Cuerpos Geométricos

1.
Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean
reales o ideales - existen en la realidad o pueden concebirse
mentalmente -ocupan un volumen en el espacio desarrollándose
por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están
compuestos por figuras geométricas.
Clasificación:
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar
en poliedros o cuerpo geométrico redondo.
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas
caras son todas figuras geométricas planas exclusivamente. Entre
los más conocidos:
 Pirámide
 Prisma
 Paralelepípedo
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de
sus caras o superficies de forma curva. Entre los más conocidos:
 Esfera
 Cono
 Cilindro
Pirámide
Pirámide Cuadrangular
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es
un polígono con una cara; y por caras, que
son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide,
aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de
polígonos que lo limitan.
Paralelepípedo
Forma sólida con seis caras de forma que todas las caras opuestas
son paralelas. En un paralelepípedo, las seis caras son
paralelogramos. Si las caras son rectángulos, se le llama
paralelepípedo rectangular. Si las caras son cuadrados, es un cubo.
Cono
En geometría, un cono recto es un sólido de revolución

generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de
sus catetos.
Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y

al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
Superficie cónica:
Se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto

de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a
una circunferencia no coplanaria.
Cilindro
Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los
puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada,
el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene
mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de
revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos
perpendiculares al eje también se llamado cilindro.
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general
como cualquier superficie reglada generada por una familia
uniparametrica de líneas paralelas.
Cilindro recto
2. Construcción y modelaje de los cuerpos geométricos
A continuación presentamos algunos cuerpos geométricos

que se encuentran en el nuestro medio, de forma
3. Áreas de cálculos de áreas laterales, basales y totales
de cuerpos geométricos
Área de los prismas
El área de un prisma o de cualquier poliedro, es la suma de

las áreas de cada una de sus caras. Podemos distinguir:
Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En el prisma

las caras laterales son rectángulas.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases.
Las bases son dos polígonos iguales.
Paralelepípedo:
Desarrollo de un paralelepípedo: se obtienen seis rectángulos
iguales dos a dos. Las caras opuestas son iguales.
a) Calcula el área lateral y el área total de un paralelepípedo de

25 cm de alto, 15 cm de ancho y 10 cm de largo.
Área lateral:
Hay dos rectángulos de 25 por 15: A=25·15=375 cm2

Hay dos rectángulos de 25 por 10: A=25·10=250 cm2
El área lateral es: Al = 2 · 375 + 2 · 250 = 1250 cm2
Área total:
Las bases son dos rectángulos de 15 por 10:
A = 25 · 15 = 375 cm2
El área total es: At = 1250 + 2 · 150 = 1550 cm2
b) Calcula el área lateral y el área total de un prisma pentagonal

de 30 cm de alto y 12 cm de arista de la base. La apotema de
la base mide 8,26 cm.
Área lateral:
Hay cinco rectángulos de 30 por 12: 30 · 12 = 360 cm2
El área lateral es: Al = 5 · 360 = 1800 cm2
Área total:
Las bases son dos pentágonos de 12 cm de lado y 8,26 cm de

apotema:
P·a5·12·8,26Ab===247,822 cm2
El área total es: At = 1800 + 2 · 247,8 = 2295,6 cm2
Área de la pirámide y del tronco de una pirámide
Área de una pirámide
Al desarrollar una pirámide se obtiene la base que es un polígono y

las caras laterales que son triángulos.
Desarrollo de una pirámide de base cuadrada: se obtienen cuatro

triángulos isósceles iguales y un cuadrado.
Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base. La base

es un polígono cualquiera, regular o no. (Aquí trabajaremos con
bases que son polígonos regulares).
Calcula el área lateral y el área total de una pirámide de base

cuadrada de 25 cm de arista lateral y 15 cm de arista de la base.
Área lateral:
Hay cuatro triángulos de 15 cm de base. Se necesita calcular la
altura:
h=√ 252−7 2 =√ 568,75 = 23, 85 cm
base · altura
A= 2
= 15·23,85A===178,86cm22
El área lateral es:
Al = 4 · 178,86 = 715,45 cm2
Área total:
La base es un cuadrado de 15 cm de lado:
Ab = 15 · 15 = 225 cm2
El área total es:
At = 715,45 + 225 = 940,45 cm2
4. Área de los cuerpos de revolución
Área de un cilindro
El desarrollo de un cilindro se compone de dos círculos que

son las bases y un rectángulo de base la longitud de la
circunferencia y de altura la del cilindro.
Área de un cono
El desarrollo de un cono se compone del círculo de la base y

un sector circular que tiene por longitud de arco, la longitud de la
circunferencia y por radio, la generatriz del cono.
Áreas de cuerpos geométricos
Área lateral: Al=2·π·r·h
Área total: At=2·π·r·h+ 2·π·r2
Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 25 cm de alto,

y de 15 cm de radio de la base.
Área lateral: Al = 2·π·r·h = 2·π·15·25 = 2356,19 cm2
Área de la base: Ab = π·r2 = π·225 = 706,86 cm2
El área total es: At=2356,19+2·706,86=3769,91 cm2

