FUNCIONES REALES

Objetivos de aprendizaje:
Comprende los conceptos de relación y función reconociendo a su vez si una relación
corresponde a una función.
Identifica diferentes tipos de funciones mediante sus notaciones y gráficas.
Determina el dominio y codominio de funciones reales, utilizando sus procesos y gráficas.
Indicadores de logro:
Demuestra seguridad al resolver operaciones con funciones, determina el dominio, codominio
y grafica de la función resultante.
Realiza con precisión y creatividad la gráfica de una función determinando el dominio y
codominio.
Resuelve situaciones del contexto aplicando los procesos de las funciones reales, correctamente.

Joven estudiante, ahora iniciaremos el estudio de funciones

reales. Es de vital importancia realizar un estudio detallado del
siguiente material, practicando el mismo y realizando
investigación complementaria de ser necesario.
Debes tener presente que solo se aborda una primera sección del
tema.

1.1. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN

La idea de correspondencia desempeña un papel fundamental en la formulación del concepto
de función. Algunas experiencias con correspondencia en la vida son por ejemplo:
A cada persona le corresponde una edad
A cada artículo en un supermercado le corresponde un precio.
A cada automóvil le corresponde un número de placa.
A cada círculo le corresponde un área.
A cada número le corresponde su cubo.

Uno de los aspectos más importantes en cualquier ciencia (administrativa, de la vida social,
física, computación, entre otras) es el establecimiento de correspondencias entre varios
tipos de fenómenos. Una vez que se conoce una correspondencia se pueden hacer
predicciones. Por ejemplo, un químico puede utilizar la ley de los gases para determinar la
presión de un gas, dada su temperatura. Un ingeniero puede usar una fórmula para predecir
las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas. Un científico de la computación
puede usar fórmulas para ordenar datos almacenados en una computadora.

¿Qué tienen los ejemplos anteriores en común? Cada uno describe la relación de los elementos de un
conjunto con los elementos de un segundo conjunto.

Observe las siguientes tablas, las cuales contienen una lista de valores para el cubo, el
cuadrado y la raíz cuadrada de un número respectivamente.

TABLA 1 TABLA 2 TABLA 3

Dominio Codominio Dominio Codominio Dominio Codominio
(número) (cubo) (número) (cuadrado) (número) (raíz cuadrada)
−2 −8 −2 0 0

−1 −1 −1 4 1 1
−1
0 0 0 1
4 2
1 1 1 0 −2

2 8 2 9 3
−3
Las tablas 1 y 2 especifican funciones, pero la tabla 3 no. ¿Por qué? A continuación, se
explicará el concepto de función.
Producto cartesiano

Sean A y B dos conjuntos, el conjunto 𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑥 , 𝑦) ∕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑦 ∈ 𝐵} se le llama producto

cartesiano. Los elementos del conjunto reciben el nombre de par ordenado.

Abordemos conceptos importantes,

ejemplos y datos históricos acerca de
las funciones reales.

1.2. RELACIÓN

Definición: Una relación es un conjunto de pares ordenados de números reales. Al conjunto

de los primeros elementos de los pares se le llama dominio de la relación y al conjunto de los
segundos elementos se le llama rango de la relación.

Nota: Rango, recorrido, codominio, conjunto de imágenes significan lo mismo

Ejemplo: El conjunto de pares de números {(2 , 6) , (4 , 12) , (5 , 15) , (7 , 21)} define una
relación. El conjunto {2 , 4 , 5 , 7} es el dominio y el conjunto {6 , 12 , 15 , 21} es el rango.

Nota: Una relación se puede representar por medio de una ecuación.

1.3. FUNCIÓN

Definición: Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde
un único elemento del rango. Es decir, el conjunto de los pares ordenados no puede contener
dos pares diferentes con el mismo primer elemento.

Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Otra forma de visualizar y

comprender el concepto de
función es ver este como una «caja
negra», que transforma los valores
u objetos de “entrada” en los
valores u objetos de “salida”.

Ejemplos:

1. {(1 , 5) , (2 , 6) , (3 , 7) , (4 , 8)} define una función, pues no hay dos pares con el
primer elemento igual.
2. {(2 , 4) , (2 , 5) , (3 , 4) , (3 , 5)}no define una función, pues hay pares diferentes con
el mismo primer elemento.
3. Observe el diagrama:
Se representa el conjunto de pares {(1 , D),
(2 , B) , (2 , C)}, no define una función.

Justificación:

El 2 es el primer elemento en más de un par

ordenado, (2 , B) y (2 , C), de dicho conjunto.
conjunto.

Otra razón, es que 3 y 4 no son primeros

elementos (entrada) de ningún par ordenado en
el conjunto.
 4. Podemos pensar en una función como una máquina de refrescos o de dulces que
tiene valores de entrada y valores de salida.

1.4. DATOS HISTÓRICOS

El concepto de función como un objeto matemático independiente, apareció en los

inicios del cálculo, esto en el siglo XVII.

René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función

como dependencia entre dos cantidades variables.

