Calculo Vectorial Unidad 4 Asces
Calculo Vectorial Unidad 4 Asces
Calculo Vectorial Unidad 4 Asces
ndice
INTROCUCCIN..02
PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA...03
JUSTIFICACIN.......03
OBJETIVOS...04
4. Funciones Reales de Varias Funciones
4.1. Definicin de una funcin de varias variables...05
4.2. Grafica de una funcin de varias variables....07
4.3. Curvas y Superficies de nivel....08
4.4. Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretacin
geomtrica......09
4.5. Derivada direccional...11
4.6. Derivadas parciales de orden superior...13.
4.7. Incrementos diferenciales y regla de la cadena....15
4.8. Derivacin parcial implcita....17
4.9. Gradiente..18
4.10. Campos vectoriales.19
4.11. Divergencia rotacional, interpretacin geomtrica y fsica..20
4.12. Valores extremos de funciones de varias variables. ...22
CONCLUSIONES..23
BIBLIOGRAFA..24
2
Introduccin
En esta investigacin de la unidad 4 llamada funcin de varias variables veremos como
se maneja sus diferentes temas y subtemas.
En el primer tema veremos la definicin de funcin de varias variables, veremos cmo es
su comportamiento mediante las funciones mediante R veremos rangos y graficaciones
del mismo nota importante es.
Veremos en la forma en que estas funciones de varias variables como se grafican
veremos cmo se desenvuelven en el entorno de las grficas, veremos significados de
esas grficas y mtodos de graficacion o modelos.
Cabe mencionar que veremos cmo se ejecuta el trabajo de curvas y superficies de nivel
las cuales tendremos con sus definiciones veremos la importancia en la cual se utilza
estos mtodos y su entorno,
Aprenderemos a realizar derivadas parciales y en su interpretacin geomtrica de estas
mismas veremos algunas frmulas y formas de realizar estas derivadas utilizadas en el
rea de clculo multivariable.
Dedicaremos tiempo en las derivadas direccionales para aprender cmo es su
funcionamiento tal como se maneja estas derivadas y sus modos de tomar ejecucin
Por otro lado tambin veremos las derivadas parciales de modo superiores, formulas
ejemplos y modos de ejecucin aprenderemos sus definiciones y sus modos de
aprendizaje sobre este tema.
Veremos definiciones el tal como incrementos, diferenciales y veremos la regla de la
cadena veremos de que consta cada una de estas y sus modos de trabajo y formulacin
y procedimiento de realizacin.
Veremos las derivaciones en el modo implcito como es que se manejan este tipo de
derivadas y sus modos de realizacin entre las derivadas que ya hemos visto y como es
que se utilizan.
Realizaremos la verificacin de tema gradiente como trabaja con vectores y dems reas
y tipos de derivadas como se ejecuta y veremos ejemplos para aprender cmo funciona.
En el tema de campos vectoriales veremos cmo se utiliza para observar mejor algunas
especificaciones y como es que se puede definir mejor puntos y diferentes reas de
trabajo.
Veremos los temas de divergencia rotacional y la interpretacin geomtrica y fsica como
es la frmula de rot formula de div y modo geomtrico de estos mismos.
Veremos el teorema de mx.-min sobre valores extremos de varias variables. Y como se
grafica un mximo y el mnimo en una funcin o ejercicio.
3
Justificacin
Interpretar, reconstruir y aplicar modelos que representan fenmenos de la naturaleza
en los cuales interviene ms de una variable continua, en diferentes contextos de la
ingeniera.
Planteamiento del problema
Identificar las variables presentes en un problema.
Relacionar varias fuentes de informacin a la vez.
Reconocer y definir un problema.
Analizar fenmenos naturales
Sintetizar informacin.
Descubrir los datos relevantes.
Combinar diferentes enfoques o puntos de vista.
Proyectar imgenes en el espacio.
Inferir y deducir principios.
Razonar analgicamente.
Generar hiptesis.
Disear medios para verificar hiptesis.
Establecer relaciones virtuales
Pensar crticamente.
Desarrollar pensamiento lgico matemtico.
4
Objetivos
Conocer los principios y tcnicas bsicas del Clculo en Varias Variables para
interpretar y resolver modelos que representan fenmenos de la naturaleza en los
cuales interviene ms de una variable continua.
5
4.1 Definicin de una funcin de varias variables
En esta seccin se introduce otro importante concepto: las funciones de varias variables.
Se introduce tambin el concepto de derivacin parcial.
Conceptos muy tiles en las aplicaciones. Se ha visto la gran utilidad de las funciones en
la descripcin de los diferentes fenmenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha
considerado solamente funciones de una variable funciones de una variable:
Funciones cuyos valores, que sern nmeros reales dependern de ms de una variable
Por ejemplo recordaremos que una funcin : AB del conjunto del conjunto A al
conjunto B es una regla que se asocia a cada uno del elemento a A un elemento y solo
a uno bien determinado
b B, llamado imagen de abajo y escrito como b= (a).
