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Algebra y Geometría Analítica Unidad 6: Números Complejos

Unidad 6: NUMEROS COMPLEJOS

 Definición

Si se considera al conjunto de números reales IR y se desea resolver la ecuación x2 + 1= 0, se

observa que es necesario ampliar el conjunto numérico ya que la misma no tiene solución en él,
es decir, no existe ningún número real x tal que x2 = -1, pues el cuadrado de todo número real es
mayor o igual a cero. En general cualquier ecuación de la forma x2 + a = 0, con a >0 , no posee
solución en IR. En este sentido para poder realizar la radicación de números reales negativos se
ampliará el campo de los números reales con nuevos entes, denominados números complejos.

Por definición un número complejo es un par ordenado (a, b) de números reales. Al conjunto de
todos los números complejos se lo denomina C, y por su definición se puede observar que
C = IR x IR, es decir C = { (a, b) / a ∈ IR ∧ b ∈ IR }. Las propiedades de la suma, producto y
potencias de números reales, serán válidas también para los números complejos.

 Forma de par ordenado de un número complejo

Un número complejo z se lo designa por su forma de par ordenado:

z = (a, b)

en el cual a se denomina “parte real del complejo” y b es otro número real denominado “parte
imaginaria del complejo”.

Igualdad de números complejos

Sean z = (a, b) y z’ = (c, d) dos números complejos dados en forma de par ordenado, se dice que
z = z’ si y solo si a = c y b = d.

Suma de números complejos en forma de par ordenado

Se define la suma de números complejos como la operación binaria interna, tal que:

+ : CXC  C
((a, b), (c, d))  ( a + c, b + d)
Propiedades

1
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Conmutativa
(z) ( zC) (w) ( wC): z + w = w + z

Asociativa
(z) ( zC) (w) ( wC) (x) ( xC): ( z + w ) + x = z + (w + x)

Elemento neutro
(  e) ( e  C) (z) ( zC): z + e = e + z = z

e = (0,0)

Elemento opuesto
(z) ( zC) (  z’) ( z’C): z + z’ = z’ + z = e

Por ejemplo: si z = (-2, 3) entonces z’ = (2,-3)

Multiplicación de números complejos en forma de par ordenado

Se define la multiplicación de números complejos como la operación binaria interna, tal que:

● : CXC  C
((a, b), (c, d))  ( ac - bd, ad + bc)

Propiedades

Conmutativa
(z) ( zC) (w) ( wC): z ● w = w ● z

Asociativa
(z) ( zC) (w) ( wC) (x) ( xC): ( z ● w ) ● x = z ● (w ● x)

Elemento neutro
(  e) ( e  C) (z) ( zC): z ● e = e ● z = z

e = (1,0), se lo denomina complejo unidad

Ejercicio 1
Dados los complejos z = (-2, 3) y w = ( 4, -8) en forma de par ordenado, determina:
a) 4z + w
b) z.(3w)
c) ½.(z + 6w)

Ejercicio 2
Demuestra porque el complejo unidad e = (1,0), es el elemento neutro en la multiplicación.

2
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Se denomina unidad imaginaria y se designa con i al complejo (0,1), este número complejo
satisface la relación
i= 1

o lo que es lo mismo
i2 = -1

pues i2 = (0,1).(0,1) = (0.0 -1.1, 0.1+1.0) = (-1, 0)

Como existe una correspondencia biunívoca entre los números complejos de la forma (x, 0) y los
números reales x, es que se puede deducir que:

i2 = (-1, 0) = -1

i3 = i2. i = - i

i4 = i2 . i2 = ( -1).(-1) = 1

i5 = i4. i = 1.i = i

i6 = i5. i = i. i = i2 = -1

Así sucesivamente se repite el ciclo cada cuatro potencias de i. Por ejemplo, si se quiere
encontrar i45, se divide 45 por 4, obteniendo como cociente 1 y resto 5, luego i45 = i5 = i.

En general se verifica que: i 4k+r = i 4, con k y r enteros.

Ejercicio 3
Determina la solución para los siguientes cálculos:
a) i34 + i46
b) (i87)12
c) i135. i230

Representación gráfica de números complejos en forma de par ordenado

Por la definición de C, como el conjunto de todos los pares ordenados de números reales, se
puede representar gráficamente a un número complejo z = (a, b) en un sistema de ejes
cartesianos:

3
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IR

b ●z = (a, b)

a IR

Cada punto del plano representa un número complejo z = (a, b) y recíprocamente cada número
complejo z se representa por un punto del plano complejo.

