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101 - 1065573659 Unad
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UNIDAD 2
GRUPO: 100412_101
m 2=−1
y ( 0 ) = {C 1 e }+{ C2 e−(0 ) }=−1 Calculamos los valores de las constantes con los
4 ( 0)
y ' ( 0 )=4 C1 e 4 (0 )−C 2 e−( 0)=−3 La segunda condición inicial nos dice que:
'
4 C1−C 2=−3 y ( 0 )=−3
C =
|−3 −1| 1+3 −4
−1 1
= =
Con estas dos ecuaciones se realiza una solución
del sistema de incógnitas a través del método de
|4 −1|
1
1 1 −1−4 5 Cramer.
C =
| 4 −3| −3+ 4 −1
1 −1
= =
|4 −1|
2
1 1 −1−4 5
y= {5
e +
5}{
−4 4 x −1 −x
e } Luego de conocer los valores de las constantes las
reemplazamos en la solución para dar fin al
ejercicio.
y part =C 3 e
2x
La solución particular se halla con su estructura
acorde siendo derivada las veces necesarias para
' 2x
y part =2 C3 e reemplazar en la ecuación original y luego
'' 2x
proceder a calcular la constante.
y part =4 C3 e
4 C3 e 2 x −6 C 3 e 2 x −4 C 3 e2 x =3 e2 x
−6 C 3 e 2 x =3 e2 x
−1
C 3=
2
y=x
m
Realizamos una sustitución simple para poder
llegar a la solución homogénea de la ecuación.
[ m−1]
y '=m x
Derivamos dos veces para reemplazar en la
y ' '=m[m−1] x [m−2 ] ecuación inicial.
m2 +3 m+5=0
−3 ± √−11
m=
2
[ ]
[ ( ) ( )] Quedando como resultado la siguiente solución
−3
y = x 2 ∗ m cos
√ 11 ∗ln x + m sin √ 11 ∗ln x
a 1
2 2
2 homogénea
[ ]
[ ( √ ) ( √ )]
−3
2 11 11 Usamos las condiciones iniciales dadas al principio
y ( 1 )=[1] ∗ m1 cos ∗ln 1 +m2 sin ∗ln 1 = 0 hallar las constantes
para
2 2
m 1=0 y ( 1 )=0
y ' ( 1 ) =1
[ ]
[ ( )]
Como ya obtuvimos el valor de m1 lo
−3
y = x ∗ m sin2√ 11 ∗ln x
a 2
2 reemplazamos en la ecuación y derivamos para
calcular m2.
−3 [
[
]∗ m sin √ 11 ∗ln x
( )] [ ]
[ (2 )]∗[ √211x ]
−5 −3
y 'a = x
2 2
+ x ∗ m cos
√ 11 ∗ln x
2 2
2 2
−3 [
[ (
]∗ m sin √ 11 ∗ln 1
)] [ 2 ]
[ ( )]∗[ 2∗1 ]
−5 −3
'
y ( 1) = [ 1] 2
+ [ 1 ] ∗ m cos
√ 11 ∗ln 1 √11 =1
2 2
2 2 2
[ 2 ]
[ (2 )]
−3
2 √11 √11 ∗ln x
y=x ∗ sin
11
m [ m−1 ]∗[ m−2 ] x m −3 m∗[ m−1 ] x + 4 mxm −4 x m =0 Reemplazamos los nuevos términos calculados en
m
m=4
m=1
m=1
y 'part
''
={6C 3 }
C 4 x }+ { C5 } }−4∗{{C
x ∗{6 C3 }−3 x ∗{{6 C 3 x }+ {2 C4 }}+ 4 x∗{{3 C3 x }+ {2Reemplazamos las 3derivadas }+ {Cla5 x } +{C
x }+{C 4 x en ecuación
3 2 2 3 2
}}=−4 x
principal y simplificamos todos los términos
{6 C 3 x }−{18 C 3 x }−{6 C 4 x }+{12C 3 x }+{8 C 4 x }+ { 4 C 5 x } −{4 C3 x }−{4 C 4 x }−{ 4 C5 x }−{4 C }=−4 x
3 3 2 3 2 3 2 3
4
y=C 1 x + C2 x+C 3 x ln x+ x
3
Esta sería la solución general de la ecuación.
1. ¿Cuál es el enunciado del Considere una varilla de longitud 𝑙a la que se fija una
problema que me corresponde masa m en un extremo. Suponiendo que masa de la
resolver? varilla es despreciable y que ninguna fuerza externa de
amortiguamiento o motriz actúa sobre el sistema
entonces esta situación se puede modelar por una
ecuación diferencial
g
θ' ' + sen ( θ )=0
l
θ ' ( 0 ) =0
4. ¿Cuál es el método utilizado para Una solución exponencial es necesaria para encontrar la
encontrar la solución general y (t ) solución general de la ecuación, esta serpia de la forma:
de la ecuación diferencial?
(Detalle paso a paso de este {C 1 emt }
método).
Siendo m las raíces del polinomio.
Simplificar.
6. ¿Por qué esta solución particular Porque el ejercicio nos brinda unas condiciones
encontrada en el anterior ítem es iniciales, por lo tanto, estas condiciones hacen que la
la solución de este problema? solución sea única para este problema.
'' 49 π
b.θ + θ=0 ;θ ( 0 )= ; θ ' ( 0 ) =0
3 8
{ ( √ ) } { ( √ )}
θ= C 1 cos
7 3
3
t + C2 sin
7 3
3
t
multiplicadas por una función exponencial. Debido
a que estas funciones no tienen parte real, se
reemplazan con el valor de 1.
{ (
θ ( 0 ) = C 1 cos
7 √3
3 )} { 7 3
3 (
∗0 + C 2 sin √ ∗0 =
π
8 )}
Usamos las condiciones iniciales para hallar las
constantes.
π
C 1=
8 π
θ (0)=
8
Hallamos el valor de C1
'
θ ( 0 )= { −7 √ 3
3
C1 sin
3(
7 √3
∗0 + ¿ )}
Segunda condición inicial
θ' ( 0 )=−3
7 √3
C2=0
3
Hallamos el valor de C2
C 2=0
θ=
{ ( )}
π
8
cos √ t
7 3
3
Reemplazamos los valores de las constantes en la
solución.
θ(30)=
{ (
π
8
cos √ ∗30
7 3
3 )}
Para finalizar el ejercicio, evaluamos la ecuación
en 30, ahí es donde nos lo pide el ejercicio y
concluimos que después de 30 segundos el ángulo
es de -0.1131 radianes.
θ ( 30 )=−0.1131rad
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS