Integral de…nida y área

De…nition 1 Sean f una función de…nida y acotada en un intervalo cerrado [a; b] y P =

fx0 ; x1 ; x2 ; ; xn g una partición de [a; b] :Llamamos suma de Riemann de f asoci-
ada a P en [a; b] ; a cualquier suma de la forma

X
n
f ("i ) xi
i=1

donde x = xi xi 1 y "i es un número real entre xi 1 y xi :Llamamos norma de la

partición

De…nition 2 Sean f una función de…nida y acotada en [a; b] y P = fx0 ; x1 ; x2 ; ; xn g

una partición de [a; b] :Decimos que f es integrable en [a; b] si y sólo si

X
n
lim f ("i ) xi
k k!0
i=1

existe. En tal caso a dicho límite se le llama la integral de…nida de f en [a; b] y se simboliza
por Z b
f (x) dx
a
esto es,
Z b X
n
f (x) dx = lim f ("i ) xi
a k k!0
i=1

para cualquier suma de Riemann de f en [a; b] :

Proposition 1 proposición[Propiedades de la integral de…nida] Sean f y g funciones in-

tegrables en [a; b] y c un número real. Entonces:

1. Las funciones f + g y cf son integrables en [a; b] ; y

Z b Z b Z b Z b Z b
[f (x) + g (x)] dx = f (x) dx+ g (x) dx y c f (x) dx = c f (x) dx
a a a a a

2. Si f (x) g (x) en [a; b] ; entonces

Z b Z b
f (x) dx g (x) dx
a a

En particular, Z b
f (x) 0 en [a; b] ) f (x) dx 0:
a

1
A continuación presentamos un teorema que desempeña un papel importante en el cálculo
debido a que permite relacionar la integrales de…nida e inde…nida y facilita el calculo de la
integral de…nida, dicho teorema es uno de los teoremas fundamentales del cálculo, el cual
establece lo siguiente

Theorem 2 (teorema) [Primer teorema fundamental] Sean f una función integrable en

[a; b] y F una primitiva de f en [a; b]
Z b
f (x) dx = F (b) F (a)
a

Theorem 3 (Sustitución para integrales de…nidas) Sean f y g funciones tales que

f g está de…nida. Si g es diferenciable en [a; b] y f es continua en g([a; b]):Entonces
Z b Z g(b)
0
f [g (x)] g (x) dx = f (u) du
a g(a)

Área entre dos curvas

En esta sesión presentamos algunos métodos basados en integrales de…nidas que nos permiten
determinar el área entre dos curvas, y en particular, el área bajo una curva. Estos resultados
son dados en la siguiente proposición

Proposition 4 1. Sean f una función de…nida, no negativa y acotada en el intervalo

[a; b] : El área bajo la grá…ca de f está dada por
Z b
a (R) = f (x) dx
a

2. Sean f y g una funciones tales que g (x) f (x) en [a; b] : Entonces el área de la
región R encerrada por las grá…cas de f y g y las rectas verticales de ecuaciones x = a
yx=b Z b
a (R) = [f (x) g (x)] dx
a

Región entre las grá…cas de f y g en el intervalo [a; b]

Ejercicios

2
1. Evalue cada una de las integrales dadas a continuación

R 4
R (1+ln x)2
a: 0 x2 +1
dx f: dx
R =2 R e2 x1
b: (2x + cos x) dx g: dx
R 4 =22 Re3 ex3=x
ln x
c: 0 jx 4x + 3j dx h: dx
R5 x R 1 sinx2 x
d: 1 p2x 1 dx i: e cos xdx
R4 2 3 2 R5
e: 2
x (x + 8) dx j: 1 [x] dx
R p2=4 2 R1
k: 0 p
1 4x2
dx l: 0 x4x+1 dx

2. Use el Teorema de Sustitución en integrales de…nidas para calcular las siguientes inte-
grales
R =4 p
(a) 0 cos 2x 4 sin 2xdx
R 1=3 xdx
(b) p
2=3 2 3x
dx
R1 4
(c) 0 x (1 x)20 dx
R 1 e 2 ln(1 x)
(d) 0 1 x
dx
R 2 dx
(e) 3
p
x2 6x 5

