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196
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PRESENTADO POR:
GRUPO: 100411_196
TUTOR:
SERGIO ANDRES DURAN
ACACIAS – 2020
INTRODUCCION
Ejercicio a
Como podemos observar en la integral del siguiente polinomio entre un monomio hay un
denominador para toda la expresión:
5 1
4x 4 − 2x 4
∫ 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 4
∫ (4x − 2)𝑑𝑑𝑑𝑑
Ahora aplicamos una propiedad de las integrales que indica que a cada término le
colocamos su integral aparte:
4∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 2
4 − 2𝑥𝑥
2
2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
𝑑𝑑
(2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑
(2𝑥𝑥 2 ) − (2𝑥𝑥) + (𝐶𝐶)
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 2 𝑑𝑑
2 (𝑥𝑥 ) − 2 (𝑥𝑥) + 0
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 ∗ 2𝑥𝑥 2−1 − 2 ∗ 1 + 0
4𝑥𝑥 − 2 + 0
4𝑥𝑥 − 2
Ejercicio b.
𝑡𝑡 3 − 1
� 𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝑡𝑡 − 2
Factorizamos el denominador
𝑡𝑡 3 − 1 𝑡𝑡 3 − 1
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝑡𝑡 − 2 2(𝑡𝑡 − 1)
𝑡𝑡 3 − 1 1 𝑡𝑡 3 − 1
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝑡𝑡 − 2 2 (𝑡𝑡 − 1)
𝑡𝑡 3 − 1 1
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 + 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝑡𝑡 − 2 2
Integramos
𝑡𝑡 3 − 1 1 𝑡𝑡 3 𝑡𝑡 2
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � + + 𝑡𝑡� + 𝑐𝑐
2𝑡𝑡 − 2 2 3 2
𝑡𝑡 3 − 1 𝑡𝑡 3 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = + + + 𝑐𝑐
2𝑡𝑡 − 2 6 4 2
Ejercicio c.
𝑥𝑥 2𝑥𝑥
� �3 − 4 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
√𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥
𝑥𝑥 2𝑥𝑥
∫ �3 − 4 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 =; Aplicamos integral a los términos de la resta
√𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥
𝑥𝑥 2𝑥𝑥
∫3 𝑑𝑑𝑑𝑑 − ∫ 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 =; Aplicamos la división de potencias
√𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥
2 1
1−
∫ 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2 ∫ 𝑥𝑥 1−4 𝑑𝑑𝑑𝑑 =; Efectuamos la operación
1 3
∫ x 3 dx − 2 ∫ x 4 dx =; Calculamos la integral
4 7
𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4
4 −2 7 + 𝑘𝑘: Simplificamos
3 4
4 7
3𝑥𝑥 3 8𝑥𝑥 4
− + 𝑘𝑘; Siendo este el resultado de la integral.
4 7
Ejercicio d
3
� 20(𝑒𝑒 4𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑
Por propiedades de las integrales podemos sacar de la integral ese factor común.
3
20 �(𝑒𝑒 4𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑
Ejercicio e.
(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑥𝑥) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥))
� 𝑑𝑑𝑑𝑑
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥)
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑
4 4
𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
3 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑑𝑑 cos(𝑣𝑣) 𝑑𝑑𝑑𝑑
� −�
4 3 4 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑣𝑣)
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 8
1 1
� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � cos(𝑣𝑣) 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 8
1 1
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢) − sen(𝑣𝑣)
12 8
1 1
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�3𝑥𝑥� − sen�2𝑥𝑥� + 𝐶𝐶
12 8
Datos:
𝑎𝑎 = −2
𝑏𝑏 = 0
𝑛𝑛 = 6
Para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6en el
intervalo [-2, 0], en donde use una partición de n=6; debemos calcular 𝛥𝛥𝛥𝛥 con la siguiente
fórmula:
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝛥𝛥𝛥𝛥 =
𝑛𝑛
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 0 − (−2) 2 1
𝛥𝛥𝛥𝛥 = = = =
𝑛𝑛 6 6 3
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )𝛥𝛥𝛥𝛥
𝑖𝑖=1
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )𝛥𝛥𝛥𝛥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3 )𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4 )𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥5 )𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥6 )𝛥𝛥𝛥𝛥
𝑖𝑖=1
6
1 1 1 1 1 1
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )𝛥𝛥𝛥𝛥 = 4( ) + 3.22( ) + 2.88( ) + 3( ) + 3.55( ) + 4.55( )
3 3 3 3 3 3
𝑖𝑖=1
6
4
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )𝛥𝛥𝛥𝛥 = ( ) + 1.074 + 0.962 + 1 + 1.185 + 1.518
3
𝑖𝑖=1
6
Ubique con la ayuda de Geogebra los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la
aproximación del área bajo la curva 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 )
ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con
respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una
partición de n= 6.
