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INSTITUTO TEGNOLOGICO SUPERIOR
DE SAN ANDRES TUXTLA
MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD II “FUNCIONES”
o 2.3 FUNCIÒN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

o 2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: POLINOMIALES Y
RACIONALES
o 2.5 FUNCIONES TRANSCENDENTES: TRIGONOMÈTRICAS,
LOGARÌTMICAS Y EXPONENCIALES
o 2.6 FUNCIONES ESCALONADAS
o 2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÒN,
MULTIPLICACIÒN, DIVICIÒN Y COMPOSICIÒN
o 2.8 FUNCIÒN INVERSA
o 2.9 FUNCIÒN IMPLICITA
DOCENTE: DIEGO DE JESUS VELAZQUEZ LUCHO
ALUMN@: JOSELYN CHIPOL SINACA
CARRERA: INGENIERIA ELECTROMECANICA
SEMESTRE: PRIMER SEMESTRE
GRUPO:102 B
FECHA DE ENTREGA: 08 DE NOVIEMBRE, 2022
PERIODO ESCOLAR: SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2022
SAN ANDRES TUXTLA, VER

2.3 FUNCIÒN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
FUNCIÓN INYECTIVA:
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x =

y. Es aquella que conserva la distinción, es decir,
no asigna los distintos elementos en su dominio al
mismo elemento en su codominio.
En otras palabras, podemos decir que hay una

asignación uno a uno entre los elementos del
dominio y el co-dominio de una función. A la luz de la
declaración anterior, podemos concluir que hay una
salida diferente para cada entrada de la función.
FUNCIÓN SUPRAYECTIVA:
Una función f (de un conjunto A aLotro B) es subreyectiva si para cada y en B, existe

por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras, f es subreyectiva si
y sólo si f(A) = B.
Es aquella en la cual podemos obtener todos los números en el co-dominio de la

función por la aplicación de la correspondencia / función f a un número en el dominio
de la función. En tal escenario, pueden existir varios elementos en el dominio de la
función que se asignen al mismo elemento en el co-dominio de la función.
FUNCIÓN BIYECTIVA:
Es una combinación de los dos tipos de funciones

mencionadas anteriormente. Una función biyectiva es
aquella en la que tenemos un solo elemento en el
dominio de la función para cada elemento en el co-
dominio de la función, lo que implica que f(x) = y, donde
x ε X (dominio de la función) y y ε Y (co-dominio de la
función).
2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: POLINOMIALES Y
RACIONALES
FUNCION POLINOMIAL:
En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a

un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función:
donde es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma
finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
FUNCION RACIONAL:
En matemáticas, una función racional de una variable es
una función que puede ser expresada de la forma:
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del

polinomio nulo.
Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos

los valores de x que no anulen el denominador.1 Obviamente esta definición puede
extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de
varias variables. La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es
una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden
ser números racionales o no. Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones
en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de
otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular
como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de
comportamientos.
FUNCION IRRACIONAL:
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un
radical,
Las características generales de estas funciones son:
a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el
radicando es mayor o igual que cero.
b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o

menor que cero.
c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.
cuya f(x)= 0 la funcion irracional va desde los numeros algebraicos desde las
coordenadas (x,y). su dominio son los reales y su rango son los numero tales
de la forma x,todos son reales por tanto en una funcion de raiz.
2.5 FUNCIONES TRANSCENDENTES:
TRIGONOMÈTRICAS, LOGARÌTMICAS Y
EXPONENCIALES
FUNCION TRASCENDENTE:
Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación
polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con
las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.
En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende
al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia
finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una
función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido
algebraico de dicha variable.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas
con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los
números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia

en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación
de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en

relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente
o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y
aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo
el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sin (sen)
Coseno cos
Tangente tan
Cotangente ctg (cot)
Secante sec
Cosecante csc (cosec)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS:
La función logarítmica "básica" es la
función, y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1.
La gráfica de la función logarítmica y =
log 10 x se muestra a continuación.
Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y
tiene las siguientes propiedades.
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
2. El rango es el conjunto de todos los números reales.
(Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de
la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función
logarítmica es el dominio de la función exponencial)
3. La función es continua y uno-a-uno.
4. El eje de las y es la asíntota de la gráfica.
5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.
La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente
y h unidades horizontalmente con la ecuación y = log b ( x + h ) + k .
Cambio Vertical
Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba.
Si k < 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo.
Cambio Horizontal
Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la izquierda.
Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha.
Función logarítmica natural
El logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural. Se denota por ln x . La
función logarítmica natural, y = ln x es la inversa de la función exponencial natural
de base, y = e x .
La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación.
Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha.