3. Dibuje la región acotada por las gra…cas de las funciones dadas y obtenga su área

(a) f (x) = 4 x2 ; g (x) = x2 4

3 2 3
(b) f (x) = x + x ; g (x) = x + 1
(c) f (x) = x x2 ; g (x) = x
(d) f (x) = x (x2 1) ; f (x) = x
(e) f (x) = sin x; g (x) = cos x; en el intervalo [0; 3 =2]
(f) f (x) = 3x3 x2 10x; g (x) = x2 + 2x
x2
(g) f (x) = xe ; g (x) = 0 en el intervalo [0; 1]
(h) f (x) = 3 (x3 x) ; g (x) = 0

4. Demuestre cada una de las siguientes a…rmaciones

(a) Si f es una función impar e integrable en el intervalo [ a; a] ; entonces

Z a
f (x) dx = 0
a

(b) Si f es una función par e integrable en el intervalo [ a; a] ; entonces

Z a Z a
f (x) dx = 2 f (x) dx
a 0

3
5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas

(a) La probabilibad de que una variable aleatoria X; con función de densidad de

probabilidad, f (x) ; se encuentre en el intervalo [a; b] está dada por
Z b
P (a X b) = f (x) dx
a

Suponga que la variable aleatoria X; mide el porcentaje de material recordado

por estudiante que se prepara para el examen parcial y tiene función de densidad
de probabilidad

15 p
f (x) = x 1 x; 0 x 1
4
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar recuerde entre
50% y 75% del material?
b. ¿Cuál es el porcentaje medio de lo que se recuerda? Esto es, para que valor de
b es cierto que la probabilidad de recordar de 0 a b es 0:5?
(b) Una población de bacterias cambia a un ritmo

dP 3000
=
dt 1 + 0:25t
donde t es el tiempo en dias. La población inicial era 1000. Obtenga una expresion
que describa la población en cualquier instante t y calcular la poblacion después
de 3 dias.
(c) Un objeto con temperatura de 100 F es llevado a una habitación donde la tem-
peratura es 60 F . Suponga que la temperatura T del objeto cambia a un ritmo
dado por la ecuación
dT
= 0:115e 0:02877t
dt
Si la temperatura del objeto a los 10 minutos es 90 F: 0btenga una expresión
para la temperatura en el instante t; y calcule el tiempo requerido para que la
temperatura sea 80 F:
(d) El valor V de un objeto cambia con el tiempo t; en años, a un ritmo dado por la
ecuación
dV
= 9:429e 0:6286t ; 0 t 10
dt
Determine en que cantidad disminuye el valor cuando t cambia de 3 a 5:
(e) La distancia recorrida por una partícula que se mueve con función de posición
x = x (t) ; al pasar de la posicion x = a a la posición x = b está dada por
Z b
d= jv (t)j dt
a

4
 donde jv (t)j denota el valor absoluto de la velocidad. Una partícula, inicialmente
en reposo, se mueve a lo largo del eje X de manera que su aceleración en el tiempo
t está dada por
a (t) = cos t
Si inicialmente se encuentra en x = 3: Determine
a. Las funciones velocidad y posición de la partícula.
b. La distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo [0; 2 ] :
c. El desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [0; 2 ]
d. Los valores de t para los cuales la partícula está en reposo.
(f) Cuando se aplican a fondo los frenos, cierto automovil tiene una desaceleración
constante de 22 pulg/s2 : Si su velocidad inicial es 90 mi/h, ¿cuánto tiempo tardará
en detenerse? ¿quédistancia recorrerá durante ese tiempo?