En particular Leibniz fue el primero en utilizar los términos «función», «variable»,

«constante» y «parámetro».

Los primeros en emplear la notación 𝒇(𝒙) fueron el francés Alexis Claude Clairaut, y

el suizo Leonhard Euler en su obra Commentarii de San Petersburgo en 1736.

Ampliando lo expuesto anteriormente, en la historia de la Matemática se le dan

créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función y

por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus

derivadas e integrales.

Hay que resaltar que el concepto de función nació con las primeras relaciones

observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la

Matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.

1.5. TIPOS DE FUNCIONES
A continuación, se presenta la clasificación de las funciones reales:

Constante
Polinomiales Idéntica
Algebraicas Lineal
Cuadrática
FUNCIONES
Racional
Irracional

Trigonométricas
Trascendentes Exponencial
Logarítmicas

1.5.1. FUNCIONES ALGEBRAICAS

“Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión
algebraica”.
Dentro de las funciones algebraicas tenemos:

a. Funciones polinomiales
Llamamos a una función polinomial de grado n a aquella que tiene la forma:
𝑛
𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 en donde n es un entero positivo.

Dentro de las funciones polinomiales están:

a.1. Función constante
Es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐, donde 𝑐 es una constante. La gráfica que se origina es
una línea recta paralela al eje 𝑥.
El dominio de la función constante son todos los números reales (ℝ), o sea: 𝐷𝑜𝑚 = ℝ
El codominio o rango consta solo del número real c, es decir, 𝑅𝑎𝑛 = {𝑐 }
Ejemplo 1:
Para la función 𝑓 (𝑥 ) = 3, su dominio es el conjunto de todos los números reales y su rango es
la constante 3.
Gráfica
𝐷𝑜𝑚 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 = 3

Tabla de valores

𝒙 -3 0 4

𝒇(𝒙) 3 3 3

Ejemplo2:
Determine el dominio y codominio o rango de la función que se indica. Grafique.

3
𝑓 (𝑥 ) = −3 4
Solución
3
Si 𝑓 (𝑥 ) = −3 entonces: Gráfica
4

𝐷𝑜𝑚 = ℝ
15
𝑅𝑎𝑛 = − = −3,75
4

Tabla de valores

𝒙 -2 2 5

𝒇(𝒙) −3,75 −3,75 −3,75

 a.2. Función idéntica
La función identidad tiene como propiedad, que a cada valor 𝑥 del dominio le corresponde el
mismo valor en el codominio, por lo cual este sería ℝ”. La gráfica de esta función es la recta
que pasa por el origen.
Esta función es: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥

𝐷𝑜𝑚 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 = ℝ

Tabla de valores

𝒙 −2 2 5

𝒇(𝒙) −2 2 5

a.3. Función lineal

Es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 𝑏 equivale a la
intersección con el eje y. La gráfica que se origina es una línea recta, si 𝑚 es positiva la
recta se inclina hacia la derecha y si 𝑚 es negativa la recta se inclina hacia la izquierda. El
dominio y el codominio es el conjunto de los números reales (ℛ).
Ejemplo: La siguiente gráfica muestra la función 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1. En ella se deduce que su
dominio y codominio son respectivamente:
Observe que la intersección con el eje 𝑦 es
en 𝑏 = −1 y su pendiente 𝑚 = 2. De allí,
es relativamente fácil confeccionar su
gráfica. Aún así, presentamos la tabla de
valores.

Recuerde que la ecuación de la línea recta

en la forma punto-pendiente es: 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑏

Tabla de valores

𝒙 −1 0 2

𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝒇(𝒙) −3 −1 3
𝑅𝑎𝑛 = ℝ
Cálculos auxiliares
𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1 para 𝑥 = −1 ; 𝑥=0 ; 𝑥=2
𝑓 (−1) = 2(−1) − 1 = −2 − 1 = −3
𝑓 (0) = 2(0) − 1 = 0 − 1 = −1
𝑓 (2) = 2(2) − 1 = 4 − 1 = 3

Ejercicio propuesto # 1:
Grafique la siguiente función. Indique además el dominio y el rango de la misma.
𝟏
𝒇 (𝒙 ) = 𝟐 𝒙 + 𝟒 Presente los cálculos y la tabla de valores o el análisis de la línea recta
correspondiente.

Ejemplo adicional:
1
Determine el dominio y codominio de la función 𝑓 (𝑥 ) = − 3 𝑥 − 5
Solución y gráfica
Realizando el análisis de la línea recta que describe la función

Observe que la intersección con el eje y es

en -5 y su pendiente es negativa, esta se
inclina a la izquierda.

Esto es:

𝑏 = −5
1
𝑚=−
3

𝐷𝑜𝑚 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 = ℝ

a.4. Función cuadrática

Es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números reales. La gráfica de la
función cuadrática es una curva llamada parábola.
La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable. El dominio es ℝ y el
codominio dependerá de donde se encuentre el vértice y de la concavidad de la parábola.
El vértice está dado por: 𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏2
𝑉 = (− , )
2𝑎 4𝑎

Para encontrar la coordenada 𝑦 del vértice es bastante práctico evaluar la función para el
valor de la coordenada de 𝑥 encontrada.