Ejercicio 4
Representa gráficamente el número complejo z, en los siguientes casos:
a) z = (-2, 3) . (4,5)
b) z = i567+ (-1, 0)
c) z= [i.(3,5) – i.(5,3)]

 Forma binómica de un número complejo

Los complejos de la forma (0, b) se llaman imaginarios puros, pues:

b.i = (0, b). (0,1) = (b.0 - 0.1, b.1 + 0.0) = (0, b)

El complejo imaginario (0, b) es igual al producto del número real b por la unidad imaginaria i,
más aún como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi, resulta que todo complejo de la forma (a, b) se
puede escribir en la forma a + bi , que se denomina forma binómica de un número complejo, se
puede escribir como:

(a, b) = a + bi

Es decir, como la suma del número real a mas el producto del número real b por la unidad
imaginaria i, también se llama forma normal del complejo y es más útil a la hora de realizar otras
operaciones con números complejos.

Por ejemplo, si se quiere encontrar la potencia (a, b)3, es más fácil realizar los cálculos
escribiendo al complejo en su forma binómica:

(a, b) 3 = ( a + bi )3 = a3 + 3a2bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = a3 + 3a2bi - 3ab - bi

Suma de números complejos en forma binómica

Se define la suma de números complejos como la operación binaria interna, tal que:

4
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+ : CXC  C
((a+ bi), (c+di) )  ( a +c ) + ( b+ d)i)

Es decir, si z = (a+bi) y w = (c+di) , luego z + w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) +(b+d)i

Producto de números complejos en forma binómica

Se define la multiplicación de números complejos como la operación binaria interna, tal que:

● : CXC  C
((a+ bi), (c+di) ) ( a.c – b.d) + (a.d+ b.c)i

Es decir, si z = (a+bi) y w = (c+di) , luego z . w = (a+bi) . (c+di) = a.c + a.di + b.ci + bi.di =
a.c + (a.d+ b.c)i + b.d i2 = a.c + (a.d+ b.c)i - b.d =(a.c – b.d) + (a.d+ b.c)i

Ejercicio 5
Siendo z= (-2, 5) y w = 4+6i, calcula en forma binómica:
a) 5z - 6w
b) 4z.w3
c) z2. (w-3z)

Complejo conjugado

Dado el complejo z = (a, b) = a + bi, se denomina complejo conjugado z’ = (a, -b) = a - bi, en el
cual la parte imaginaria posee signo opuesto al del complejo dado. También se puede
representar al conjugado de un complejo por z = a – bi.

Dos complejos conjugados caracterizan dos puntos simétricos respecto del eje horizontal:

z = (a, b)

Z = (a, -b)

Propiedad

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real.

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Demostración

Si se considera a un número complejo en su forma binómica z = a + bi y su complejo conjugado

z = a – bi, se realiza el producto z. z = (a + bi). ( a - bi ) = a2 + abi- abi + b2 = a2 + b2
Luego z. z = a2 + b2, que es un número real.

Esta propiedad facilita el cálculo de cocientes de números complejos dados en forma binómica,
en efecto se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, y la
operación se reduce a dividir un numero complejo por un número real.

Propiedad

La suma de dos números complejos conjugados es igual al duplo de la parte real.

Demostración

z + ( z ) = ( a + bi ) + ( a – bi ) = ( a + a ) + ( b + ( -b ) )i = 2a+ 0i = 2a = 2 Re(z)

Ejercicio 6
Demuestra las siguientes proposiciones:
a) Si z = a+bi es un número real sí y sólo sí z  z .
b) Si z = a+bi es un número complejo sí y sólo sí z   z .
c) Para cualquier número complejo z se cumple que: z.z  z 2

Cociente de números complejos en forma binómica

Sean los números complejos z = (a+bi) y w = (c+di) dados en forma binómica , el cociente entre
a  bi (a  bi) (c  di) (ac  adi  bi c  bidi)
z y w será igual a z : w = (a+bi) : (c+di) = = = =
c  di (c  di) (c  di) c2  d 2
(ac  bd ) (bc  ad )i
 2 .
c2  d 2 c d2