�(2x 2 + 5x + 6) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−2
𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 2 0
2 + 5 + 6x /
3 2 −2
−2 3 −2 2
[0] − [2( ) + 5( ) + 6(−2)]
3 2
−8 4
[0] − [2( ) + 5( ) − 12]
3 2
−16
−( ) + 10 − 12
3
−22 22
−( )= = 7.33
3 3
Ejercicio b.
i. Utilizar la definición de Sumas de Riemann para hallar una aproximación del área bajo
la curva de la función (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 5 en el intervalo [-2, 2], en donde use una partición de
n=5.
Desarrollo:
El área para una suma de Riemann
𝑛𝑛
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∆𝑥𝑥
𝑖𝑖=1
𝐴𝐴 = �((𝑥𝑥𝑖𝑖 )2 + 5)∆𝑥𝑥
𝑖𝑖=1
4 6 2 2 2
𝐴𝐴 = ((−2)2 + 5) + ��− � + 5� + ��− � + 5� +
5 5 5
2 2 6 2
+ �� � + 5� + �� � + 5� + ((2)2 + 5) )
5 5
4 161 129 161
𝐴𝐴 = �9+ + + + 9�
5 25 25 25
3604 2
𝐴𝐴 = 𝑢𝑢 = 28.832 𝑢𝑢2
125
iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a
la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 5.
La integral manual es:
2 2
𝑥𝑥 3
� (𝑥𝑥 2 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � + 5𝑥𝑥�
−2 3 −2
2
(2)3 (−2)3
� (𝑥𝑥 2 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � + (5 ∗ 2)� − � + 5 ∗ (−2)�
−2 3 3
2
8 8
� (𝑥𝑥 2 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � + 10� − �− − 10�
−2 3 3
2
16 76
� (𝑥𝑥 2 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 20 + = ≈ 25.33
−2 3 3
El valor de la integral definida en Geogebra es menor que el valor obtenido en la suma de Riemann
por que como podemos ver sobresale un poco el valor de los rectángulos sobre la curva pero a medida
que aumente el valor de los rectángulos disminuye el valor, por ejemplo cuando n=20 el área es de
26.16
Ejercicio c.
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área
bajo la curva de la función 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 en el intervalo [-3, 1], en donde use una
partición de n=7.
Calculamos 𝛥𝛥𝛥𝛥
𝑏𝑏−𝑎𝑎 1−(−3)
𝛥𝛥𝛥𝛥 = = ; Se efectúan las operaciones
𝑛𝑛 7
4
𝛥𝛥𝛥𝛥 = ;
7
𝑥𝑥1 = −3 f (𝑥𝑥1 ) = -3
4 −17 −17
𝑥𝑥2 = −3 + 7 = 7
f (𝑥𝑥2 ) =
7
−17 4 −13 −13
𝑥𝑥3 = + = f (𝑥𝑥3 ) =
7 7 7 7
−13 4 −9 −9
𝑥𝑥4 = + = f (𝑥𝑥4 ) =
7 7 7 7
−9 4 −5 −5
𝑥𝑥5 = + = f (𝑥𝑥5 ) =
7 7 7 7
−5 4 −1 −1
𝑥𝑥6 = + = f (𝑥𝑥6 ) =
7 7 7 7
−1 4 3 −3
𝑥𝑥7 = + = f (𝑥𝑥7 ) =
7 7 7 7
1
−17 −13 −9 −5 −1 3 4
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = [−3 + � � +� � + � � + � � + � � + � �] � � ≅ −3,67
−3 7 7 7 7 7 7 7
Cálculo de la integral definida:
1 1
𝑥𝑥 2 12 (−3)2
� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = = − =4
−3 2 −3 2 2
Ejercicio d
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área
bajo la curva de la función 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 en el intervalo [1, 2], en donde use
una partición de n=8.
