 , 240 y 156 respectivamente.
ii) Graficar ambas funciones teniendo en cuenta que ambas son válidas para los
precios entre 10 y 30
iii) Hallar el punto de equilibrio del mercado e interpretar gráficamente (cantidad y
precio de equilibrio)
10 - Un estudio de mercado sobre un producto nos dice que la demanda en función del
precio es una función cuadrática; que 50 es raíz de la misma y que para precios de 10 y
20 las cantidades demandas son 1600 y 900 respectivamente. La función de oferta del
mismo producto es lineal, representada por la función g(x) = 20x – 200, con x>10,
siendo x el precio del producto
11 - En determinado mercado se sabe que la oferta en función del precio esta dado por
la función O( p ) = 2 p 2 − 2 p − 4
i) Graficar la función de oferta y hallar el dominio restringido sabiendo que
tanto la oferta como el precio tienen que ser positivos.
Por otro lado se sabe que la función de demanda también es cuadrática y a precios de 1,
2 y 5 las cantidades demandadas son 65 , 48 y 9 respectivamente.
ii) Hallar la función de demanda, graficarla y hallar el dominio restringido
sabiendo que el precio y la demanda deben ser positivos y que a medida que
el precio aumenta la demanda decrece.
iii) Hallar el punto de equilibrio e interpretar gráficamente.
2
a) Hallar las funciones de oferta y demanda y sus respectivos dominios restringidos
b) Hallar el punto de equilibrio e interpretar gráficamente.
c) Si el estado interviene en dicho mercado fijando un precio máximo de $ 33 ¿Qué
cantidad se transará en dicho mercado? ¿Y si se fija un precio máximo de $ 37?
13 - Un estudio de mercado sobre un producto nos dice que la demanda en función del
precio es una función cuadrática; que 50 es raíz de la misma y que para precios de 10 y
20 las cantidades demandas son 1600 y 900 respectivamente. La función de oferta del
mismo producto es lineal, representada por la función g(x) = 20x – 200, con x>10,
siendo x el precio del producto
Ejemplo 1.4.2
El sueldo de un vendedor de libros depende de la cantidad de unidades que venda. Ante
la salida de una nuevo diccionario enciclopédico, una editorial les hace a sus vendedores
la siguiente oferta: Por salir a vender todos los días del mes, de lunes a viernes 6 horas,
un sueldo base de $ 600 y a esto se le suma $ 70 pesos por ejemplar vendido, siempre y
cuando la cantidad vendida no supere los 40 ejemplares. A partir de los 40 ejemplares
recibe una bonificación extra de $ 200 pesos y recibe $ 80 por ejemplar vendido.
3
Lo que queremos es establecer una función que nos de el sueldo de un vendedor en
función de la cantidad de unidades vendidas. Para esto llamaremos x al número de
unidades vendidas y f ( x ) al sueldo del vendedor correspondiente a ese nivel de venta.
Si x < 40 al sueldo fijo de $ 600 hay que sumarle 70x , que es la comisión
correspondiente a x unidades vendidas.
Si x ≥ 40 el sueldo fijo pasa a ser $ 800 y el ingreso por las x unidades vendidas 80x .
De donde esta función, al igual que en el ejemplo anterior, nos queda definida por
tramos
600 + 70 x si x < 40
f ( x) = cuya gráfica podemos observar en la figura
800 + 80 x si x ≥ 40
Supongamos ahora que nosotros somos uno de esos vendedores y hemos vendido en un
mes 48 ejemplares. Queremos averiguar cual es el sueldo que nos corresponde. Es claro
que tenemos que hallar f (48) . Para esto observamos que 48 > 40 por lo que
f (48) = 800 + 80.48 = 4640 .
Ejemplo 1.4.3
x2 + 1 si x≤ 1
Sea f : R → R f ( x) = La idea es analizar como graficar esta
3x − 2 si x> 1
función. Para eso empecemos por observar que la primera expresión y = x 2 + 1
corresponde a una parábola de vértice (0,1) y concavidad positiva. Por lo que podemos
dibujarla y quedarnos sólo con el tramo de la curva que corresponde a valores de x ≤ 1 .
Del mismo modo podemos dibujar la recta y = 3 x − 2 y en este caso quedarnos con el
tramo que corresponde a valores de x > 1 . Si esto lo realizamos en un solo sistema de
ejes nos queda la gráfica de la función f como se ve en la figura
Valor absoluto
3
A partir de los ejemplos anteriores queda claro que las posibilidades de definir
funciones por tramos son infinitas, pero ahora nos detendremos a estudiar una particular
que llamaremos valor absoluto.
x si x≥ 0
Definición 1.4.1 Llamaremos valor absoluto a la función x =
− x si x< 0
Como vemos la notación que utilizaremos para esta función es x lo que leeremos valor
absoluto de x .
Siguiendo el procedimiento descrito en los ejemplos anteriores podemos obtener la
siguiente gráfica:
Propiedades 1.4.1
a a
iii) = cualquiera sean los reales a y b ≠ 0
b b
v) x ≤ a si y solo si −a≤ x≤ a .
Si superponemos la gráfica de x con la recta horizontal y = a podremos observar que
la gráfica de x está por debajo de la recta cuando − a ≤ x ≤ a .
Lista de ejercicios 3
3
− 2x + 3 si x< 1
1 – Sea la función f ( x ) =
x+ 2 si x≥ 1
a) Graficar
b) Hallar f (− 1) , f (1) y f (2)
x2 − x si x< 1
2 – Sea la función f ( x ) =
2x − 1 si x≥ 1
a) Graficar
b) Resolver la ecuación f ( x ) = 2 e interpretar gráficamente.
ax + 2 si x≤ 0
3 – Sea la función f ( x ) =
− 2x + b si x> 0
ax 2 − 2 x + b si x≤ 1
4 – Sea la función f ( x ) = 2
x + 2 x + b si x> 1
Cocientes
Queremos hallar el dominio de una función definida como el cociente de otras dos, es
p( x)
decir, una función de la forma f ( x) = , donde en principio las funciones p y q
q ( x)
tienen como dominio todos los reales . Debemos recordar que la división entre números
reales no está definida si el denominador es cero. Por lo que para aquellos valores de x
que hagan que q ( x) = 0 la función f ( x ) no estará definida.
p( x)
Resumiendo dada una función de la forma f ( x) = su dominio será
q ( x)
Dom( f ) = { x ∈ R , q ( x ) ≠ 0 }
Ejemplo 1.5.1
x 2 − 3x
Queremos hallar el dominio de la función f ( x) = .
x+ 2
Para esto observemos que la función es de la forma que estamos estudiando donde
q ( x ) = x + 2 . Por lo que para hallar el dominio de f debemos resolver q ( x) = 0 es decir
x + 2 = 0 cuya única solución es x = − 2 . De donde concluimos que el dominio de f es :
Dom( f ) = { x ∈ R , x ≠ − 2 } o lo que es lo mismo Dom( f ) = R − { − 2} .
Ejemplo 1.5.2
− x+ 3
Hallar el dominio de la función g ( x) =
x − 3x + 2
2
Ejemplo 1.5.3
3
4x − 2
Hallar el dominio de la función h( x) = x + 3 −
2x − 3
En este caso podemos observar que esta función no está planteada estrictamente como
p( x)
un caso de la forma . Sin embargo es la resta de una función lineal (que sabemos
q( x)
p ( x)
que no genera ningún problema de dominio) con otra que sí es de la forma por lo
q( x)
que lo resolveremos en forma similar a los ejemplos anteriores.
3 3
2x − 3 = 0 ⇔ x = de donde Dom(h) = R −
2 2
Raíces cuadradas
Ejemplo 1.5.4
Hallar el dominio de la función f ( x) = x − 3
Como indicamos antes debemos resolver la inecuación g ( x) ≥ 0 que en este ejemplo es
x − 3 ≥ 0 . Para resolver esta inecuación comencemos por estudiar el signo de x − 3
( observe que se trata del signo de una función lineal)
0
sig ( x − 3) - - - - - - - + + + + + +
3
De este estudio de signo concluimos que x − 3 ≥ 0 para los x mayores o iguales a 3
Por lo que el dominio de f es Dom( f ) = { x ∈ R , x ≥ 3 } o lo que es lo mismo
Dom( f ) = [ 3, + ∞ )
Ejemplo 1.5.5
Hallar el dominio de la función f ( x) = − x 2 + 5 x − 6
Debemos resolver la inecuación − x 2 + 5 x − 6 ≥ 0 lo que hacemos estudiando el signo
0 0
sig (− x + 5x − 6)
2
- - - - - + + + + + - - - - - -
2 3
Por lo que concluimos que Dom( f ) = { x ∈ R , 2≤ x≤ 3 } o lo que es lo mismo
Dom( f ) = [ 2,3]
Ejemplo 1.5.6
3
− x− 2
Hallar el dominio de la función f ( x) =
x− 3
En este ejemplo, debemos observar que tenemos combinados los dos problemas de
dominio que hemos estado analizando, es decir, un cociente y una raíz cuadrada.