Ejercicio 7
Siendo los números complejos z = 3-5i, w = (0, -1) y x = i345, calcula en forma binómica:
a) z : 8x
b) –z : w2
c) x3. (1/3z : w)

Ejercicio 8
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con números complejos:

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 3  3i x  iy  4  2i 4  i x   2  3i  y  2
a)  b) 
4  2i x  4  i y  4i  6  4i x  3iy  2i

Coordenadas polares

Un vector w del plano puede determinarse por sus coordenadas polares, es decir w = (ρ, φ), en
donde ρ se denomina módulo y φ su argumento, que es el ángulo determinado por su dirección
y el eje positivo.

w = (ρ, φ)
ρ

 Forma polar de un número complejo

Para el complejo w = a + bi, su representación en forma polar es w = (ρ, φ), en donde su módulo
b
ρ= a 2  b 2 y su argumento φ = arctg( ).
a

b w = (ρ, φ)
ρ

φ
a

Ejemplos

Si w = (1, 0) = 1+ 0i , entonces ρ = 1 y φ = 0.
Si w = (-1, 0) = -1 +0i , entonces ρ = 1 y φ = π.

Si w = (0, 1) = 0 + i , entonces ρ = 1 y φ = .
2

Si w = ( 0, -1) = 0 - i , entonces ρ = 1 y φ = 3 .
2

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Ejercicio 9
Demuestra que: “El módulo de todo número complejo es mayor o igual que su parte real”.

Ejercicio 10
Determina el modulo y el argumento para los siguientes números complejos:
a) z = (4, -4)
b) w= 3+2i
c) x= (1,2) .i45
d) y= ( -2, 3) : [i3. (-1, 2)]

Ejercicio 11
 
Dados los números complejos z =( 5, ) y w =( -4, 3 ) en forma polar, determina:
2 2
a) (z2+w) en forma binómica
b) (z:4w) en forma de par ordenado

 Forma trigonométrica de un número complejo

Las coordenadas cartesianas de un número complejo w = (a, b), están vinculadas a las
coordenadas polares por las siguientes relaciones:

a = ρ cosφ b = ρ senφ

Considerando las relaciones anteriores, todo número complejo dado en su forma binómica
w = a + bi, puede escribirse como:

w = a + bi = ρ cosφ + ρ i.senφ = ρ (cosφ+ i.sen φ)

w = ρ (cosφ + i.sen φ) es la forma trigonométrica del número complejo w

De similar forma, las coordenadas polares de un número complejo w = (ρ, φ), están vinculadas
a las coordenadas cartesianas por las siguientes relaciones:

a b b
ρ= a 2  b2 cosφ = senφ = tgφ =
  a

Ejercicio 12
Escribe los siguientes números complejos en forma trigonométrica:
a) z = (-3, 4)
b) w = 4+5i

c) x = (2, - )
2

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2  2i 4
d) y = ( )
2  2i

Producto de números complejos en forma trigonométrica

Sean los complejos w = ρ (cosφ + i. sen φ) y w’ = ρ’ (cosφ’ + i. sen φ’) dados en su forma
trigonométrica, el producto w. w’ es igual al complejo z cuyo modulo es igual al producto de sus
módulos, y su argumento es la suma de los argumentos de w y w’, es decir:

w. w’ = ρ.ρ’ (cos (φ + φ’) + i. sen (φ + φ’))

Demostración

w. w’ = [ρ (cosφ + i. senφ)]. [ρ’ (cosφ’ + i. senφ’)] = ρ.ρ’[ cosφ. cosφ’ + cosφ. i. senφ’+
+i. senφ. cosφ’+ i. senφ. i. senφ’] = ρ.ρ’ [cosφ. cosφ’ - senφ. senφ’ + (cosφ. sen φ’+
+sen φ. cosφ’). i = ρ.ρ’ (cos (φ + φ’) + i. sen (φ + φ’))

Cociente de números complejos en forma trigonométrica

Sean los complejos w = ρ (cosφ + i. sen φ) y w’ = ρ’ (cosφ’ + i. sen φ’) dados en su forma
trigonométrica, el cociente w : w’ es igual al complejo z cuyo modulo es igual al cociente de sus
módulos, y su argumento es la diferencia de los argumentos de w y w’, es decir:

w 
w : w’ = = (cos (φ - φ’) + i. sen (φ - φ’))
w'  '