FUNCIONES EXPONENCIALES:
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex,
donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene
por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad
de que suderivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o
exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función
inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo
exponencial en base a si tiene la forma
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de

exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
2.6 FUNCIONES ESCALONADAS
La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal
que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las
cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un
valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.
La gráfica que resulta de una función como esta consiste en escalones o peldaños.
Veamos un ejemplo a continuación:
Figura 1. Ejemplo de función

escalonada
La gráfica de esta función

escalonada tiene tres peldaños
o intervalos escalonados, pero
en general la función
escalonada puede tener
cualquier cantidad de
escalones. La anchura de los
escalones puede ser diferente y
no siempre la escalera es
ascendente o descendente.
La función escalonada del ejemplo se puede escribir especificando el ancho y el alto

de cada escalón, así:
2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÒN,
MULTIPLICACIÒN, DIVISIÒN Y COMPOSICIÒN
ADICIÓN:
Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se
llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.
La suma de las dos funciones producirán una sola función como:
ejemplo:
Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,
g(x) = x2 + 2 y,
f(x) = 4x – 1
Las dos funciones se pueden sumar como
(g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1
MULTIPLICACIÓN:
Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama
multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por: [f(x)] [g(x)]
ejemplo:
Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,
g(x) = 3 √x y
, f(x) = √x
entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)
COMPOSICIÓN:
Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x'
para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función
composición que se representa g(f(x)).
La composición de dos funciones se denota como:
ejemplo
g(x) = 2x + 3
f(x) = -x2 + 5
g(f(x)) = g(-x2 + 5)
= 2(-x2 + 5) + 3
= −2×2 + 10 + 3
= −2×2 + 13
2.8 FUNCIÒN INVERSA
Sea f una función f de dominio Dom(f); si es función inyectiva, entonces f tiene un
función inversa, que si la expresamos por f-1, y esta definida por:
f-1: lim(f)→ Dom(f)

y→ f-1(y)=x, con f(x)=y
Una función inversa se verifica por las siguientes propiedades:

1. f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x
2. Las graficas de f y de f-1 son simétricas respecto al bisectriz
del primer cuadrante.
Veamos un ejemplo sobre la función inversa para entenderlos mejor.

Y=f(x)
F(x)=y → 3x+2=y → 3x=y-2 → x=y-2/3
Como se puede observar ya realizamos la inversa de la función, son pasos

sencillos pero debemos de aprender las inversas de cada operación básica para
poder realizar la inversa sin problemas.
2.9 FUNCIÒN IMPLICITA

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no
aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación
de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar
miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente
que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Ejemplos:
Derivar las funciones:

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o 2.3 FUNCIÒN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

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FECHA DE ENTREGA: 08 DE NOVIEMBRE, 2022

PERIODO ESCOLAR: SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2022

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Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x =

En otras palabras, podemos decir que hay una

Una función f (de un conjunto A aLotro B) es subreyectiva si para cada y en B, existe

Es aquella en la cual podemos obtener todos los números en el co-dominio de la

Es una combinación de los dos tipos de funciones

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a

Formalmente, es una función:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del

Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos

Las características generales de estas funciones son:

b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o

c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en

Seno sin (sen)

Cotangente ctg (cot)

Cosecante csc (cosec)

Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha.

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de

Figura 1. Ejemplo de función

La gráfica de esta función

La función escalonada del ejemplo se puede escribir especificando el ancho y el alto

f-1: lim(f)→ Dom(f)

Una función inversa se verifica por las siguientes propiedades:

Veamos un ejemplo sobre la función inversa para entenderlos mejor.

Como se puede observar ya realizamos la inversa de la función, son pasos

2.9 FUNCIÒN IMPLICITA

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