𝐷𝑜𝑚 = ℝ
Si a es mayor que cero, la parábola abre hacia arriba; su codominio será: 𝑅𝑎𝑛 =
4𝑎𝑐−𝑏2
[ , ∞)
4𝑎
y si a es menor que cero, la parábola abre hacia abajo; su codominio será: 𝑅𝑎𝑛 =
4𝑎𝑐−𝑏2
(−∞, ]
4𝑎
Ejemplo:
Determine el dominio y codominio de la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
Solución:
Para la obtención del vértice de la parábola se aplica la fórmula:
𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏2
𝑉 = (− , )
2𝑎 4𝑎
Observe que a partir de la forma estándar de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se deduce que:
𝑎 = 1; 𝑏 = 2; 𝑐=1
2 4(1)(1) − (2)2
𝑉 = (− , ) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
2(1) 4(1)
2 4−4
𝑉 = (− , ) 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠
2 4
𝑽 = (−𝟏, 𝟎) 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠

También se puede evaluar la coordenada de 𝑦 en el vértice empleando el valor obtenido en

la coordenada 𝑥 de la siguiente forma:
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑓 (−1) = (−1)2 + 2(−1) + 1
=1−2+1
=0
 Solo se ha de presentar una parte del
Tablas de valores (reemplazar x en f(x) procedimiento de evaluación de los
x −3 −2 −1 0 1 puntos para la gráfica, el resto de ellos
podrá revisarlos usted.
f(x) 4 1 0 1 4
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑓 (−3) = (−3)2 + 2(−3) + 1
=9−6+1
=4

𝐷𝑜𝑚 = ℝ

𝑅𝑎𝑛 = [0 , ∞)

b. Función racional
𝑝(𝑥)
Es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑞 (𝑥) , donde 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son polinomios y 𝑞(𝑥) ≠ 0. La función
racional no está definida para valores de 𝑥 en el cual 𝑞(𝑥) se hace diferente de cero, este valor al
representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por
la asíntota.
El dominio o rango es {𝑥 ∈ ℝ: 𝑞(𝑥) ≠ 0} y el codominio se analiza por medio de la gráfica de la
función.
Ejemplo:
Determine el dominio y codominio de la siguiente función. Realice su representación gráfica.
𝑥+1
𝑓 (𝑥) =
𝑥−1
Solución
Observe que x−1≠0
Luego despejando 𝑥 ≠ 1
𝑫𝒐𝒎 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ 𝟏}
Para obtener el codominio:
Se iguala la función en términos de y, despejando la x.
𝑥+1
𝑦 = 𝑥−1 Igualando

𝑦(𝑥 − 1) = 𝑥 + 1 Despejando
𝑥𝑦 − 𝑦 = 𝑥 + 1 Realizando el producto indicado
𝑥𝑦 − 𝑥 = 𝑦 + 1 Realizando transposición de términos
𝑥(𝑦 − 1) = 𝑦 + 1 Factorizando
𝑦+1
𝑥 = 𝑦−1 Despejando

Luego 𝑦 − 1 ≠ 0
𝑦≠1 Realice los cálculos auxiliares,
𝑹𝒂𝒏 = {𝒚 ∈ 𝑹: 𝒚 ≠ 𝟏}
remplazando el valor seleccionado
de x en f(x))

Tablas de valores (reemplazar x en f(x)) 𝑥+1

𝑓 (𝑥) =
𝑥−1
x −1 0 2 3
−1 + 1 0
𝑓 (−1) = = =0
f(x) 0 −1 3 2 −1 − 1 −2
 Es el momento de
aprender haciendo

PRÁCTICA
Transcribe a tu cuaderno y desarrolla la siguiente actividad.
En los siguientes problemas determine el dominio y rango de la función indicada. Trace
además su gráfica. Identifique el tipo de función. Realice las tablas de valores respectivas
y los cálculos auxiliares.
1
1) 𝑓 (𝑥 ) = −6 3

2) 𝑓 (𝑥 ) = −2𝑥 + 11
1
3) 𝑓 (𝑥 ) = 4 𝑥 + 3

4) 𝑓 (𝑥 ) = 9
𝑥+2
5) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥−2
5
6) 𝑓 (𝑥 ) = 4𝑥+1

7) 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 4
8) 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 2 + 6𝑥
1
9) 𝑓 (𝑥 ) = − 𝑥 2 − 𝑥 + 4
2
 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

 Leithold, Louis. EL CÁLCULO. Oxford University Press. Séptima Edición. México. 1998.

 Barnett, R. ; Ziegler, M.; Byleen, K. y PRECÁLCULO. GRÁFICAS Y FUNCIONES. McGraw-

Hill. México. 1999.

 Sullivan, Michael. Algebra y Trigonometría. Pearson Educación. México 2006.

 Stewart, Redlin, Watson (2012). Precálculo, Matemáticas para el cálculo. Sexta Edición. ISBN:
978 – 607 – 481-826-0