CORRECCION Tarea 3 100411 129
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Presentado a:
Rafael Gaitán
Tutor
Entregado por:
CALCULO INTEGRAL
Grupo: 100411_129
28 DE JUNIO DE 2019
DOSQUEBRADAS, RDA
Introducción
Desarrollo de los ejercicios b de los 4 Tipos de ejercicios.
Estudiante: Angela Patricia Fernandez Leal
Código: 1088267324
Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp. 109– 114).
Ejercicio b.
Solución
para hallar el área comprendida entre dos curvas se utiliza la fórmula de integración:
𝑏
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑎
Para encontrar los límites de integración, se igualan las ecuaciones y se encuentran las raíces
para “x”, de tal modo que,
𝑥 + 4 = 𝑥2 − 2
𝑥2 − 𝑥 − 2 − 4 = 0
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
𝑥1 = −2 𝑥2 = 3
De esta manera, la integral queda,
3
𝐴 = ∫ [(𝑥 + 4) − (𝑥 2 − 2)]𝑑𝑥
−2
Resolviendo la integral,
3 3
∫ [𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 2]𝑑𝑥 = ∫ [−𝑥 2 + 𝑥 + 6]𝑑𝑥
−2 −2
3
𝑥3 𝑥2 3
= ∫ [−𝑥 2 + 𝑥 + 6]𝑑𝑥 = − + + 6𝑥⌋
−2 3 2 −2
3
33 32 (−2)3 (−2)2
= ∫ [−𝑥 2 + 𝑥 + 6]𝑑𝑥 = [− + + 6(3)] − [− + + 6(−2)]
−2 3 2 3 2
3 (−8) 4
27 9
= ∫ [−𝑥 2 + 𝑥 + 6]𝑑𝑥 = [− + + 18] − [− + + (−12)]
−2 3 2 3 2
3
125
= ∫ [−𝑥 2 + 𝑥 + 6]𝑑𝑥 =
−2 6
Commented [RGO2]: La gráfica no corresponde a las
funciones del ejercicio.
Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución.
Guerrero, G. (2015). Cálculo Integral. Grupo Editorial Patria. (pp. 241 – 255).
Ejercicio b.
Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas
1
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , y, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 +1. Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo.
Solución
El cálculo del volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región entre ambas
funciones se determina con la siguiente fórmula:
𝑥2
𝑉 = 𝜋 ∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 }𝑑𝑥
𝑥1
Ambas funciones poseen como asíntota el eje coordenado “X”, por lo cual los límites de
integración son:
𝑥1 = −∞ 𝑥2 = 0
Además, en cero “0” las dos funciones poseen el mismo valor, f(x) = 1; g(x) = 1.
0 2
1
𝑉 = 𝜋 ∫ {[𝑒 𝑥 ]2 − [ ] } 𝑑𝑥
−∞ 𝑥2 +1
0 0
1 2𝑥 0 1 1 1
∫ [𝑒 𝑥 ]2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = [𝑒 ] = (𝑒 −∞ − 𝑒 0 ) = (1) =
−∞ −∞ 2 −∞ 2 2 2
Y la otra integral es,
0
1 2
∫ [ ] 𝑑𝑥
−∞ 𝑥2 +1
1 2𝑛 − 3 1 𝑥
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 +
(𝑎𝑥 2 + 𝑏)𝑛 2𝑏(𝑛 − 1) (𝑎𝑥 2 + 𝑏)𝑛−1 2𝑏(𝑛 − 1)(𝑎𝑥 2 + 𝑏)𝑛−1
𝑎 = 1; 𝑏 = 1; 𝑛 = 2,
𝑥 1 1
+ ∫ 𝑑𝑥
2(𝑥 2 + 1) 2 𝑥 2 + 1
De manera tal que la integral final se resuelve de forma directa por fórmula,
1
∫ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑥2 + 1
1 𝜋 1−𝜋 𝜋 − 𝜋2
𝑉 = 𝜋( − ) = 𝜋( )=
2 2 2 2
Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia.
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193 - 209).
Ejercicio b.
𝑑𝐵𝑎
Si representa la variación de población de bacterias con respecto al tiempo.
𝑑𝑡
Solución
Para conocer cuántas bacterias se afectan en el intervalo de tiempo de [5,25] expresado el tempo
en minutos, se integra a ambos lados de la ecuación,
25
𝑑𝐵𝑎 1 𝑡
∫ =∫ 𝑒 2 𝑑𝑡
𝑑𝑡 5 1000
Tal que,
25 𝑡
1
𝐵𝑎 = ∫ 𝑒 2 𝑑𝑡
1000 5
Al resolver la integral,
25 𝑡 25
∫ 𝑒 2 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 2𝑒 𝑢
5 5
𝑡 𝑑𝑡
𝑢= 𝑑𝑢 =
2 2
25 𝑡 𝑡 25 5
25
∫ 𝑒 2 𝑑𝑡 = [2𝑒 2 ] = 2𝑒 2 − 2𝑒 2 = 536650,2081
5 5
1 𝑡 1 𝑡
𝐵𝑎 = ∫ 𝑒 2 𝑑𝑡 = [2𝑒 2 ]
1000 1000
2
1071 = 𝑒𝑡2
1000
1 𝑡
[𝑒 2 ] = 1071
500
𝑡
𝑒 2 = 500(1071)
𝑡
𝑒 2 = 535500
𝑡
𝐿𝑛 [𝑒 2 ] = 𝐿𝑛[535500]
𝑡
= 13.1909
2
𝑡 = 2(13.1909) = 26.3819
Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general.
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193 - 209).
Ejercicio b.
El costo marginal de un producto cuando se producen x unidades es −3𝑥 2 + 60𝑥 + 4000 pesos
por unidad. Si el coste total de producción de las 10 primeras unidades es de 90000. ¿Cuál es el
costo total de producción de las 50 primeras unidades?
Solución
Para encontrar el costo total de la producción se utiliza el proceso de integración del costo
marginal, de modo tal que,
𝐶𝑇 (𝑥) = ∫ 𝑐(𝑥)𝑑𝑥
Luego,
𝐶𝑇 (𝑥) = −3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 60 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 4000 ∫ 𝑑𝑥
𝑥3 𝑥2
𝐶𝑇 (𝑥) = −3 + 60 + 4000𝑥 + 𝐾
3 2
Como las 10 primeras unidades cuestan 90000, estos valores permiten encontrar la constante
“K”,
𝐾 = 48000
Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp. 109– 114).
Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=t
rue&db=edselb&AN=edselb.3201200&lang=es&site=eds-live
Guerrero, G. (2015). Cálculo Integral. Grupo Editorial Patria. (pp. 241 – 260). Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=t
rue&db=edselb&AN=edselb.3227587&lang=es&site=eds-live
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193 -
200).
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true
&db=edselb&AN=edselb.4849816&lang=es&site=eds-live