El conjunto A es el dominio de el conjunto de B es su contra dominio y en el conjunto
formado por todas las imgenes de es su rango
Rango de = {b B|b= (a), a A}
Ahora vamos a considerar funciones cuyas imgenes son tambin nmeros reales pero
cuyo dominio ser un subconjunto de espacio
Es decir funciones del tipo C
f y (
0
,
0
) = lim
0
(
0
,
0
+) f(
0
,
0
)
Y representa la razn de cambio de z y las direcciones x y y, es decir, en las direcciones de vectores
unitarios i y j
El plano vertcal que pasa por P en la direccin de u corta a S en una curva C
La pendiente de la recta tangente T a C en P es la razn de cambiar de Zen la direccin de U
contra a S en una curva C
La derivada direccional de f en f en ( x0 , y0 ) en la direccin de un vector unitario u = a, b es f ( x0
+ ha, y 0 + hb) f ( x0 , y0 ) DU f ( x0 , y 0 ) = Lm h 0 h Si este lmite existe. Si comparamos la
defnicin anterior con la defnicin 1, vemos que si u = i = 1,0 , entonces, Di f = f x y si u = j = 0,1 ,
entonces D j f = f y .
En otras palabras, las derivadas parciales de f con respeto a x y y son slo casos partculares de
la derivada direccional. Cuando se calcula la derivada direccional de una funcin defnida por
una frmula generalmente se emplea el siguiente teorema : Teorema: Si f es una funcin
diferenciable de x y y, entonces f tene una derivada direccional en la direccin de cualquier
vector unitario u = a, b y
DU f ( x, y) = f x ( x, y)a + f y ( x, y)b
Ejemplo:
U=<a,b>=<cos,sen>
12
Ejercicio:Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones
a) f(x; y) = x
y
, (x
0
; y
0
) = (e; e), d = 5i + 12
a) Recordando que D
u
f(x
0
) = Vf(x
0
)u, debemos hallar el gradiente de la funcin y un
vector unitario en la direccin dada.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
e e e
e e y y x y x y
x y x y
y
x
y
x y y
e e e e e f e e f
e e e e f x x x
x
y
e x e
x
y
e
y
e
x
e
y
e
x
x
y
x
x
y x f
13
17
13
12
;
13
5
; ) ; ( ) ; (
13
12
;
13
5
12 5
) 12 ; 5 (
; ) ; ( log ; log ;
; ; ; ) ; (
2 2
log log
log log log log
= |
.
|
\
|
= V =
|
.
|
\
|
=
+
= =
= V
|
.
|
\
|
=
|
.
|
\
|
=
=
|
|
.
|
\
|
c
c
c
c
=
|
|
.
|
\
|
c
c
c
c
=
|
|
.
|
\
|
c
c
c
c
= V
u D
d
d
u
u
13
4.6 Derivadas parciales de orden superior.
si f es una funcin de dos variables entonces sus derivadas parciales fx y fy son tambin
funciones de0 es coincidencia sus derivadas parciales y que reciben el nombre se
Segundas derivadas parciales de F
Una derivada parcial de una funcin de diversas variables, es su derivada respecto a una
de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son
tiles en clculo vectorial y geometra diferencial.
La derivada parcial de una funcin f respecto a la variable x se representa con cualquiera
de las siguientes notaciones equivalentes:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresin que nos permite obtener la pendiente
de la recta tangente a dicha funcin A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano
formado por el eje de la incgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analticamente el gradiente de una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en
la direccin que se elija. Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente
nos indica hacia donde hay mayor variacin en la funcin.
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Ejemplo:
Eliminando el trmino que da 0/0 o n/0, tenemos:
lim
x 0
x
2
+ 2xAx + Ax
2
xy Axy + 2 y
2
x
2
+ xy 2 y
2
=
Ax
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0 2
x +
Ax y = 2x
y
En efecto
f
x
= 2x y
Ejercicio:
2xAx + Ax
2
Axy
=
Ax
Ax(2 x + Ax y)
=
Ax
15
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.
- Incrementos y diferenciales:
Para una funcin y = f(x), definimos el diferencial dx como una variable independiente,
capaz de tomar cualquier valor real. As tenemos:
dy = f dx
. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximacin lineal a la funcin en las
cercanas del punto de tangencia, aproximaremos esta diferencia con la diferencia sobre
la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la funcin en el punto.
- Regla de la Cadena:
La regla de la cadena para funciones de una sola variable nos ayuda a derivar funciones
compuestas (funcin de una funcin).
