Clasificacion de Las Funciones Elementales

CLASIFICANDO LAS FUNCIONES ELEMENTALES
CLASIFICAR es un PROCEDIMIENTO MATEMATICO de enorme valor. Consiste en ordenar o dividir

un conjunto de entes matemáticos homogéneos (que pertenecen al mismo tipo) en CLASES a
partir de un criterio determinado. Una primera clasificación de las funciones elementales
establece dos CLASES: las FUNCIONES ALGEBRAICAS y las FUNCIONES TRASCENDENTES.
 En las funciones algebraicas las operaciones que se pueden efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
 En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o

como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los
signos que emplea la trigonometría.
I. LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS (elementales)
 Funciones explícitas: En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por
simple sustitución. Ejemplo: f(x) = 5x – 2
 Funciones implícitas: En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x

por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones: 5x - y - 2 = 0
Una CLASIFICACIÓN de las FUNCIONES ALGEBRAICAS EXPLÍCITAS sería:
CLASIFICANDO las funciones elementales 1

O bien:
GRÁFICAS:
 Constante, Identidad,
Lineal y Afín
 Cuadrática

 Potenciales
 Racionales
 Irracionales
 Definidas a trozos

II. LAS FUNCIONES TRASCENDENTES (elementales)
 Funciones explícitas: En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por
simple sustitución. Ejemplo: f(x) = sen x
 Funciones implícitas: En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x

por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones: y2 – sen x = 0
Una CLASIFICACIÓN de las FUNCIONES TRASCENDENTES EXPLÍCITAS sería:
Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la
potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
a>1 0 <a < 1
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
a>1 0<a<1

Funciones trigonométricas
La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica

del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x = sen (x + π/2)
Función tangente
f(x) = tg x = sen x / cos x
Función cosecante
f(x) = cosec x = 1 / sen x

Función secante
f(x) = sec x = 1 / cos x = cosec (x+ π/2)
Función cotangente
f(x) = cotg x = 1 / tg x
Funciones trigonométricas inversas
Función seno inverso o arcoseno
Para que la función del seno permita inversa se

debe restringir su dominio en el
intervalo por lo tanto su rango se

limita al intervalo [-1,1] es aquí donde la función
seno es biyectiva, y por lo tanto, admite una
función inversa llamada arcoseno. Ver la imagen
de la gráfica de la función seno con la restricción.
Entonces se puede afirmar que:
sí y sólo si y

Gráfica de la función arcoseno
Función coseno inverso o arcocoseno
Para que la función del coseno tenga inversa

se debe restringir el dominio en el
intervalo la cual le corresponde un
rango como [-1,1], y el nombre de esta
función inversa del coseno es llamada
arcocoseno. Ver la gráfica de la función
coseno con restricción en el dominio.
La función arcocoseno queda definida como:
sí y sólo si y
Gráfica de la función arcocoseno

Función tangente inverso o arcotangente
Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el
dominio de la función tangente al intervalo y su rango

quedaría como el conjunto de los números reales Rgo . Observe
la gráfica de la función tangente con restricción en el dominio.
La función arcotangente finalmente queda definida como:
sí y sólo si y
Gráfica de la función arcotangente
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se definen a través de expresiones algebraicas que incluyen funciones
exponenciales ex y su función inversa e-x , donde e es la constante de Euler (o como se le conoce
comúnmente “número e”), cuyo valor aproximado es 2,718281. Las funciones hiperbólicas básicas
son seno hiperbólico (sinh) y el coseno hiperbólico (cosh), de éstos se derivan la función
de tangente hiperbólica (tanh). Las otras funciones: cotangente (coth), secante (sech) y cosecante
(csch), son las inversas de las tres anteriores respectivamente.
Coseno hiperbólico
Cosh (x) = (ex + e-x) / 2
Es una función par.