Siguiendo el procedimiento de los ejemplos anteriores debemos resolver la inecuación
− x− 2
≥ 0 . Para esto debemos recordar que cuando dividimos dos números reales del
x− 3
mismo signo el cociente da positivo, mientras que cuando lo hacemos con dos números
de distinto signo, el cociente da negativo. Por lo que de estudiar el signo del numerador
y del denominador siguiendo estas reglas, podremos deducir el signo del cociente.
0
Sig (− x − 2) + + + - - - - - -
-2
0
sig ( x − 3) - - - - - - + +
0 ∃
− x− 2
sig - - - + + - - -
x− 3
-2 3
De donde concluimos que Dom ( f ) = { x ∈ R , − 2 ≤ x < 3 } o Dom( f ) = [ − 2,3)
Observe que en el signo del cociente sobre el 3 indicamos que el cociente no existe, ya
que en ese valor el denominador vale cero.
Ejemplo 1.5.7
Hallar el dominio de la función f ( x) = 1− x − 2
Al igual que en los ejemplos anteriores, debemos resolver la inecuación 1 − x − 2 ≥ 0
pero en este caso tenemos la dificultad adicional del valor absoluto. Veamos dos formas
distintas de resolver esta nueva situación.
Opción 1 -
Resolver 1 − x − 2 ≥ 0 equivale a resolver 1 ≥ x − 2 o lo que es lo mismo x − 2 ≤ 1
Luego si utilizamos la propiedad 1.4.1 inciso v) del valor absoluto tendremos que:
x − 2 ≤ 1 si y solo si − 1 ≤ x − 2 ≤ 1 y sumando 2 a los tres términos concluimos que
1 ≤ x ≤ 3 . De donde el dominio es Dom( f ) = { x ∈ R , 1 ≤ x ≤ 3 }
Esta opción es muy conveniente para este caso, pero no siempre podremos utilizarla,
por lo que es importante ver otra forma de encarar estos problemas.
Opción 2 –
3
En esta opción nuestro primer objetivo es eliminar el valor absoluto, para lo que
empezamos por estudiar el signo ( x − 2)
0
sig ( x − 2) - - - - + + + de donde deducimos que:
2
x− 2 si x≥ 2
x− 2 = de aquí deducimos que trabajando por zonas
− x+ 2 si x< 2
podemos trabajar sin valor absoluto.
i) Si x ≥ 2 resolver 1 − x − 2 ≥ 0 es lo mismo que resolver 1 − ( x − 2) ≥ 0 es decir
3 − x ≥ 0 cuya solución es 3 ≥ x pero debemos recordar en que zona estábamos
trabajando ( x ≥ 2 ) por lo que la solución en esta zona es 2 ≤ x ≤ 3
ii) Si x < 2 resolver 1 − x − 2 ≥ 0 es lo mismo que resolver 1 − (− x + 2) ≥ 0 es decir
− 1 + x ≥ 0 cuya solución es x ≥ 1 , pero al igual que en la otra zona, debemos recordar
que estamos en la zona x < 2 , por lo que la solución en esta zona es 1 ≤ x < 2
Por último, si juntamos las soluciones de cada zona, concluimos que la solución total es
1 ≤ x ≤ 3 llegando así a la misma solución que con la otra opción Dom( f ) = [ 1,3]
Por ejemplo si el precio fuera de $300 entonces aplicando la función x( p ) nos queda
que el número de unidades vendidas es x(300) = 1300 − 3(300) = 400 unidades. Y si
ahora le aplicamos la función S ( x ) nos queda que el sueldo es
S (400) = 500 + 50(400) = 20.500 .
Observe que 20.500 = S (400) y que a su vez 400 = x(300) de donde podemos resumir
diciendo que : 20.500 = S ( x (300)) quedando así el sueldo en función del precio por
unidad . Por lo que concluimos que f (300) = S ( x (300)) = 20.500
Del mismo modo si repetimos el proceso pero para un precio p nos queda que :
f ( p) = S ( x( p )) = S (1300 − 3 p) = 500 + 50(1300 − 3 p) = 65.500 − 150 p
3
Definición 1.6.1 Dadas dos funciones una g : A → B y otra f : B → C queda
definida otra función (que llamaremos la compuesta de f con g ) f ° g : A → C que
cumple que ( f ° g )( x ) = f ( g ( x))
Lista de ejercicios 4
3
x2 − 4
a) − 2 x + 5 < 0 b) − x 2 + 4 x + 5 ≤ 0 c) < 0
− x+ 1
x− 3 x+ 2 x 2 − 3x + 5
d) ≥ 0 e) ≤1 f) ≥1
− x + 2x − 2
2
2x − 4 x+ 2
x 1 x 4x−2
g) < h) ≤
x−1 x x−2 ( x−2 )( x+1 )
a) x − 2 − 3 = 0 b) x − 3x + 3 = 1
2
c) x - 4 = 2x + 8
d) x + 3 = 2x + 1 e) 2 x − 3 < 5 f) x− 1 ≥ 2
1 5
g) x + 1 ≤ x+ h) x − 1 > 1 − x
2
3 3
x− 2 x− 2 x− 1 1
a) f1 ( x) = b) f 2 ( x) = −2 c) f3 ( x) = −
3x + 5 x + 2
2
x+ 3 x + 3 x 10
2
x2 − 4 x
a) g1 ( x) = − x+ 3 b) g 2 ( x) = c) g3 ( x) =
x+ 1 x − 3x + 2
2
1 − 3x + 2
d) g 4 ( x) = x+ 3− e) g 4 ( x) =
−x +1 2
x + 4x + 4
2
1
5 – Dadas las funciones f ( x ) = x 2 + x , g ( x) = − x + 2 y h( x ) =
x+ 2
Hallar f ° g , g ° f , f ° h , h ° f , g ° h , h ° g y ( g ° f ) ° h
4
1 - a) Hallar una función cuadrática g cuyo vértice se alcance en el punto (2,1)
y 1 es raíz de la misma.
b) Hallar ( g ° g )(0) y ( g ° g )(1) siendo g la obtenida en la parte a)
x. g ( x)
c) Hallar el dominio de f ( x) =
x + x− 2
2 - a) Hallar una función cuadrática p ( x) sabiendo que la misma pasa por los puntos
(1, − 1) , (2, − 1) y (− 2, − 25)
b) Sea q ( x ) = x − 8 Hallar para que valores de x se cumple que p ( x) ≥ q( x)
interpretar gráficamente.
x− 1
Hallar el dominio de f ( x) =
x. p ( x ) − q ( x )
3 - Sea P ( x) = 2 x 2 − 2 x − 12
i) Resolver P ( x) > x 2 − 4
Lx
ii) Hallar el dominio de f ( x ) =
( x − 5) P( x) − ( x 2 − 4)
x
iii) Sea ahora la función g ( x) = hallar ( P ° g ) ( 0) y ( g ° P ) (− 2)
x− 1
4 - i) Resolver x − 1 − 2 = 0
3x 2 + 3x − 6
ii) Estudiar el dominio de f ( x) =
x− 1− 2
iii) Sea h( x) = e 2 x
2
−2
hallar ( f ° h ) (1) y ( h ° f ) (1)
1
5 - Sean las funciones f ( x ) = − x 2 − 4 x + 5 y g ( x) =
− 3x + 2 x + 1
2
6 - Hallar una función cuadratica f ( x) sabiendo que su vertice es el punto ( 2,11) y que
su grafica corta al grafico de g ( x) = 2 x + 7 en un punto de ordenada 7 (es decir un
punto de la forma (a, 7) )
− x2 + 5x − 4
a) Estudiar el dominio h( x) =
x− 2
4
b) Hallar ( f ° h)(1)
4
Definición 2.1.1 – Una función es una relación entre los elementos de un conjunto A
(conjunto de entradas) y los elementos de un conjunto B (conjunto de salidas), en la
cual cada elemento de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Este esquema nos permite observar que esta relación es función, ya que cada elemento
de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Ahora consideremos la relación inversa, esto es, la relación que resulta de cambiar el
“sentido de las flechas” o más precisamente en nuestro ejemplo, es la relación
g : B → A tal que g (b) = 1 , g (d ) = 2 y g (b) = 3 cuya representación es:
En este caso es claro que la relación g no es función, ya que hay elementos del dominio
(a y c) que no tiene correspondiente y además hay un elemento (b) que tiene dos
correspondientes.
