Derivada

Derivada logarítmica
Se llama derivación logarítmica al proceso utilizado para realizar derivadas de forma sencilla
utilizando las propiedades de los logaritmos
PROCESO:
Aplicar el logaritmo natural (neperiano) a los dos miembros de la función y aplicar las
propiedades del logaritmo.
Derivar los dos miembros de la función
Despejar y Sustituir y por su valor como función de la variable x.
Derivada logarítmica: Es un método de cálculo de funciones derivadas que consiste en tomar

primero logaritmos neperianos en los dos miembros de la ecuación de la función, transformar
el segundo miembro aplicando propiedades de los logaritmos, derivar después los dos
miembros de la ecuación teniendo en cuenta la Regla de la Cadena, y, finalmente, despejar la
derivada .
f ( x )=log a u
u´
f ´ ( x )= log a e=f ´ ( x )=u ´ /¿
u
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función.
Algunas veces en ciertos ejercicios se necesita aplicar las propiedades de los logaritmos antes
de derivar para simplificar la función. Recordemos brevemente las propiedades de los
logaritmos que son las siguientes:
Propiedades de los logaritmos
Log (a · b) = log a + log b
Log (a / b) = log a – log b
Log ab = b · log a
Log a1/b = log a / b
Los logaritmos neperianos: también conocidos con el nombre de “logaritmos naturales”, son
aquellos que tiene como base el número e. Este último es un número irracional, es decir, tiene
una infinita cantidad de decimales, siendo su valor e = 2.718281828… Ocurre que estos
logaritmos se representan como In.
La función exponencial: esta función tiene como sesgo que su argumento X se presenta
siempre como exponente. La misma puede expresarse de la siguiente manera: f (x) = bx.
Cuando X =1, entonces en Y = B. La manera en que crece esta función es directamente
proporcional al valor de la derivada.
La función logarítmica: es una función que se expresa de la siguiente manera, f (x) = loga X. Es
decir, es diferente de la función exponencial. Se caracteriza por que su gráfico es un espejo de
la curva de la función exponencial. Es decir, son simétricas entre sí. Lo que demuestra que los
elementos del dominio de una de ellas, son los del codominio de la otra.
Calculo de las derivadas de las funciones logarítmicas. En dado caso, antes es necesario tener
en cuenta ciertas propiedades de los logaritmos:
Log A + Log B = Log AB (el logaritmo de A más el logaritmo de B es igual al logaritmo del
producto de A x B).
Log A – Log B = Log A/B (el logaritmo de A menos el logaritmo de B es igual al logaritmo de del
cociente obtenido en A ÷ B).
A Log B = Log BA (el producto de “A” por el “logaritmo de B” es igual al logaritmo de B con
potencia A).
Ejercicio 1:
f(x) = In 1-x1+x
Para poder hacer el cálculo con sencillez, vamos primero a aplicar las propiedades de los
logaritmos. De esa manera, la expresión antes indicada queda de la siguiente manera:
f(x)= In (1-x) – In ( 1+ x)
Bajo este formato, es más fácil hacer el cálculo de la derivada; misma que se efectúa de la
siguiente manera:
Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un

número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio
de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por
cuanto se cumple que:
exponencial
Propiedades de las funciones exponenciales
Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades
generales:
La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
f (0) = a0 = 1.
La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
f (1) = a1 = a.
La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha

función aplicada a cada valor por separado.
f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida
por la función del sustraendo:
f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).
La función ex
Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor

2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:
(1 + 1/n)n
cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para
los logaritmos naturales o neperianos (ver t34).
La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las

descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada (ver
t41).
Ecuaciones exponenciales
Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un

ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.
Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:
Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en
los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:
Ax = Ay.
En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por
potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de
resolver.
22x - 3 × 2x - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0
luego se deshace el cambio de variable.
Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus
ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de
ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la
base y de cambio de variable.

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Derivar los dos miembros de la función

Despejar y Sustituir y por su valor como función de la variable x.

Derivada logarítmica: Es un método de cálculo de funciones derivadas que consiste en tomar

Propiedades de los logaritmos

Log (a · b) = log a + log b

Log (a / b) = log a – log b

Log a1/b = log a / b

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un

Propiedades de las funciones exponenciales

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha

f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

luego se deshace el cambio de variable.

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