Seno hiperbólico
senh (x) = (ex – e-x) / 2
Es una función impar.
Tangente hiperbólica
Tanh (x) = senh (x) / cosh (x) = (ex – e-x) / (ex + e-x) =
Tanh (x) = (e2x – 1) / (e2x + 1)
Es una función impar.
Cotangente hiperbólica
Coth (x) = cosh (x) / senh (x) = (ex + e-x) / (ex – e-x)
coth (x)= (e2x + 1) / (e2x – 1)
Definida sobre R* y más generalmente

sobre C*; es una función impar.
Las funciones sinh y cosh satisfacen la ecuación de la hipérbola x2 – y2 = 1.
Suponiendo que x = cosh (t) e y = sinh (t) y considerando que:
cosh (t) = (et + e-t) / 2 y senh (t) = (et – e-t) / 2
Sustituimos en la ecuación de la hipérbola

[(et + e-t) / 2]2 – [(et – e-t) / 2]2 = 1 => [(e2t +2ete-t + e-2t) / 4] – [(e2t – 2ete-t + e-2t) / 4] = 1
Como ete-t = et – t = e0 = 1, tenemos: [(e2t + 2 + e-2t) / 4] – [(e2t – 2 + e-2t) / 4] = 1
Restamos ya que tienen el mismo denominador: [(e2t + 2 + e-2t) – (e2t – 2 + e-2t)] / 4 = 1
(e2t + 2 + e-2t – e2t + 2 – e-2t) / 4 = 1 <=> (e2t – 2 + e-2t – e2t – 2 – e-2t) / 4 = 1 <=> 4 / 4 = 1

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CLASIFICANDO LAS FUNCIONES ELEMENTALES

CLASIFICAR es un PROCEDIMIENTO MATEMATICO de enorme valor. Consiste en ordenar o dividir

 En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o

I. LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS (elementales)

 Funciones implícitas: En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x

Una CLASIFICACIÓN de las FUNCIONES ALGEBRAICAS EXPLÍCITAS sería:

CLASIFICANDO las funciones elementales 1

CLASIFICANDO las funciones elementales 2

CLASIFICANDO las funciones elementales 3

 Funciones implícitas: En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x

Una CLASIFICACIÓN de las FUNCIONES TRASCENDENTES EXPLÍCITAS sería:

a>1 0 <a < 1

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

CLASIFICANDO las funciones elementales 4

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica

f(x) = cos x = sen (x + π/2)

f(x) = tg x = sen x / cos x

f(x) = cosec x = 1 / sen x

CLASIFICANDO las funciones elementales 5

f(x) = sec x = 1 / cos x = cosec (x+ π/2)

Funciones trigonométricas inversas

Función seno inverso o arcoseno

Para que la función del seno permita inversa se

intervalo por lo tanto su rango se

Entonces se puede afirmar que:

CLASIFICANDO las funciones elementales 6

Función coseno inverso o arcocoseno

Para que la función del coseno tenga inversa

La función arcocoseno queda definida como:

Gráfica de la función arcocoseno

CLASIFICANDO las funciones elementales 7

Para definir la función tangente inversa, se debe restringir el

dominio de la función tangente al intervalo y su rango

La función arcotangente finalmente queda definida como:

Gráfica de la función arcotangente

Cosh (x) = (ex + e-x) / 2

Es una función par.

CLASIFICANDO las funciones elementales 8

senh (x) = (ex – e-x) / 2

Es una función impar.

Tanh (x) = (e2x – 1) / (e2x + 1)

Es una función impar.

coth (x)= (e2x + 1) / (e2x – 1)

Definida sobre R* y más generalmente

Las funciones sinh y cosh satisfacen la ecuación de la hipérbola x2 – y2 = 1.

Suponiendo que x = cosh (t) e y = sinh (t) y considerando que:

cosh (t) = (et + e-t) / 2 y senh (t) = (et – e-t) / 2

Sustituimos en la ecuación de la hipérbola

Como ete-t = et – t = e0 = 1, tenemos: [(e2t + 2 + e-2t) / 4] – [(e2t – 2 + e-2t) / 4] = 1

Restamos ya que tienen el mismo denominador: [(e2t + 2 + e-2t) – (e2t – 2 + e-2t)] / 4 = 1

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