De este ejemplo debemos concluir que el hecho de que una relación sea función, no es
garantía de que la relación inversa también lo sea. Por esto nos dedicaremos a estudiar
que condiciones extras hay que exigirle a una función para que la relación inversa sea
función.
4
Si volvemos al ejemplo 2.1.1 podemos observar que la función f no es inyectiva ya que
hay dos elementos distintos ( 1 y 3 ) que tienen el mismo correspondiente
f (1) = b = f (3) .
Pero veamos ejemplos de funciones de R → R que son las que nos interesa estudiar en
este curso.
Ejemplo 2.2.2
Sea f : R → R f ( x ) = x 2 Queremos investigar si esta función es o no inyectiva.
Para esto es muy útil observar su gráfica:
Ejemplo 2.2.3
Sea g : [ 0, + ∞ ] → R g ( x) = x 2
4
Siguiendo el procedimiento indicado, observamos que las rectas horizontales por debajo
del eje Ox no cortan la gráfica de la función, y las que están por encima, incluido el
propio eje Ox, cortan en un solo punto. Esto nos permite concluir que esta función es
inyectiva. Es importante observar que la única diferencia entre el ejemplo 2.2.2 y este,
es que hemos “achicado” el dominio. Es decir que la función g de este ejemplo es una
restricción de la f del ejemplo 2.2.2. Por lo que podemos concluir que si tenemos una
función no inyectiva (como la f del ejemplo 2.2.2) restringiendo el dominio
adecuadamente, podemos obtener otra función (como la g del ejemplo 2.2.3) que sí sea
inyectiva.
4
Recordemos que en un sistema de ejes coordenados el codominio está representado por
el eje oy (eje vertical). Por lo que para hallar el recorrido, debemos encontrar los puntos
del eje oy que son correspondiente de alguien. Para esto podemos proyectar cada punto
de la curva sobre el eje oy obteniendo de esa forma los puntos que son correspondientes
de alguien.
Es decir que el Re c ( f ) = { x ∈ R tales que x ≥ − 1}
x 2 si x≤ 0
Ejemplo 2.3.2 Sea f : R → R f ( x) = 2 queremos estudiar si es
− x si x> 0
sobreyectiva. Para esto empecemos por graficar
Si proyectamos los puntos de la curva sobre el eje oy nos quedan todos los puntos de el
eje, es decir, que el Re c ( f ) = R = codominio por lo tanto esta es una función
sobreyectiva.
4
En el último ejemplo 3.7.5, vimos que esa función es sobreyectiva y es fácil de ver
(siguiendo el procedimiento ya señalado) que también es inyectiva luego es biyectiva.
Primero podemos observar que las rectas horizontales cortan en uno o ningún punto a la
gráfica por lo que f es inyectiva. Por otro lado, si proyectamos sobre el eje oy nos
queda que el recorrido es Re c( f ) = { x ∈ R tales que x ≥ − 1} = [ − 1, + ∞ ) =codominio
por lo que también es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva.
Es interesante observar que la expresión f ( x ) = x 2 − 1 es la misma que la del ejemplo
3.7.4 que podemos ver que, a diferencia de esta, no es ni inyectiva ni sobreyectiva. De
donde debemos concluir que no alcanza con la expresión de f ( x ) para poder clasificar
una función, sino que es fundamental tener en cuenta el dominio y codominio de la
misma. Por otro lado, vemos que a partir de una función como la del ejemplo 3.7.4 que
no era ni inyectiva ni sobreyectiva , “achicando” adecuadamente el dominio y el
codominio, podemos obtener otra función (la del ejemplo 3.7.5) que sí es biyectiva.
Función Inversa
Recordemos que nuestro objetivo es encontrar condiciones que nos aseguren que la
relación inversa de una función también sea función.
Sea ahora una función f : A → B biyectiva se puede observar lo siguiente:
i) Por ser sobreyectiva todo elemento de B es correspondiente de algún elemento
de A
ii) Por ser inyectiva los elementos de B no pueden ser correspondientes de más de
un elemento de A.
Es decir, que si f es biyectiva, cada elemento de B es correspondiente de uno y solo un
elemento de A.
Entonces la relación que a cada elemento de B le asocia su preimagen en f , es una
función de B en A
Es importante insistir en que f tiene que ser biyectiva para que esa preimagen exista y
sea única condición imprescindible para que esta relación sea función.
4
Definición 2.4.2 - Dada una f : A → B diremos que es invertible si y solo si es
biyectiva y llamaremos función inversa a la función f − 1 : B → A que cumple que
f − 1 ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y
Siguiendo el procedimiento visto en ejemplos anteriores es fácil ver que esta función es
biyectiva, por lo que es invertible.
Para hallar la inversa, recordemos que la definición nos indica que si f ( x ) = y entonces
f − 1 ( y ) = x . De donde si igualamos f ( x ) = 3x + 2 = y y luego despejamos x de esta
y− 2 y− 2
igualdad nos queda que x = por lo que f − 1 : R → R f − 1 ( y) =
3 3
4
Ejemplo 2.4.4 Sea f : ( − ∞ , 0] → [ − 1, + ∞ ) f ( x ) = x 2 − 1 si solo miramos esta última
expresión, parece la misma función del ejemplo anterior, pero observemos que hemos
cambiado el dominio, por lo que se trata de otro problema. Es más, tenemos que
empezar de cero, ya que ni siquiera tiene porqué ser invertible, ya que al cambiar el
dominio, se trata de otra función. Por lo que empecemos por ver la gráfica de esta
función.
Como se puede ver se trata de una función inyectiva, cuyo recorrido es el intervalo
[ − 1, + ∞ ) = codominio, por lo que también es sobreyectiva. Es decir, que la función es
biyectiva y por lo tanto invertible. Para hallar la inversa, repetimos la operación
realizada en el ejemplo anterior. f ( x ) = x 2 − 1 = y de donde x 2 = y + 1 y por último
llegamos a que x = ± y + 1 . Pero al igual que en el ejemplo anterior, debemos
descartar
Por lo que elijo un punto del dominio x = − 1 cuya imagen en f es f ( − 1) = 0 de donde
concluimos que f − 1 (0) = − 1 y esto ocurre si nos quedamos con − y + 1 . Es decir que
el resultado es que f : [ − 1, + ∞ ) → ( − ∞ , 0]
−1
f − 1 ( y) = − y+ 1
4
Gráfica de la función inversa
Queremos ver si hay alguna relación entre la gráfica de una función invertible y la
gráfica de su función inversa.
Para esto observemos que si un punto ( a, b ) pertenece al gráfico de una función f es
porque f (a ) = b y esto implica que en la función inversa (si existe) tendremos que
f − 1 (b) = a por lo que el punto ( b, a ) estará en la grafica de f − 1 .
Resumiendo: si ( a, b ) está en la gráfica de f ⇒ ( b, a ) estará en la gráfica de f − 1 .
f −1
5
2.5 Función exponencial y función logaritmo
Propiedades
i) f ( a + b) = e a + b = e a .e b = f ( a ). f (b)
ii) f (α . x ) = eα x = ( e x )α = ( f ( x ))α
ea f (a )
iii) f ( a − b) = e a − b = b
=
e f (b)
5
Función logaritmo
Propiedades
i) f − 1 ( c.d ) = L( c.d ) = L( c ) + L( d ) = f − 1 ( c ) + f − 1 ( d )
c c
ii) f − 1 = L = L( c ) − L( d ) = f − 1 ( c ) − f − 1 ( d )
d d
iii) f − 1 ( y α ) = L ( y α ) = α . L( y ) = α . f − 1 ( y )
5
Lista de ejercicios 5
b) f : R → R f ( x) = − x 2 + 2 x
x2 si x≤ 0
c) f : R → R f ( x) =
− x si x> 0
− x2 + 2 si x≤ 0
d) f : R → R f ( x) =
x+ 4 si x> 0
− x− 2 si x≤ 0
e) f : R → R f ( x) = 2
− x si x> 0
2 – En aquellos casos del ejercicio 1, donde la función resultó no ser biyectiva, cambiar
dominio y / o codominio (manteniéndolos lo más “grande” posible) para que resulten
biyectivas.
3 – Para aquellos casos del ejercicio 1 donde la función es invertible, hallar la inversa y
graficarla.
x2 − 4 x + 3 si x≤ 0
4 – Sea f : R → R f ( x) =
− 2x + 3 si x> 0
i) Analizar si f es biyectiva
ii) En caso de ser invertible hallar su inversa y graficarla
5
7 – Analizar si las siguientes funciones son invertibles y si corresponde hallar su inversa
e− x si x< 0
i) f1 : R → R f1 ( x) =
− x+ 1 si x≥ 0
− x2 + 1 si x< 0
ii) f2 : R → R f 2 ( x) =
1 + L( x + 1) si x≥ 0
L x − 1 si x< 0
iii) f3 : R → R f3 ( x) =
− x si x≥ 0
1 - Sean f (u ) = Lu y g ( x) = 2 x − 2
a) Hallar f ( g ( x) ) b) Estudiar el signo de g(x)
c) ¿Cuál es el dominio de f(u)? ¿Cuál es el dominio de f ( g ( x) ) ?
d) Hallar a para que f ( g (a ) ) = 0
ex si x< 2
2 - Sean las funciones f :R→ R f ( x) =
− x+ 3 si x≥ 2
g : R+ → R g ( x) = − 1 + Lx
a) Graficar f y g
b) Analizar si f y/o g son invertibles (justificar)
c) Hallar la inversa cuando corresponda.
d) Graficar la inversa cuando corresponda.
1 − x2 si x< 1
3 - Sea f : R → R f ( x) =
Lx si x≥ 1
1. Graficar.
2. Analizar si es sobreyectiva.
3. Analizar si es inyectiva
4. Restringir dominio y / o codominio (lo más grandes posible y que el 2 esté en el
dominio) para que f sea biyectiva
5. Hallar la inversa en base al dominio y codominio hallados en 4.
5
− x2 + 9 si x < 0
4 - Sea f : R → R f ( x ) =
3x + 9 si x ≥ 0
1. Graficar.
2. Investigar si la función es invertible. En caso de no serlo, restringir el dominio
y / o codominio de modo de transformarla en una función invertible.
3. Para el dominio y codominio de la parte 2 hallar la inversa y graficarla
− ( x − 1) 2 + 2 x< 1
5 - Sea f :R→ R f ( x) =
2 + Lx x≥ 1
i) Graficar f (x )
ii) Investigar si f es biyectiva ( justificar )
iii) Hallar f − 1
iv) Graficar f − 1
x2 − x si x≤ 1
6 - Sea f : R → R f ( x) =
− 2x + 2 si x> 1
− x( x + 1) si x< 0
g :R → R g ( x) = x
e si x≥ 0
Lx si 0< x≤ 1
7 - Sea f : R + → R tal que f ( x ) = 2
x − x si x> 1
i) Graficar f (x )
ii) Analizar si es inyectiva , sobreyectiva y / o biyectiva.
iii) Analizar si es invertible y si corresponde hallar la inversa y su gráfica
iv) Sea g : R − {1} → R + tal que g ( x ) = x 2 − 2 x + 1
Hallar ( f ° g )( 1 2 ) y ( f ° g )(3)
5
ex si x≤ 1
8 - Sea f ( x) =
− x+ e+ 1 si x> 1
a) Graficar la función f e indicar dominio y recorrido de la misma.
b) Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva . Justificar
c) Investigar si f es invertible, en caso de no serlo restringir dominio y/o
codominio para que lo sea de modo que estos sean lo mas “grandes” posibles.
−1
d) Con el dominio y codominio hallados en c) hallar f
x + 2 x + 5
2
si x≤ 0
9 - Sea f : R → R f ( x) = 2
− x + 1 si x> 0
a) Graficar f
b) Probar que f no es biyectiva.
c) Restringir el dominio y/o el codominio (manteniéndolos lo mas grandes posible)
de forma que sea biyectiva
d) Hallar la función inversa de f (con el dominio y el codominio obtenido en la
parte c))
− ( x + 1) 2 si x < − 1
10 - Sea f : R → R f ( x) =
L( x + 2) si x ≥ − 1
i) Graficar f y analizar si es biyectiva . Si no lo fuera restringir dominio y
codominio para transformarla en invertible.
ii) Hallar la inversa
−1
iii) Graficar f
iv) Sea g ( x) = e x − 3 calcular ( g ° f )(0) , ( g ° f − 1 )(0) y ( f − 1 ° g )(0)
5
x 2 − 3x + 1 si x≤ 0
12 - Sea la función f : R → R f ( x) = donde a ∈ R
− x+ a si x> 0
e x − 1 si x≤ 1
13 - Sea f : R → R f ( x) = 2
x − 2 x + 2 si x> 1
e) Graficar f
f) Probar que f no es biyectiva.
g) Restringir el dominio y/o el codominio (manteniéndolos lo más grandes posible)
de forma que sea biyectiva
h) Hallar la función inversa de f (con el dominio y el codominio obtenido en la
parte c)
i) Graficar f − 1
ex si x≤ 1
14 - Sea f ( x) =
− x+ e+ 1 si x> 1
e) Graficar la función f e indicar dominio y recorrido de la misma.
f) Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva . Justificar
g) Investigar si f es invertible. En caso de no serlo restringir dominio y/o
codominio para que lo sea de modo que estos sean lo más “grandes” posibles.
−1
h) Con el dominio y codominio hallados en c) hallar f
L x − 1 si x< 0
15 - Sea f : R → R f ( x) = x
− e + 1 si x≥ 0
i) Graficar y analizar si es inyectiva y/o sobreyectiva. Justificar.
ii) ¿Es f invertible? En caso negativo restringir dominio y/o codominio para
que lo sea
−1
iii) Hallar f y graficarla.
5
x2 − 1
16 – a) Hallar el dominio de f ( x ) =
x2 + x
x+ 1 si x≤ 1
b) Dada la función g ( x) =
a + Lx si x> 1
c) Hallar ( f ° g ) ( − 3) y ( g ° f ) ( 1)
5
2.6 Funciones Trigonométricas.
Falta aclarar que la unidad de medida que utilizaremos para medir la cuerda es el radián,
unidad que hace que el perímetro de nuestra circunferencia de radio 1 sea 2π radianes.
Como podemos ver en la figura, cada arco x se corresponde con un ángulo θ por lo
que el ángulo de 360° corresponde al arco 2π , 180° corresponde a π y así
sucesivamente.
A partir de estas dos funciones definiremos una tercera función que llamaremos
sen ( x )
tangente definida de la siguiente forma tg ( x ) =
cos ( x )
Es así que usando las definiciónes y haciendo algunos cálculos en triángulos
particulares podemos llegar a la siguiente tabla con algunos de los valores más sencillos
5
x cos x senx tgx
0 1 0 0
π 3 1 1
6 2 2 3
π 1 1 1
4 2 2
π 1 3 3
3 2 2
π 0 1 ∃
2
π -1 0 ´ 0
3π 0 -1 ∃
2
2π 1 0 0
cos x
-1
6
sen x
-1
tg x
Propiedades
1) − 1 ≤ senx ≤ 1 y − 1 ≤ cos x ≤ 1
2) sen ( x + 2kπ ) = senx y cos ( x + 2kπ ) = cos x ∀ k ∈ Z (enteros)
3) cos ( − x ) = cos x y sen ( − x ) = − sen ( x )
4) sen 2 x + cos 2 x = 1
Inversas Trigonométricas
Si observamos las tres gráficas podemos observar que ninguna de las tres funciones es
inyectiva, ya que hay rectas horizontales que cortan en más de un punto (más
precisamente hay rectas horizontales que cortan en infinitos puntos en los tres casos).
En cuanto al recorrido en el caso de las funciones sen x y cos x es el intervalo [ − 1,1]
mientras que el de la función tg x es todo R . Por lo que si tomamos a las tres
funciones como funciones de R → R solo tg x es sobreyectiva.
6
Pero como ya hemos visto con otras funciones restringiendo adecuadamente el dominio
y codominio podemos lograr que sean biyectivas y por lo tanto invertibles.
En el caso de cos x la tomaremos como función de [ 0, π ] → [ − 1,1] de esta forma la
función es biyectiva (dibuje la grafica y verifique este resultado) y tiene inversa. A la
función inversa la llamaremos Ar cos x función que irá de [ − 1,1] → [ 0, π ] y cuya
grafica podemos obtener simetrizando la de cos x respecto a la recta y = x
(procedimiento visto para obtener la gráfica de cualquier inversa).
π π
Con sen x lo tomaremos como función de − , → [ − 1,1] y a la función inversa
2 2
π π
la llamaremos Arsen x función que irá de [ − 1,1] → − , .
2 2
π π
Y finalmente a la función tg x la tomaremos como función de − , ÷ → R y a la
2 2
π π
función inversa la llamaremos Artg x función que irá de R → − , ÷ .
2 2
Lista de ejercicios 6
1- Dibujar las funciones cos x , sen x y tg x con las restricciones que las hacen
invertibles.
2- Dibujar Ar cos x , Arsen x y Artg x
3- Calcular utilizando la tabla y el círculo trigonométrico los siguientes valores:
3π
sen ÷ 3π 3π 3π π π
2 , cos 2 ÷ , sen 4 ÷ , cos 4 ÷ , sen − 4 ÷ y cos − 4 ÷
4- Calcular utilizando la tabla y el círculo trigonométrico los siguientes valores:
Arsen ( 0 ) , Ar cos ( 0 ) , Artg ( 0 ) , Arsen ( 1) , Ar cos ( 1) , Artg ( 1)
− x 2 si x < 0
5- Sea f : R → R f ( x) =
Arctg x si x ≥ 0
a) Graficar y analizar si es inyectiva y/o sobreyectiva. Justificar.
b) ¿Es f invertible? En caso negativo restringir dominio y/o codominio para que
lo sea
−1
c) Hallar f y graficarla.
6
3 Límites de funciones
3.1 Introducción a límites
En muchas ocasiones nos interesa analizar que ocurre con el comportamiento de una
función al “acercarnos” a un determinado punto. En algunas oportunidades
observaremos que a medida que los valores de nuestra variable x se “acercan” a un
valor a sus correspondientes f ( x ) se “acercan” a otro valor L lo que indicaremos
diciendo que lim f ( x ) = L . Veamos algunos ejemplos:
x→ a
Ejemplo 3.1.1
− x2 + 4
Sea la función f ( x ) = , podemos observar que la función no existe en x = 2 o
x− 2
lo que es lo mismo 2 no pertenece al dominio de la función. Sin embargo en cualquier
otro punto “cercano” al 2, la función existe por lo que tiene sentido preguntarse : ¿Qué
ocurre con la función a medida que x se “acerca” al 2?. Para esto podemos hacer una
tabla con valores de x cercanos al 2 e ir hallando sus correspondientes f ( x )
x f ( x)
1,9 -3,9
1,95 -3,95
1,99 -3,99
2,1 -4,1
2,01 -4,01
6
Ejemplo 3.1.2
x2 + 2 si x> 0
Sea f ( x ) =
− x− 1 si x≤ 0
Queremos analizar que ocurre con la función cuando nos “acercamos” al 0 o más
precisamente queremos analizar qué ocurre con el lim x→ 0
f ( x) . Observemos que en este
caso, a diferencia del ejemplo anterior , la función sí existe en 0 y vale –1. Pero como
ya observamos antes, lo que nos interesa es analizar que ocurre cuando nos
“acercamos” al 0. En este caso nos encontramos con una función que tiene una
expresión para los valores menores que 0 y otra distinta para los mayores que 0, por lo
que estudiemos por separado que ocurre cuando nos acercamos a 0 por valores
menores, y que ocurre con valores mayores.
x< 0 f ( x) = − x − 1
-0,1 -0,9
-0,01 -0,99
-0,001 -0,999
Como podemos deducir a partir del cuadro, los f ( x ) se “acercan” al -1 a medida que
nos “acercamos” al 0 por valores menores que 0. En la recta cuando representamos a
los números reales los valores menores que 0 están a la izquierda del 0 por lo que en
lugar de decir que nos “acercamos” al 0 por valores menores que 0 diremos que x
tiende a 0 por la izquierda y lo notaremos x → 0− . Resumiendo podemos concluir que
lim− f ( x) = − 1 .
x→ 0
Analicemos ahora que ocurre cuando nos “acercamos” al 0 por valores mayores a 0
x> 0 f ( x) = x 2 + 2
0,1 2,01
0,01 2,0001
0,001 2,000001
Con un razonamiento análogo al anterior concluimos que xlim f ( x) = 2 y esto se lee
→ 0+
6
Ejemplo 3.1.3
1
Sea la función f ( x) = . Es claro que la función no existe en x = 0 pero sí existe en
x
cualquier otro valor de x por mas próximo que esté del 0. Por lo que tiene sentido
preguntarnos que ocurre con el límite lim f ( x) . Veamos un cuadro de valores de esta
x→ 0
función.
x> 0 f ( x)
0,1 10
0,01 100
0,001 1000
0,0001 10.000
Veamos que cuando más nos “acercamos” al 0 por valores mayores que 0, más grandes
son sus correspondientes. Es más, podemos ver que acercándonos lo suficiente al 0 sus
correspondientes superaran cualquier número que nos propongamos por más grande que
este sea. Cuando esto ocurra diremos que la función tiende a más infinito cuando
x → 0+ y lo notaremos xlim f ( x) = + ∞ .
→ 0+
Algo similar ocurre con valores menores que 0
x< 0 f ( x)
- 0,1 -10
- 0,01 -100
- 0,001 - 1000
- 0,0001 - 10.000
En el caso de “acercarnos” al 0 por valores menores que 0 los correspondientes son cada
vez más “chicos” . Y en este caso por más “chico” que sea el número que nos
propongamos, los f ( x ) serán aún más chicos si tomamos valores de x < 0 lo
suficientemente cerca de 0. Por lo que diremos que lim− f ( x ) = − ∞ .
x→ 0
Veamos estos resultados en la gráfica de esta función
6
Ejemplo 3.1.4
Sea f ( x ) = x 2 − 3 . En este caso no queremos analizar qué ocurre cuando x tiende a un
número concreto a sino que queremos ver qué ocurre a medida que x toma valores
cada vez más grandes. Es decir, queremos analizar qué ocurre con el xlim→ +∞
f ( x) .
x f ( x)
100 9997
1000 999.997
10.000 99.999.997
Observemos por otra parte que si consideramos los valores opuestos de x sus
correspondientes son los mismos, ya que al elevar al cuadrado nos dará positivos por lo
que también concluimos que xlim f ( x) = + ∞ . Esto lo podemos ver en su gráfica
→ −∞
Ejemplo 3.1.5
Sea f ( x ) = − x 2 + 3x + 2 . Queremos analizar qué ocurre con el lim
x→ 1
f ( x) . Empecemos
por observar que f (1) existe y vale 4 , aunque como ya observamos en el ejemplo 1.1.2
esto no es garantía de que exista el límite. Sin embargo, si observamos su gráfica
podemos concluir que efectivamente a medida que x se “acerque” a 1 su
correspondiente f ( x ) se “acerca” a 4
6
Observaciones importantes a partir de estos ejemplos:
Es decir que el límite de la función coincidió con la función en el punto. Esto como ya
observamos, no tiene porqué ocurrir, pero saber de antemano que una función se
comporta de este modo nos facilita mucho el cálculo de un límite. Daremos como cierto
que tanto las funciones polinómicas como la exponencial , logarítmica y trigonométricas
tienen esta característica en todos los puntos de sus respectivos dominios.
Ejemplo 3.2.1
Queremos calcular el siguiente límite lim x 2 + 2 x − 5 . Primero observemos que nos
x→ 1
encontramos ante una función polinómica por lo que el resultado del límite coincide
con su valor en 1 es decir que lim x + 2 x − 5 = 1 + 2.1 − 5 = − 2
2 2
x→ 1
6
i. Tablas de operaciones con límites
f g f +g
A B A+B
A ±∞ ± ∞ (regla de signos)
+∞ +∞ + ∞ (regla de signos)
-∞ -∞ -∞
-∞ +∞ Indeterminado
f g f .g
A B A.B
A≠ 0 ±∞ ∞ (regla de signos)
±∞ ±∞ ∞ (regla de signos)
±∞ 0 Indeterminado
f g f
g
A B≠ 0 A
B
A≠ 0 0 ∞ (regla de signos)
±∞ B ∞ (regla de signos)
A ±∞ 0
0 0 Indeterminado
±∞ ±∞ Indeterminado
6
Si observamos la gráfica de la función exponencial podremos concluir la tabla
correspondiente.
x ex
a ea
−∞ 0
+∞ +∞
x L( x)
a> 0 L(a )
0+ −∞
+∞ +∞
Ejemplo 3.2.2
2− x
Calcular lim Empecemos por observar que la función es un cociente de
x→ 4 x + 3
Ejemplo 3.2.3
2− x
Calcular lim . La función es la misma del ejemplo anterior, pero ahora el
x→ − 3 x + 3
6
2− x
Es decir que el lim− = − ∞ ya que a la izquierda del –3 el denominador es negativo
x→ − 3 x + 3
gráfica.
Ejemplo 3.2.4
Calcular lim L x 2 − 3 x + 2 . Observemos que cuando x → 2 el polinomio x 2 − 3 x + 2
x→ 2
ii. Indeterminaciones
Como vimos en los ejemplos anteriores, las tablas de límites en muchos casos nos
indican directamente cual es el resultado del límite. Sin embargo, si revisamos estas
tablas, en algunos casos indican que el mismo es “indeterminado”. En estos casos
tendremos que afinar el ingenio y aprender algunas técnicas para terminar resolviendo el
límite. Veamos algunos ejemplos y técnicas para “levantar” indeterminaciones.
Ejemplo 3.2.5
x 2 − 3x + 2
Calcular lim Observemos que estamos ante un cociente de polinomios y
x→ 2 − x2 + 4
tanto el numerador como el denominador tienden a 0 cuando x → 2 . Por lo que si
miramos la tabla del cociente es un caso indeterminado. Observemos que 2 es raíz de
los dos polinomios por lo que si escribimos su descomposición factorial podremos
simplificar y así levantar la indeterminación.
⇔ x = 1 o x = 2 de donde x − 3x + 2 = 1. ( x − 2 ) . ( x − 1)
2
x 2 − 3x + 2 = 0
⇔ x = − 2 o x = 2 de donde − x + 4 = − 1. ( x − 2 ) ( x + 2 )
2
− x2 + 4 = 0
lim
x 2 − 3x + 2
= lim
( x − 1) ( x − 2 ) = lim ( x − 1) = − 1
sustituyendo en el limite x → 2 x→ 2 − ( x + 2) ( x − 2) x→ 2 − ( x + 2)
−x + 4
2
4
7
Ejemplo 3.2.6
x3 − 4 x 2 + 2 x + 1
Calcular lim Al igual que en el caso anterior, estamos ante una
x→ 1 2 x 2 − 3x + 1
indeterminación 0 sobre 0. En este caso, en lugar de hacer la descomposición factorial
utilizaremos el esquema de Ruffini.
1 −4 2 1
1 1 −3 −1
1 −3 −1 0
2 −3 1
1 2 −1
2 −1 0
x3 − 4 x 2 + 2 x + 1 ( x − 1) . ( x 2 − 3x + 1) x 2 − 3x + 1
Por lo que lim = lim = lim = −1
x→ 1 2 x 2 − 3x + 1 x→ 1 ( x − 1) . ( 2 x − 1) x→ 1 2x − 1
3.2.4 Equivalentes
Definición – Diremos que dos funciones f ( x ) y g ( x ) son equivalentes en x = a ⇔
f ( x)
lim = 1 . Y lo notaremos f ( x) x → a g ( x)
x→ a g ( x)
Ejemplo 3.2.7
Sea f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 4 y g ( x ) = 2 x 2 . Queremos probar que estas dos funciones son
f ( x)
equivalentes en + ∞ . Para esto debemos calcular xlim → + ∞ g ( x)
y nos tiene que dar 1
2 x2 − 3x + 4 2 x 2 3x 4 3 2
lim = lim − + = lim 1 − + 2 =1
x→ + ∞ 2x 2 x→ + ∞ 2 x 2
2x 2
2x 2 x→ + ∞ 2x x
0 0
7
Se puede probar siguiendo el procedimiento de este ejemplo que cualquier polinomio va
a ser equivalente a su término de mayor grado cuando x → ± ∞ es decir que
an x n + an − 1 x n − 1 + .... + a1 x + a0 an x n
x→ ± ∞
Veamos ahora un teorema que nos indicará para que puede ser útil hallar un
equivalente de una función.
Teorema
Sean f ( x ) x → a g ( x) ⇒ lim f ( x).h( x) = lim g ( x).h( x)
x→ a x→ a
Esto quiere decir que si nos encontramos ante el límite de un producto y nos resulta
conveniente cambiar uno de los factores por un equivalente, lo podemos hacer y esto no
altera el resultado . Lo mismo ocurre si en lugar de un producto tenemos un cociente.
Ejemplo 3.2.8
2 x2 − 3x + 3
Queremos calcular el siguiente límite lim . Si analizamos a qué tiende el
x→ + ∞ x+ 2
numerador y el denominador veremos que nos encontramos ante una indeterminación
de tipo ∞ sobre ∞ . Para levantar dicha indeterminación observemos que se trata de
polinomios y nuestra variable tiende a + ∞ por lo que cada uno de ellos es equivalente a
su término de mayor grado, por lo que si aplicamos el teorema nos queda:
2 x2 − 3x + 3 2 x2
lim = lim = lim 2 x = + ∞ .
x→ + ∞ x+ 2 x→ + ∞ x x→ + ∞
Ejemplo 3.2.9
− x2 + 9
Calcular lim 3 . Al igual que en el ejemplo anterior es una indeterminación de
x→ − ∞ x − x
Veamos otros equivalentes que pueden resultarnos útiles para el cálculo de límites.
eu − 1 u L ( z ) ( z − 1)
u→ 0 z→ 1
sen ( u ) u u2
u→ 0
1 − cos ( u )
u→ 0 2
7
Ejemplo 3.2.10
Calcular ( 1
)
lim ( 2 x − 3) e x − 1 . Lo primero es observar que estamos ante una
x→ − ∞
1
indeterminación de tipo ∞ por 0. Por otro lado veamos que lim = 0 por lo que el
x x→ − ∞
(
1
) 1
lim ( 2 x − 3) . e x − 1 = lim ( 2 x ) . = 2 .
x→ − ∞ x→ − ∞ x
Ejemplo 3.2.11
L ( x 2 − x + 1)
Calcular lim . En este caso estamos ante una indeterminación de tipo 0
x→ 0 3x
sobre 0. Podemos observar que lim x 2 − x + 1 = 1 por lo que el numerador es una función
x→ 0
del tipo del segundo equivalente de donde, aplicando el teorema, nos queda:
L ( x 2 − x + 1) (x 2
− x + 1) − 1 x2 − x x. ( x − 1) x− 1 1
lim = lim = lim = lim = lim = −
x→ 0 3x x→ 0 3x x→ 0 3x x → 0 3x x → 0 3 3
f ( x)
2) Si xlim = 0 diremos que ord ( f ) < ord ( g )
→ +∞ g ( x)
f ( x)
3) Si xlim = L ≠ 0 diremos que ord ( f ) = ord ( g )
→ +∞ g ( x)
7
De comparar las gráficas podemos llegar a la siguiente tabla de órdenes:
Ejemplo 3.2.12
L ( x2 )
Calcular lim .Primero observemos que se trata de un cociente de dos
x→ + ∞x3
funciones que tienden a + ∞ por lo que es indeterminado. Pero el cuadro nos dice que
el denominador es de mayor orden que el numerador por lo que estamos en el caso 2) de
L ( x2 )
nuestra definición lo que nos permite concluir que lim = 0
x→ + ∞ x3
Ejemplo 3.2.13
Calcular xlim
→ 0+
xLx . Si bien podemos observar que esta situación también es
indeterminada hay diferencias importantes respecto al caso anterior. Primero que no se
trata de un cociente de infinitos cosa que es fácil de arreglar planteando el mismo límite
Lx
lim+
de la siguiente forma x → 0 1 . Pero la otra diferencia es que nuestra variable x → 0+
x
y no a + ∞ , como tiene que ocurrir para poder usar nuestra tabla de ordenes. Para
resolver está segunda diferencia debemos hacer un cambio de variable. Si tomamos
1
z= podemos observar que si x → 0+ entonces z → + ∞ . De donde llegamos a que
x
1
L ÷
Lx − Lz y ahora si podemos utilizar la tabla y la definición de
= lim = lim
z
lim+
x→ 0 1 z→ + ∞ z z→ + ∞ z
x
órdenes para concluir que el limite da 0.
Teorema
Sean f y g tales que lim f ( x ) = lim g ( x ) = + ∞ y ord ( f ) > ord ( g ) ⇒ ( f ± g)
x→ + ∞
f
x→ + ∞ x→ + ∞
Para demostrar que dos funciones son equivalentes tenemos que probar que el límite de
su cociente es 1 .
f ( x) ± g ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
lim = lim ± = lim 1 ± = 1 Observe que para la última
x→ + ∞ f ( x) x→ + ∞ f ( x ) f ( x ) x→ + ∞ f ( x)
f ( x)
igualdad simplemente usamos que como ord ( f ) > ord ( g ) ⇒ xlim = 0
→ +∞ g ( x)
7
Ejemplo 3.2.14
3x
lim
x + L ( x2 )
Calcular x→ + ∞ . Primero observemos que se trata de un cociente de dos
funciones que tienden a + ∞ por lo que es indeterminado. Luego podemos ver que el
denominador está en las hipótesis de nuestro teorema por lo que concluimos que
3x 3x
x + L ( x 2 ) x y esto nos permite calcular el limite xlim = lim = 3
x→ + ∞ → + ∞ x + L( x )
2 x → + ∞ x
Lista de ejercicios 7
x2 − 3 x2 − 9 si x ≤ − 3
a) lim lim
b) x → − 3 f ( x ) siendo f ( x ) =
x→ 2 x + 1
− x− 3 si x > − 3
1
c) lim g ( x) siendo g ( x) = x + 1 si x≤ 1 d) lim
x
x→ 1 x→ − 3 x − 9
2
x2 + 1
si x> 1
− x+ 1 x 2 − 3x + 2 x+ 2
e) lim f ) lim g) lim
x→ 2 x 2 − 4 x→ − 1 x+ 2 x→ 1 x − 3x + 2
2
81 − x 2 12 x + 8 − x 2 + 5x + 2
1) lim 2) lim 3) lim
x → .− 9 9 + x x → .− ∞ − 4x x → .+ ∞ x− 2
x2 − 1 x− 1− 1 1 6
4) lim 5) lim 6) lim − 2
x → .1 ( x − 1) 2 x → .0 x x → .3 x − 3 x − 9
L( 1 + x ) x + 1 x. L( x − 2 ) − x.L( x + 1)
1) lim 2) xlim x. L 3) xlim
→ +∞
x→ 0 x → +∞ x
ex − 1 2x
4) lim 5) xlim e − 1 . x
x→ 0 2 x → +∞
7
4 Resolver los siguientes límites:
1 lim+
1 sen ( x )
1) xlim
→ π sen ( x )
− 2) π cos ( x ) 3) lim
x→
2
x→ 0 x
1 1
4) lim x 2 .sen ÷ 5) xlim x 2 1 − cos ÷ ÷
x→ + ∞
x → +∞
x
1) lim 2
2 x 2 − 3x x2
2) lim x 3) xlim e − x .L ( x 2 )
x → + ∞ x − Lx x→ + ∞
e → +∞
4) lim x 2 .L ( x 3 ) 5) lim
x2
x→ 0 x→ − ∞ e− x
Capítulo 4 Continuidad
En el ejemplo 3.1.5 del capítulo anterior nos encontramos con una función que tenía la
particularidad de cumplir que lim f ( x) = f (1) . Es decir que el límite de la función
x→ 1
cuando x → 1 coincide con la función en 1. Cuando esto ocurra diremos que la función
es continua en x = 1 .
Definición 4.1
Diremos que una función f es continua en un punto a si y solo si lim f ( x) = f ( a)
x→ a
Ya vimos en el capítulo anterior que saber de antemano si estamos ante una función
continua nos facilita mucho el cálculo del límite, ya que el resultado del mismo
coincide con el valor de la función en el punto.
7
Algunos resultados importantes:
Ejemplo 4.1
x2 − x
Sea la función f ( x ) = . Observemos que se trata de un cociente de polinomios y
− x+ 1
el denominador no se hace 0 en x = 2 por lo que podemos aplicar el resultado iv) y
concluir que estamos ante una función continua en x = 2 por lo que
x 2 − x 22 − 2
lim = = − 2 . Es importante observar que otra sería la historia si x → 1 ya
x→ 2 − x + 1 − 2+ 1
que el denominador valdría 0 y no podríamos utilizar el resultado iv) . Por otra parte
x = 1 no pertenece al dominio de esta función por lo que es claro que no es continua en
1.
Ejemplo 4.2
Sea ahora f ( x ) = L ( x − 2 x + 1) . Esta función la podemos mirar como compuesta de
2
Ejemplo 4.3
1
f ( x ) = e . Esta función la podemos mirar como compuesta de f ( x) = e
x
Sea ahora x
1
con g ( x ) = por lo que utilizando varios de los resultado anteriores podemos concluir
x
1 1
que es continua –1 por lo que lim e x = e − 1 = e − 1 Al igual que en los ejemplos
x→ − 1
anteriores veamos que g no es continua en 0 por lo que esta técnica para calcular
límites no serviría .
7
Como se ve a partir de estos ejemplos, los resultados vistos sobre la continuidad nos
permitirán resolver varias situaciones. Sin embargo, nos encontraremos con otras en las
que tendremos que utilizar la definición para responder a la pregunta de si una función
es o no continua en un punto.
Ejemplo 2.4
x 2 + x si x≤ 1
Sea f ( x ) = 2 ¿Es f continua en x = 1 ?
x> 1
x si
i) Veamos que existe la función en el punto f (1) = 12 + 1 = 2
ii) Para calcular el límite tendremos que discutir por derecha e izquierda
lim− f ( x) = lim− x 2 + x = 2 2
y lim+ f ( x) = lim+ = 2
x→ 1 x→ 1 x→ 1 x→ 1 x
Ejemplo 2.5
L x2 + 1
si x≠ 0
Sea f ( x ) = 2 x ¿Es f continua en x = 0 ?
1 si x = 0
i) La función existe en el punto f (0) = 1
L x2 + 1 x2 x
ii) Existe el límite lim f ( x) = lim = lim = lim = 0
x→ 0 x→ 0 2x x → 0 2x x → 0 2
iii) Sin embargo no dieron iguales es decir x → 0 lim f ( x ) = 0 ≠ 1 = f (0) por lo que
debemos responder que f no es continua en 0
7
Lista de ejercicios 8
1 – Analizar si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:
x+ 3
a) f ( x) = en x = − 2
x− 2
x− 2
b) f ( x) = L en x = 3
x+ 1
x2 + 2 si x≤ 0
c) f ( x) = e 2 x − 1 en x = 0
si x> 0
x
x− 3 si x≤ 2
d) f ( x) = L x 2 − 3 en x = 2
si x> 2
− x+ 2
x2 − x + 2 si x< 0
e) f ( x) = 3 si x= 0 en x= 0
3x − 1 si x> 0
sen ( 3x )
si x < 0
f) f ( x ) = x Hallar b sabiendo que f es continua en x = 0
2 x + b si x ≥ 0
7
Problemas propuestos en revisiones y exámenes
3x 2 − 4 x − 4 3x 2 − 4 x − 4 2 x2 − x + 2
i) lim ii) lim+ iii) lim
x→ 2 − 2 x2 + x + 6 x→ − 1 − 2 x2 + 2x + 4 x→ − ∞ − 4x + 6
x.e − x − x si x< 0
2 x 2
b) Sea f ( x) =
x− 1 si x≥ 0
2
Analizar si f es continua en 0
a) Calcular
( x + 5) L ( x 2 + x − 1)
2- lim
x→ 1 x + 7x − 8
2
e− x+ 1 − 1
b) Calcular lim
x→ 1 x− 1
e− x+ 1 − 1
x− 1 si x≤ 1
c) Dada f ( x ) =
( x + 5 ) L ( x + x − 1)
2
si x> 1
x2 + 7 x − 8
Analizar si f es continua en x = 1
L ( 1 − x ) si x < 1
3- Sea la función f ( x ) = 4 x − x2
e si x ≥ 1
i) Estudiar continuidad de f en 1
ii) Hallar lim f ( x ) y lim f ( x )
x→ + ∞ x→ − ∞
x2 + x − 2
4- a) Calcular lim
x→ − 2 − x2 − 2x
L x2 + 2x + 1
b) Calcular lim
x→ − 2 x+ 2
x + x− 2 2
si x < − 2
− x − 2 x
2
x+ 2
8
2 x+ 2
5- a) Calcular lim .L
x→ 0 x 2− x
4 x 2 − 11x − 3
b) Calcular lim
x→ 3 2 x2 − 5 x − 3
x+ 3 1
+ x+ si x ≤ 0
x− 2 2
c)Sea f ( x ) = Analizar si f es continua en 0
2 x+ 2
.L si x > 0
x 2− x
4 x 2 − 11x − 3
si x> 3
d) Sea g ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 Analizar si f es continua en 3
x+ 1 si x≤ 3
x −1 2
e + x+ 2 si x< 2
x− 1
ii) Dada la función f ( x ) = 4 si x= 2
3x 2 − 4 x − 4
si x> 2
2x − 4
Analizar si es continua en x = 2 .