El valor medio de una funcion integrable f en un intervalo cerrado [a; b] se de…ne por
Z b
1
y= f (x) dx
b a a

¿Cuál es el valor medio de una función constante en un intervalo [a; b]? ¿Que inter-
pretación le da usted al valor medio de una función en un intervalo?
Resuelva cada uno de los problemas dados a continuación

(a) El volumen V de litros de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio de

cinco segundos se aproxima mediante el modelo

V (t) = 0:1729t + 0:1522t2 0:0374t3

donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es el valor medio aproximado de volumen

de aire en los pulmones durante un ciclo?
(b) Una fábrica de fertilizantes encuentra que las ventas nacionales de fertilizantes
siguen el patron estacional

2 (t 60)
F (t) = 100000 1 + sin
365

donde F se mide en libra y t representa el tiempo en días, con t = 1 correspondi-

ente al primero de enero. El fabricante desea establecer un programa para producir
una cantidad uniforme de fertilizantes cada día. ¿cuál debe ser esa cantidad?
(c) Suponga que un tanque de 5000 litros esta completamente lleno de agua. Si el
tanque tarda 10 minutos en vaciarse y después de t minutos, la cantidad de agua
que queda en el tanque es V (t) = 500 (10 t2 ) litros. ¿Cuál es la cantidad de
agua promedio en el tanque durante el tiempo en que se vacia?

5
Segundo Teorema Fundamental del cálculo

Muchas funciones de uso común en ciencias e ingenierías están de…nidas por medio de inte-
grales que no se pueden expresar en términos de funciones elementales. Si dichas funciones
son diferenciables, sus derivadas se puedden calcular aplicando un teorema conocido como
segundo teorema fundamental del cálculo, el cual citamos y demostramos a continuación.
Teorema. Sea f una función continua en [a; x] para cada x en [a; b] y F la función de…nida
en [a; b] por la ecuación Z x
F (x) = f (t) dt
a

Entonces F es derivable en (a; b) y su derivada está dada por

Z x
0 d
F (x) = f (t) dt = f (x)
dx a

Demostración
Sean x0 2 (a; b) y 0 6= h 2 R tal que a + h 2 (a; b) : Entonces
Z x0 +h Z x0
F (x0 + h) F (x0 ) 1
f (x0 ) = f (t) dt f (t) dt f (x0 )
h h a a
Z x0 +h Z a
1
= f (t) dt + f (t) dt f (x0 ) h
h a x0
Z x0 +h Z x0 +h
1
= f (t) dt f (x0 ) dt
h x0 x0
Z x0 +h
1
= [f (t) f (x0 )] dt
h x0

Como f es continua en x0 ; entonces dado " > 0; existe > 0 tal que

jt x0 j < =) j f (t) f (x0 ) j < "

por tanto,
Z x0 +h
F (x0 + h) F (x0 ) 1
f (x0 ) = [f (t) f (x0 )] dt
h h x0
Z x0 +h
1
jf (t) f (x0 )j dt
jhj x0
1
< "h = "
jhj

lo cual implica que

F (x0 + h) F (x0 )
lim = f (x0 )
x!x0 h
por consiguiente, F es diferenciable en x0 y su derivada es f (x0 ) :

6
Ejercicios
1. Calcula Z x
1 t2
lim 3 dt
x!0 x 0 1 + t4
2. Obtenga una función f que satisfaga la ecuación

x2 2x + 1

3. Calcula f (4) ; si, Z x

f (t) dt = x cos ( x)
0

4. Calcula f (4) ; si,

Z x2
f (t) dt = x cos ( x)
0

5. Calcula f (4) ; si,

Z f (x)
t2 dt = x cos ( x)
0

6. Veri…que que la la función f de…nida por

Z
1 x
y= f (t) sin a (x t) dt
a 0
es solución del problema con valores iniciales

d2 y
+ a2 y = f (x) ; y 0 (a) = 0 y y (a) = 0
dx2

7. Regla de Leibniz. Sean f continua en [a; b] y u y v funciones diferenciables en [a; b] :

Entonces "Z #
v(x)
d
f (t) dt = f [v (x)] v 0 (x) f [u (x)] u0 (x)
dx u(x)
Calcule la derivada de cada una de las funciones de…nida s a continuación
R x2
a. f (x) = sin x (1 + t) dt
R 2p x
b. g (x) = px sin (t2 ) dt
R sin x
c. h (x) = cos x 1 1t2 dt
Rx
d. k (x) = 1=x 1t dt