Demostración

w  (cos  isen  )  (cos  isen  ) (cos 'isen  ' )

w. w’ = = = . =
w'  ' (cos 'isen  ' )  ' (cos 'isen  ' ) (cos 'isen  ' )
 (cos . cos ' cos .i.sen 'isen  . cos 'isen  .isen  ' )) 
= (cos (φ - φ’) + i. sen (φ - φ’))
 ' ((cos ' ) 2  ( sen ' ) 2 ) '

Potencia de números complejos en forma trigonométrica

Sea el número complejo w = ρ (cosφ + i. sen φ) dado en su forma trigonométrica, y n un número

entero, la potencia wn es igual al complejo z cuyo modulo es igual a la potencia de su módulo, y
su argumento es el producto de su argumento por n, es decir:

wn = ρn (cos (nφ) + i. sen (nφ))

la expresión anterior se conoce con el nombre de Formula de Moivre, es decir:

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(ρ (cosφ + i. sen φ))n = ρn (cos (nφ) + i. sen (nφ))

Si n = -1, la potencia w-1 = ρ-1 (cos (-φ) + i. sen (-φ))

Ejercicio 13
Dados los complejos z = 2 (cos 45° + i sen 45°) y w = -3 ( cos ( π) + i sen (π)), calcula en forma
trigonométrica:
a) z.w
b) 3z: 4w
c) z4. w3
d) z : ( - w)

Ejercicio 14
Calcula el valor del coseno de 75°, mediante el producto de los complejos z = ( 1, 30°) y
w = ( 1, 45°)

Raíces de números complejos en forma binómica

Sea el número complejo z = a+bi, dado en su forma binómica, se desea buscar el complejo
w = x + iy tal que w2 = z, es decir encontrar el complejo w = z .
Si w = x + iy , su cuadrado w2 = ( x + yi )2 = x2 – y2 + (2xy)i = (a + bi) , luego debe cumplirse que:

x 2  y 2  a

 2 xy  b

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando, se obtiene:

(x2 – y2)2 + 4x2y2 = x4 + y 4 – 2x2y2+ 4x2y2 = (x2+y2)2 = a2 +b2

Luego x2 + y2 =+ a 2  b 2 , ya que x e y son números reales y sus cuadrados son positivos.

 x2  y2  a
Resolviendo el sistema  , resulta:
x  y   a  b
2 2 2 2

1 1
x2 = ( a + a 2  b 2 ) y2 = ( -a + a 2  b2 )
2 2

1 1
x=  (a  a 2  b 2 ) y=  (a  a 2  b 2 )
2 2

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Se obtienen dos valores para x y dos valores para y, pero elegido el signo de x queda
determinado el de y, ya que el producto x.y debe ser igual a b/2. De modo que existen dos
soluciones para la ecuación w = z.

Al querer hallar 3 a  bi , se encuentran ecuaciones cúbicas más difíciles de resolver, y si se

extiende a raíces n-esimas la dificultad aumenta aún más por este camino. Sin embargo, la
notación de un número complejo en forma trigonométrica permite hallar estas raíces de manera
más sencilla.

En efecto, si w = ρ (cosφ + i. sen φ) y z = ρ’ (cosφ’ + i. sen φ’) dados en forma trigonométrica,

tal que wn = z, entonces por la fórmula de Moivre se tiene que:

ρ’ = ρn y φ’ = nφ
'
resulta ρ= n ' y φ=
n
 '2k
pero en vez de escribir φ’, se puede escribir φ’ + 2kπ, con k un número entero, luego φ =
n

Propiedad

Dado un número complejo w = ρ (cosφ + i. sen φ) existen n números complejos z0, z1, z2, …, zn,
tales que zn = w, o sea existen n raíces para n w , que están dadas por la fórmula:

  2k   2k
zk = n  ( cos ( ) + i sen ( ), con k = 0, 1, 2, …, (n-1).
n n

Propiedad

n
Existen n raíces 1 dadas por la fórmula:

2k 2k
n
1 = ( cos ( ) + i sen ( ), con k = 0, 1, 2, …, (n-1).
n n

Estas n raíces se designan generalmente con e0, e1, …, en-1, donde e0 = 1 pues si k = 0 es φ = 0,
y además estas n raíces poseen todas el mismo modulo igual a 1, luego están situadas sobre la
2
circunferencia de radio igual a 1, y sus argumentos son múltiplos de .
n

Propiedad

Los n puntos del plano, que coinciden con las n raíces de la unidad e0, e1, …, en-1, son los vértices
del polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia unitaria, siendo uno de los vértices
e0 = 1.