Si y = f(x) y x = g(t); y f y g son funciones diferenciables, entonces y = f(x) es
indirectamente una funcin de t.
- Regla de la cadena Caso 1:
Suponga que z = f(x, y) es una funcin diferenciable en donde x = g(t) y y = h(t) son
funciones diferenciables en t. Entonces:
dz
=
cf dx
+
cf dy
dt cx dt cy dt
Es claro que
dz
representa la razn de cambio de z con respecto a t, cuando el punto (x,
dt
y) se mueve a lo largo de la curva C con ecuaciones paramtricas, x = g(t) y y = h(t).
- Regla de la cadena Caso 2:
Suponga que f(x, y) es una funcin diferenciable de x y y donde x = g(s, t) y y = h(s, t)
son funciones diferenciables de s y t.
cz
=
cz cx
+
cz cy
cs cx cs cy cs
cz
=
cz cx
+
cz cy
ct cx ct cy ct
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Ejemplo:
Ejercicio:
17
4.8 Derivacin parcial implcita.
dy
=
cF
cx
=
F
x
dx
cF
F
y
cy
cz
=
cx
cF
cx
cF
cz
cz
=
cy
cF
cy
cF
cz
Estas funciones satisfacen nuestras necesidades para derivar funciones implcitas de
varias variables, pero, NO es necesario memorizarlas. Recomendamos derivar la
funcin con cuidado y despejar la razn de cambio que necesitemos.
La regla de la cadena para las variables en la ecuacin conduce a una frmula que
elimina la mayor parte del trabajo de diferencia implcita suponga que para hallar la
derivada en forma implcita no es necesario despejar y basta con derivar miembro a
miembro utilizando las reglas de derivacin y teniendo presente que x'=1 en general
y'1 para que se omite x y dejamos y
Si queremos hallar la derivada para esta ltima ecuacin, lo hacemos despejando y,
As, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fcilmente:.
El mtodo sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuacin. El
problema es que si no se logra despejar y, es intil este mtodo. Por ejemplo, Cmo
hallar dy/dx para la ecuacin x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difcil despejar y como
funcin explcita de x.
Ejemplo:
x'=1.
En general y'1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
6x-2y=0
6-2y=0 y=3
Ejercicio:
18
4.9 Gradiente.
Del teorema 3 que la derivada direccional se puede escribir como el producto de dos
vectores
u
El primer vector en este producto punto se presenta no slo al calcular las derivadas
direccionales, sino tambin en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre
especial, Gradiente de , y una notacin especial (grad o tambien , que se lee
"el gradiente de " )
En clculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial que
indica en cada punto del campo escalar la direccin de mximo incremento del mismo. El
gradiente se representa con el operador diferencial seguido de la funcin
Ejemplo:
Ejercicio:
Determinar la derivada direccional de la funcin en el punto dado en direccin que indica
el ngulo
en el punto y siendo
Entonces, partiendo de:
Obtenemos:
19
4.10 Campos vectoriales.
Un campo vectorial es una funcin que asigna un vector a cada punto del plano o del
espacio tridimensional .Un ejemplo de un campo vectorial es el gradiente de una funcin f
(x,y); en cada punto (x,y) apunta en la direccin de mxima rapidez de aumento de f.En
esta seccin veremos otros campos vectoriales que representan velocidades y fuerzas.
CAMPOS DE FUERZA
Otra cantidad fsica representada por un vector es una fuerza. Cuando experimento una
fuerza, a veces esta resulta de un contacto directo con el objeto que ejerce la fuerza, tales
fuerzas se pueden representar mediante campos
vectoriales.
Un campo vectorial en dos dimensiones es una funcin
f(x,y) cuyo valor en el punto (x,y) es vectorial
bidimensional. De la misma manera, un campo vectorial
en tres dimensiones es una funcin f(x, y, z) cuyos
valores son vectores tridimensionales.
Como un campo vectorial es una funcin que asigna un
vector a cada punto, con frecuencia un campo vectorial,
puede ser expresado por una formula.
Un campo vectorial es una construccin del clculo
vectorial que asocia un vector a cada punto en el
espacio eucldeo, de la forma .
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la fsica para, por ejemplo, modelar la
velocidad y la direccin de un lquido mvil a travs del espacio, o la intensidad y la
direccin de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagntica o la gravitatoria, pues
cambian punto a punto.
20
4.11 Divergencia, rotacional, interpretacin geomtrica y fsica.
Rotacional y divergencia
Cada operacin se asemeja a la derivacin pero una de ellas genera un campo vectorial,
mientras el otro un campo escalar.