Partimos de la formula general de la sumatoria de Riemann
𝑛𝑛
𝐼𝐼 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑗𝑗 � ∗ ∆𝑥𝑥
𝑗𝑗=1
Se realizan los cálculos para encontrar los parámetros.
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 2 − (1) 1
∆𝑥𝑥 = = =
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗
𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 + ∆𝑥𝑥 ∗ 𝑗𝑗 = 1 +
𝑛𝑛
Evaluando el 𝑥𝑥𝑖𝑖 en la función principal.
𝑗𝑗 2 𝑗𝑗
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = �1 + � − �1 + �
𝑛𝑛 𝑛𝑛
2𝑗𝑗 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1 + + 2−1−
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗 𝑗𝑗 2
𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = +
𝑛𝑛 𝑛𝑛2
Remplazando en la formula.
𝑛𝑛
𝑗𝑗 𝑗𝑗 2 1
𝐼𝐼 = �( + 2 )( )
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
Resolviendo el paréntesis.
𝑛𝑛
𝑗𝑗 𝑗𝑗 2
𝐼𝐼 = � +
𝑛𝑛2 𝑛𝑛3
𝑗𝑗=1
Aplicando linealidad.
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗 𝑗𝑗 2
𝐼𝐼 = � 2 + � 3
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗=1 𝑗𝑗=1
𝑛𝑛
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)
� 𝑗𝑗 =
2
𝑗𝑗=1
𝑛𝑛
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1)
� 𝑗𝑗 2 =
6
𝑗𝑗=1
𝑛𝑛
𝑗𝑗 1 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛 + 1
� = ∗ ∗ =
𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 2 2𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
𝑛𝑛
𝑗𝑗 2 1 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1) (𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1)
� 3
= 3∗ =
𝑛𝑛 𝑛𝑛 6 6𝑛𝑛2
𝑗𝑗=1
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑗𝑗 𝑗𝑗 2 𝑛𝑛 + 1 (𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1)
𝐼𝐼 = � 2 + � 3 = +
𝑛𝑛 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 6𝑛𝑛2
𝑗𝑗=1 𝑗𝑗=1
8 + 1 (8 + 1)(2 ∗ 8 + 1)
𝐼𝐼 = + = 0.9609 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2∗8 6(8)2
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) en Geogebra.
- Ubique con la ayuda de Geogebra los ocho (8) rectángulos que representan
gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ).
ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con
respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una
partición de n= 8.
Ejercicio e.
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área
bajo la curva de la función 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 en el intervalo [-1,2], en donde use
una partición de n=7.
𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 2 − (−1) 3
∆𝑥𝑥 = = =
𝑛𝑛 7 7
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 + 𝑖𝑖∆𝑥𝑥
3
𝑥𝑥1 = −1 + 0 ∙ � � = −1.00
7
2
𝑓𝑓 (−0.57) = (−0.57) + 2(−0.57) = −0.82
Integral definida:
Ejercicios 3 – Teorema de integración
Ejercicio a
𝑥𝑥
𝐺𝐺(𝑥𝑥) = � (2t2 + √𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
𝐺𝐺 , (𝑥𝑥) = 2x 2 + √𝑥𝑥
𝐺𝐺 , (𝑥𝑥) = 2x 2 + 𝑥𝑥 1⁄2
2 2
𝐺𝐺 , (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 3⁄2
3 3
2 3 2
𝐺𝐺 , (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + �𝑥𝑥 3
3 3
2 3 2x
𝐺𝐺 , (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + √𝑥𝑥
3 3
Ejercicio b.
𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥
𝐺𝐺 (𝑥𝑥 ) = � �2𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
1
El teorema fundamental del cálculo relaciona una derivada con una integral así:
𝑢𝑢(𝑥𝑥)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐺𝐺`(𝑥𝑥 ) = �� 𝑔𝑔(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑� = 𝑔𝑔(𝑢𝑢) − 𝑔𝑔(𝑣𝑣 )
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 2 𝑑𝑑
𝐺𝐺`(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 ) ∗ (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 (1) ∗ (1)
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
Ejercicio c.
𝑥𝑥
𝑡𝑡 2
G ( x) = � 𝑑𝑑𝑑𝑑
−𝑥𝑥 2 1 + 𝑡𝑡 2
𝑥𝑥 2 (−𝑥𝑥 2 )2
G´(x) = 1+𝑥𝑥2 (1) − 1+(−𝑥𝑥2 )2 (−2𝑥𝑥); Simplificamos tenemos:
𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥 5
G´(x) = 1+𝑥𝑥2 + 1+𝑥𝑥4 ; Respuesta.
Ejercicio d
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
G(x) = � 𝑡𝑡 5 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
6𝑥𝑥 2 3
G ′(𝑥𝑥) = 9𝑥𝑥 2 − 4.5 + 4 3
−4
2𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − 1
2
24𝑥𝑥 12
G′(𝑥𝑥 ) = 9𝑥𝑥 2 − 4.5 + 3 −
2𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − 1
Ejercicio a.
5
� 𝑥𝑥 2 [𝑥𝑥 4 − 4(𝑥𝑥 3 )(5) + 6(𝑥𝑥 2 )(52 ) − 4x(53 ) + 54 ]𝑑𝑑𝑑𝑑
0
5
∫0 𝑥𝑥 2 [𝑥𝑥 4 − 20x 3 + 150x 2 − 500x + 625]𝑑𝑑𝑑𝑑
5
� (𝑥𝑥 6 − 20x 5 + 150x 4 − 500x 3 + 625x 2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
Ejercicio b.
Desarrollo:
4
� |𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15|𝑑𝑑𝑑𝑑
1
4 4
𝑥𝑥 3
� (𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �− + 𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥�
2
1 3 1
4
43 13
� −(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �− + (4)2 + 15 ∗ 4� − �− + (1)2 + 15 ∗ 1�
1 3 3
4
64 1
� −(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �− + 16 + 60� − �− + 1 + 15�
1 3 3
4
164 47
� −(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1 3 3
4
� −(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 39
1
Ejercicio c.
Calcular la siguiente integral definida:
3𝜋𝜋
2
� [15𝑥𝑥 2 + 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 2 𝑥𝑥)] 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
Solución:
3𝜋𝜋 3𝜋𝜋
∫02 15𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫02 3cos(2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑; Calculamos las integrales:
3𝛱𝛱 3𝛱𝛱
15𝑥𝑥 3 2 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥) 2
+ =; Reemplazamos límite superior e inferior:
3 0 2 0
3𝛱𝛱 3 3 3𝛱𝛱
5[( ) − 0] + �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 � � − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(0)� =; Efectuando los cálculos, tenemos:
2 2 2
27𝛱𝛱3 3
5( )+ [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝛱𝛱 ) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(0)]= 523,23
8 2
Ejercicio d.
Evaluando.
8 �2 2
√𝑥𝑥 − 3�
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2.9590
4 2√𝑥𝑥
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la
cual acaba de hallar el área con la integral definida.
Ejercicio e.
Calcular la siguiente integral definida,
𝜋𝜋
2
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 (𝑥𝑥)
� 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (𝑥𝑥)
0
𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 2
1 − 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 (𝑥𝑥) 1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 (𝑥𝑥)
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � − � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (𝑥𝑥)
0 0
𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑥𝑥) 2
1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥)
= �� − � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑥𝑥)) 𝑑𝑑𝑑𝑑
1 1
0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) 0
𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 2
= �(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) − (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥))) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ��𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥 ) − 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥 )� 𝑑𝑑𝑑𝑑
0 0
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 2 2
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 2 2 2
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) 2
= 2� 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥 )) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 2
0 0 0 0
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋
2 2 2 4
https://youtu.be/y4NR40--lxM