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Ejercicio 15
Halle las raíces indicadas de los siguientes números complejos y represente gráficamente:
4
1  4i
a)
3
b) 125

 Forma exponencial de un número complejo

Se define la función exponencial de exponente complejo eix, donde e es la base de los logaritmos
neperianos, i es la unidad imaginaria y x un número real, mediante la Fórmula de Euler:

eix = cos x+ i senx

Un número complejo z de módulo ρ y argumento φ, puede expresarse en la forma exponencial

z = ρ ei φ

La función exponencial compleja eix es una función periódica de periodo 2π, es decir tal que

e i x = e i (x+2π)

luego e i (x+2π) = cos(x+2π) + i sen(x+2π) = cos x + i sen x = e i x

Producto de números complejos en forma exponencial

Sean los complejos w = ρ ei φ y w’ = ρ’ ei φ’ , dados en su forma exponencial, el producto w. w’

es igual al complejo z cuyo módulo es igual al producto de sus módulos, y su argumento es la
suma de los argumentos de w y w’, es decir:

w. w’ = ρ.ρ’. ei ( φ+ φ’)

Cociente de números complejos en forma exponencial

Sean los complejos w = ρ ei φ y w’ = ρ’ ei φ’ , dados en su forma exponencial, el cociente w : w’

es igual al complejo z cuyo modulo es igual al cociente de sus módulos, y su argumento es la
diferencia de los argumentos de w y w’, es decir:

w  i (φ- φ’)
w : w’ = = e
w'  '

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Potencia de números complejos en forma exponencial

Sea el número complejo w = ρ ei φ dado en su forma exponencial, y n un número entero, la

potencia wn es igual al complejo z cuyo modulo es igual a la potencia de su módulo, y su
argumento es el producto de su argumento por n, es decir:

wn = ρn ei nφ

Raíces de números complejos en forma exponencial

Sea el número complejo w = ρ ei φ dado en su forma exponencial, para determinar n w , bastara

considerar que este cálculo debe dar pro resultado un complejo de modulo x y de argumento y,
es decir:

n
w = x e iy

Deberá ser (x e iy)n = xn ei ny = w = ρ ei φ

xn = ρ
n y = φ + 2kπ
  2k
es decir: x= n  y=
n
  2 k
i( )
luego: n
e i = n e n
, con k = 0, 1, 2, …, (n-1).

Esta última expresión se la conoce como la fórmula de Moivre generalizada.

Ejercicio 16
Sean los números complejos z = (4, -5), w = (-2+6i) y x = (2, 35°), calcula y expresa el resultado en forma
exponencial:
a) Z+3w
b) X4. w2
c) 2w: 5z
d) 3 w . x

Logaritmo natural de un número complejo dado en forma exponencial

Sea el número complejo w = ρ ei φ dado en su forma exponencial, el logaritmo natural de w, es

decir ln (w), será igual al complejo z= x+yi, si y solo si ez = w.

Como w = ρ ei φ = ez = e x+yi = e x . e yi

Luego ρ ei φ = e x . e yi

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ρ=ex ei φ = e yi

De lo que resulta x = ln ρ y = φ + 2kπ

ln (w) = x+ yi = ln ρ + i(φ + 2kπ )

Luego: ln (w) = ln ρ + i(φ + 2kπ ) con k = 0, 1, 2, ….

Como k puede tomar valores naturales, significa que, en el campo de los números complejos, el
logaritmo natural puede tomar infinitos valores.

Cuando k = 0, se obtiene el valor principal del número complejo w, es decir:

ln (w) = ln ρ + i φ

Ejercicio 17
Determine y represente gráficamente los logaritmos naturales del número complejo: z   2  2 i

Ejercicio 18
Determine el valor principal del número complejo z, resolviendo la ecuación:

a) 1  3i z
6i

b) 2  4i z i

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