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1 N O Feb2020 Soluciones
1 N O Feb2020 Soluciones
1 N O Feb2020 Soluciones
Curso: 2019-2020
Nacional – Febrero -1ª Semana
EXAMEN RESUELTO
Solución
Ver página 131 del libro base de la asignatura Cálculo para Economistas.
y como los signos en los extremos son opuestos, se verifican los supuestos del
teorema de Bolzano y se puede asegurar que existe una raíz 𝑐𝑐 en el intervalo
dado [ -4,-1 ] , es decir, f( c ) =0.
Para hallar la raíz, se podría probar, por ejemplo, con valores mediante el
teorema del factor, o con el método de Ruffini, vistos anteriormente, y así se
llegaría a que la raíz buscada es 𝑐𝑐 = −2.
Ver página 267 del libro base de la asignatura Cálculo para Economistas.
Para hallar el área de la región entre una gráfica y el eje OX en un intervalo dado
hay que hallar la integral definida de la gráfica en el intervalo, es decir,
1
� 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
Como se trata de una integral definida, en primer lugar, hay que hallar el valor
de la integral indefinida. En este caso, se trata de una integral que puede
resolverse por partes, y se utiliza para resolverla la regla LIATE.
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑒𝑒 2𝑥𝑥
𝑣𝑣 = � 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
2
iv) Ahora hay que hallar ∫ 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = ∫ 𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 , que en este caso debe
volverse a hallar mediante integración por partes.
a) Se elige 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.
b) Se hallan 𝑑𝑑𝑑𝑑 y 𝑣𝑣 y se tiene
2𝑥𝑥
𝑒𝑒 2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝑣𝑣 = ∫ 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
2
c) Se sustituye en la fórmula y se tiene:
𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥
� 𝑥𝑥𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 −� 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 2
d) Se halla ∫ 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣, que ahora es inmediata
𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
2 4
e) Y se obtiene el resultado de la integral
2𝑥𝑥
𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥
� 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 −
2 4
v) Se obtiene el resultado final sustituyendo lo obtenido en el paso e) en
la expresión del paso iii):
𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥
� 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 2 − � 𝑥𝑥𝑒𝑒 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 −
2 2 2 4
Ver página 352 del libro base de la asignatura Cálculo para Economistas.
Solución
Ver página 422 del libro base de la asignatura Cálculo para Economistas.
Si la serie ∑∞
𝑛𝑛=1 𝑎𝑎𝑛𝑛 es convergente, entonces:
lim 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0
𝑛𝑛→∞
Solución
a) El dominio de la función está compuesto por los valores para los que está
definida la función, en este caso como se trata de una función racional, hay que
buscar los valores que anulan el denominador, es decir
5(𝑥𝑥 − 2) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2
Luego
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℝ\{2}
Para calcular las asíntotas verticales se buscan los valores 𝑥𝑥 que hagan que
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∞
y que como se sabe para las funciones racionales, son aquellos valores que
hacen 0 el denominador, luego en este caso se prueba con el valor +1
𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 2
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = = = ±∞
𝑥𝑥→2 5(2 − 2) 0
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0
𝑥𝑥→−∞
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∞
𝑥𝑥→∞
y ahora se iguala la primera derivada a 0 para estudiar los puntos críticos que
determinen los intervalos de crecimiento, así como los posibles extremos
relativos.
𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0 ⇒ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 3
Ver página 378 del libro base de la asignatura Cálculo para Economistas.
𝐻𝐻1 < 0 en todos los casos, y 𝐻𝐻2 (4/5,3/5,5/2) < 0, luego 𝐻𝐻1 < 0 y 𝐻𝐻2 < 0 y, por
tanto, en el punto (4/5,3/5,5/2) la función alcanza un mínimo.
En el otro punto se tiene que 𝐻𝐻2 (−4/5, −3/5, −5/2) > 0, luego 𝐻𝐻1 < 0 y 𝐻𝐻2 > 0
y, por tanto, en el punto (-4/5,-3/5,-5/2) la función alcanza un máximo.