Rotacional Es un vector que indica cun curvadas estn las lneas de campo o de fuerza
en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un
rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa regin las lneas de campo
son rectas
Matemticamente, esta idea se expresa como el lmite de la circulacin del campo
vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aqu, S es el rea de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El
resultado de este lmite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su
componente segn la direccin normal a S y orientada segn la regla de la mano
derecha. Para obtener el rotacional completo debern calcularse tres lmites,
considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Divergencia Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en
qu direccin las lneas de campo se encuentran ms separadas entre s, o sea la
direccin hacia donde disminuye la densidad de lneas de campo por unidad de volumen.
El mdulo de la divergencia indica cunto disminuye dicha densidad. La divergencia
puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto.
Donde S es una superfcie cerrada que se reduce a un punto en el lmite. El smbolo representa
el operador nabla.
Esta defnicin est directamente relacionada con el concepto de fujo del campo. Como en el caso
del fujo, si la divergencia en un punto es positva, se dice que el campo posee manantales. Si la
divergencia es negatva, se dice que tene sumideros
Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtene a partr de la
divergencia de
21
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el fujo a travs del teorema de Gauss o
teorema de la divergencia.
Aplicaciones en fsica
El Gradiente posee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente en
electromagnetismo y mecnica de fluidos. En particular, existen muchos campos
vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.
Uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva del potencial elctrico
Ejemplo:
) Resulta:
Para coordenadas esfricas ( ) resulta
Ejercicio:
Determinar la divergencia
22
4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.
Teorema mximo-mnimo
Una funcin que es continua en todo punto de un intervalo cerrado tiene un mximo y un
mnimo absoluto en el intervalo. Siempre se buscan estos valores al hacer la grfica de
una funcin, y se ver la importancia que tiene en la resolucin de problemas y en el
desarrollo de cada integral.
El punto es un punto de mximo absoluto y local para la funcin definida por:
Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo
local bajo el supuesto de que la funcin tiene derivadas parciales respecto a cada variable
definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la funcin sea
diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les
denomina puntos estacionarios.
Mximos y mnimos restringidos
Un problema restringido de optimizacin Tiene la formaMaximiza (o minimiza) f(x, y,. . . )
sujeta a restricciones.Las restricciones estn en forma de ecuaciones o en forma de
restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar
una de las variables de las ecuaciones de restriccin, para despus sustituirla en f, y
despus ubicar el mximo (o mnimo) de la funcin que resulta. En casos en los que el
dominio R de la funcin resultando tiene una frontera, tenemos tambin ubicar los
extremos de f cuando se est restringido a la frontera.
Ejemplo:
Grafica de un punto mximo y uno mnimo.
Ejercicio:
Encontrar el mximo y el mnimo
X=f(x)
23
Conclusiones
Para esta investigacin fue necesario contar primero con una investigacin
basada en libros y enciclopedias todo esto para alcanzar a comprender los temas y tener
una mayor perspectiva del trabajo final ,das de investigacin basados en calculo
vectorial y funcin real de varias variables todo esto para alcanzar una buena
participacin y buen aprendizaje .
Todo lo investigado fue resumido entre las cosas ms importantes y resaltadas
de cada uno de los temas de nuestra unidad para hacer el buen uso del aprendizaje y
llevar a cabo una buena disciplina en el rea de clculo.
Hoy en da cabe mencionar que en nuestra rea de ingeniera es bueno estar
lleno de plenos conocimientos basados en las matemticas para ir acelerando el
funcionamiento y rapidez de nuestro capacidad de aprendizaje y lgica matemtica.
En algunos temas cabe resumir que era necesario aadir una serie de
procedimiento y ejemplos para poder llegar a lograr una buena relacin de aprendizaje en
nuestra materia calculo vectorial, cabe mencionar que para un buen modelo de
aprendizaje va basado en conocimientos como imgenes , textos ,ejercicios.
Todo es necesario resaltar que en esta investigacin fue buscado lo mas
importante de cada tema lo mas importante para que uno pueda tener el buen
entendimiento y reconocimiento de cada uno de los temas todo esto para que tenga un
amplia variedad de ideas.
Al final de esta unidad es importante solidificas aspectos como lo son
Identificar las variables presentes en un problema.
Relacionar varias fuentes de informacin a la vez.
Reconocer y definir un problema.
Analizar fenmenos naturales.
Sintetizar informacin.
Descubrir los datos relevantes.
24
Bibliografa
Libros:
Calculo de varias variables, Autor willianG. Mc CAllum 1ra edicin, editorial continental SA
de CV
Clculo multivariable, Autor: James Stowart, 4a edicin, Editoria Thomson learning,
Mxico 2002.
Clculo Vectorial, Autor: Claudio Pita Ruis, 1ra edicin, Editorial: Pearson Education,
Mxico 1995.
Internet:
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
http://es.scribd.com/doc/45507268/4-1-Definicion-de-una-funcion-de-varias-variables
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_parciales#Derivadas_Parciales