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    Semana 15

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    Estefanía Bernaola
    Este documento trata sobre la integral indefinida y definida. Explica antiderivadas, reglas para integrar funciones comunes como constantes, polinomios y exponenciales. También cubre el teorema fundamental del cálculo, cálculo de áreas para funciones positivas y negativas, y áreas entre dos curvas. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos.

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    Semana 15

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    Este documento trata sobre la integral indefinida y definida. Explica antiderivadas, reglas para integrar funciones comunes como constantes, polinomios y exponenciales. También cubre el teorema fundamental del cálculo, cálculo de áreas para funciones positivas y negativas, y áreas entre dos curvas. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos.

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    de 14

    Matemática para las Ciencias

    Sociales

    La integral indefinida
    La integral definida

    Semana 15
    Antiderivada
    Si se cumple que:

    F´(x) = f(x)

    para todo x en el dominio de f, entonces F(x) es


    una antiderivada de f(x).
    La expresión (1) equivale a escribir:

    d
    F ( x)  f ( x)
    dx
    2
    Propiedad fundamental de las antiderivadas
    Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
    cualquier otra antiderivada G(x) de f(x) difieren sólo
    en una constante.

    La antiderivada general de f(x) simbólicamente se


    expresará:

     f ( x)dx  F ( x)  C
    la cual se denomina integral indefinida de f.

    3
    Reglas para integrar funciones comunes

    1.  kdx  kx  C , k : cons tan te


    1 n 1
    2.  x dx 
    n
    x  C, n  -1
    n 1
    1
    3.  dx  ln | x | C , x0
    x
    1 kx
    4.  e dx  e  C ,
    kx
    k 0
    k

    4
    5
    Reglas algebraicas para la integración indefinida

     k f ( x)dx  k  f ( x)dx k  constante


     ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx

    6
    Ejercicios

    7
    Teorema fundamental del cálculo integral
    Si f es continua en el intervalo [a; b] y F es
    cualquier antiderivada de f en el intervalo,
    entonces


    b
    f ( x) dx  F (b)  F (a )
    a

    8
    Ejemplo

    9
    Cálculo de Áreas para f(x) ≥0
    Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las
    verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo [a; b].

    El área se halla:


    b
    A  f ( x) dx
    a

    10
    Cálculo de Áreas para f(x) ≤ 0
    Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las
    verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≤ 0 y f continua en el intervalo [a; b].

    El área se halla:


    b
    A   f ( x) dx
    a

    11
    Ejercicio: Encontrar el área de la región limitada por la
    curva y = x2 – x – 2 ,la línea y = 0 (el eje x) entre x = -2 y
    x=2

    12
    Área de una región formada por dos curvas
    Sean las gráficas de f y g tales que f(x) > g(x) en un
    intervalo [a; b]. El área de la región limitada por las
    gráficas de f y g y por las verticales x = a y x = b será:

     [ f ( x)  g ( x)] dx
    b
    A 
    a

    a b

    13
    Ejercicio: Halla el área de la región limitada por las
    gráficas de y = x2 – 4x + 4, y = 10 – x2.

    14

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