8
Respuestas de algunos ejercicios de los prácticos
Lista de ejercicios 1
Ej 2 0
f
a) sg 1 - - - - - - + + + + + +
-2
0
b) sg f 2 + + + + + + + - - - - - - - - -
1/3
0 0
c) sg f 3 - - - + + + + + - - - - -
3/2 5
0 0 0
d) sg f 4 + + + - - - - + + + + - - - -
0 1 3
Ej 3 a) y = 2 x b) y = − x + 1 c) y = 2 x + 5 d) y = − 3 x + 4
Ej 4 a) (1,5) b) (2,-1) c) (1,4)
Ej 5 y = 3x − 4
Ej 6 a) C ( x) = 22.000 + 8 x I ( x) = 25 x U ( x) = 17 x − 22.000
b) U (10.000) = 148.000 c) 1294
Ej 7 a) U ( x ) = 10 x − 5.000 b) 500 c) 45.000 y 5.000
Ej 8 para más de 800 unidades da ganancia y para menos de 800 da pérdida
Ej 9 a) 373 b) Es ventajosa si vende más de 466 unidades
Lista de ejercicios 2
Ej 1 0
Sg f1 + + + + + + + + +
1
0 0
sg f2 - - - + + + - - - -
1 3
0 0
sg f 3 + + + + + - - - - + + + +
− 3 3
0 0
sg f 4 - - - - + + + + - - - - - -
-2 2
0 0
sg f 5 + + + + + - - - - - - + + + + +
-3 0
0 0
sg f 6 - - - - + + + + + - - - - - - -
-6 -1
8
Ej 2 0 0 0
Sg f1 - - - - + + + - - - - + + + +
0 1 6
0 0 0
sg f2 - - - + + + - - - - + + + +
-3 -2 2
0
sg f 3 + + + + + + - - - - - - - -
2
0 0 0
sg f 4 - - - - - + + + + + + - - - - -
-5 -1 1
Ej 3 a) y = x 2 − 2 x + 3
b) y = − x 2 + 3 x + 1
c) y = − x 2 + 4 x + 3
Ej 4 a) los puntos (1,1) y (2,4)
b) los puntos (-1,1) y (2,7)
Ej 5 a) I ( p) = 300 p − 3 p 2 b) p = 50 y I (50) = 7.500
Ej 8 i) O( p ) = p 2 − 100 p ≥ 10 ii) 300
iii) 30 iv) 25 v) p > 25
Ej 9 a) p (t ) = 12.000 − 200t b) I (t ) = 12.000t − 200t 2
c) 6000 , 30 , 180.000
Ej 10 a) I (t ) = ( 60 − 0, 6t ) . ( 80 + t ) b) el 11 de diciembre
Lista de ejercicios 3
Ej 1 b) f (− 1) = 5 f (1) = 3 f (2) = 4
Ej 2 b) -1 y 3/2
Ej 3 a = 3 y b = 4
Ej 4 a = 1 y b = − 3
Ej 5 a) i) 200 ii) 180 iii) 170
200 x si x< 6
b) f ( x) = 180 x si 6 ≤ x ≤ 15
170 x si x > 15
Lista de ejercicios 4
Ej 1 a) { x ∈ R , x > 5 / 2} b) { x ∈ R , x ≤ − 1} ∪ { x ∈ R , x ≥ 5}
c) { x ∈ R , − 2 < x < 1} ∪ { x ∈ R , x > 2} d) { x ∈ R , x ≤ 3}
e) { x ∈ R , x < 2} ∪ { x ∈ R , x ≥ 6} f) { x ∈ R , − 2 < x ≤ 1} ∪ { x ∈ R , x ≥ 3}
g) { x ∈ R , 0 < x < 1} h) { x ∈ R , − 1 < x ≤ 1}
8
4
Ej 2 a) 5 y –1 b) 1 y 2 c) x = −
3
4
d) 2 y − e) − 1 < x < 4 f) { x ∈ R , x ≥ 3} ∪ { x ∈ R , x ≤ − 1}
3
g) { x ∈ R , − 2 ≤ x ≤ 1 } h) { x ∈ R , x < − 1} ∪ { x ∈ R , x > 1}
2
Ej 3 a) R − − 1, − b) R − { − 3} c) R − { − 3, 0}
3
Ej 4 a) ( − ∞ ,3] b) ( − ∞ , − 2] ∪ [ 2, + ∞ ) c) ( − ∞ ,1) ∪ ( 2, + ∞ )
d) [ − 3, − 1) ∪ ( − 1,1) ∪ ( 1, + ∞ ) e) ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( − 2, 2 / 3]
Lista de ejercicios 5
Ej 1 a) biyectiva b) no es inyectiva ni sobreyectiva c) biyectiva
d) inyectiva pero no sobreyectiva e) sobreyectiva pero no inyectiva
Ej 2 b) f : [ 1, + ∞ ) → ( − ∞ ,1] d) f : R → ( − ∞ , 2] ∪ ( 4, + ∞ )
e) f : ( − ∞ , − 2] ∪ ( 0, + ∞ ) → R
Ej 3
Ej 1 a) C A ( x ) = 3x CB ( x ) = 200 + 2 x c) op A d) op B e) 200 km
Ej 3 i) C A ( x ) = 500 + 2 x CB ( x ) = 1200 + x
iii) si x < 700 conviene A si x = 700 da lo mismo y si x > 700 opción B
Ej 5 a) C ( x ) = 6000 + 3 x I ( x) = 9x U ( x ) = 6 x − 6000
b) 1000 unidades c) C2 ( x ) = 4000 + 3,5 x I ( x ) = 9 x U 2 ( x ) = 5,5 x − 4000
d) x < 4000 conviene mano de obra a destajo y si x > 4000 conviene con maquina
8
Cap 1-3 Funciones Cuadráticas
Ej 4 i) O ( x ) = x − x − 6
2
ii) a = 4
Ej 5 a) O ( x ) = x − 4 b) O ( 6 ) = 32 c) d ( x ) = − x + 16
2
Ej 6 a) d ( p ) = p − 50 p + 625 b) a = 2 , q ( p ) = 2 p + 70
2
1 2 3 1 5
Ej 7 i) O ( p ) = p − p + 1 ii) d ( p ) = − p + iii) PE = ( 3,1)
2 2 2 2
Ej 10 a) g ( x ) = − x + 4 x − 3 b) ( g ° g ) ( 0 ) = − 24 ( g ° g ) ( 1) = − 3
2
c) Dom ( f ) = { x ∈ R ,1 < x ≤ 3}
1 1
Ej 12 a) p ( x ) = − 2 x + 6 x − 5 b) − ≤ x≤ 3 c) Dom ( f ) = − , 0 ÷ ∪ ( 0,3]
2
2 2
Bibliografía