Área lateral: Al=π·r·g
Área total: At=π·r·g+π
Calcula el área lateral y el área total de un cono de 30 cm de

generatriz y de 16 cm de radio de la base.
Área lateral: Al = π·r·g = π·16·30 = 1507,96 cm2
Área de la base: Ab = π·r2 = π·256 = 804,25 cm2
El área total es: At=1507,96+804,25=2312,21 cm2
Área de un tronco de cono
El desarrollo de un tronco de cono se compone quitar dos

círculos que son las bases y una figura llamada trapecio circular que
tiene por lados curvos, las longitudes de las circunferencias y por
altura, la generatriz del tronco de cono.
Área de una esfera
La esfera no se puede desarrollar y representar en un plano.

El área de la esfera es igual a cuatro veces la superficie del círculo
de mayor radio que contiene.
Tronco de cono
Desarrollo de un tronco de cono:
Al cortar un tronco de cono por un plano que pase por los centros
de las dos bases se obtiene este trapecio isósceles del que se
puede deducir la relación que existe entre los radios, la altura y la
generatriz.
Esfera
Área: A=4·π·r2
Área lateral: Al=π·g·(R+r)
Área total: At=π·g·(R+r)+π·R2+π·r2
Calcula el área de una esfera 30 cm de radio.
Área: A = 4·π·r2 = 4·π·302 = 11309,73 cm2
Calcula el área lateral y el área total de un tronco de cono de 15 cm

de generatriz, 10 cm de radio de la base menor y 20 cm de radio de
la base mayor.
Área lateral:
Al = π·g·(R+r) = π·15·(10+20) = 1413,72 cm2
Área de la base menor: Ab = π·102 = 314,16 cm2
Área de la base mayor: AB = π·202 = 1256,64 cm2
El área total es:

At=1413,72+314,16+1256,64=2984,51 cm 2
Resolución de problemas
En diversas ocasiones se presentarán problemas de cálculo

de áreas de cuerpos geométricos, en los que los cuerpos que
aparecen se obtienen agrupando varios de los cuerpos ya
estudiados.
En situaciones de este tipo se descomponen los cuerpos
geométricos en cuerpos más simples y se resuelve el problema por
partes.
Hay que tener cuidado con las caras comunes en la
descomposición para no contarlas dos veces
Áreas de cuerpos geométricos
Calcula el área de la figura 1, sabiendo que las medidas están

expresadas en centímetros
Área de los triángulos: Hay seis triángulos iguales a éste:
H = √ 402 −152=√ 1375=37,08 cm
Área de los rectángulos: Hay seis rectángulos iguales a éste:
30∗37.08
A= 2
= 240 cm2
Área de las bases (hexágono): Las caras horizontales forman un
hexágono de 30 cm de lado:
H= √ 302−152 =√ 675=25,98 cm
El área total es:
At = 6*556,22+6*240+2338,27 = 7115,56 cm2
5. Una aproximación al concepto de volumen de un

cuerpo geométrico
Los cuerpos geométricos antes mencionados están

representados en nuestro medio, llámese paisaje natural y cultural
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Para
medir el volumen de un cuerpo, lo comparamos con el volumen de
otro cuerpo elegido como unidad, y determinamos el número de
unidades que contiene. A todos los cuerpos geométricos se les
puede determinar su volumen, a través de diferentes ecuaciones.
6. Técnica para el calculo de volúmenes, medidas y de

capacidad y resolución de problemas
Y a través de las diferentes formulas que veremos a

continuación podemos terminar los volúmenes de los cuerpos
geométricos.
Figura Esquema Volumen
Cilindro V =  r2 · h
Esfera
Cono
Cubo V = a3
V = área
Prisma
base  h
Pirámide
Tetraedro
Octaedro
Cubo A = 6 a2
Dodecae A = 30 · a ·
dro ap.
Icosaedro
Medidas de capacidad
Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos.
La unidad es el litro que es la capacidad de un decímetro cúbico. En
el dibujo vemos que el líquido de un recipiente de 1 litro cabe en
una caja que tiene un decímetro por cada lado.
El litro se escribe abreviadamente l
También existen otras unidades para medir

cantidades mayores y menores:
kilolitro kl 1000 l
hectolitro hl 100 l
decalitro dal 10 l
litro l 1 l
decilitro dl 0.1 l
centilitro cl 0.01 l
mililitro ml 0.001 l
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos
que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra
menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra
mayor) por la unidad seguida de tantos ceros
como lugares haya entre ellas.
Pasar 50 hl a cl
Tenemos que multiplicar, porque

el hectolitro es mayor que el centilitro; por la
unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro
lugares entre ambos.
50 · 10 000 = 500 000 cl
Pasar 2587 cl a l
Tenemos que dividir porque

el centilitro es menor que el litro, por la unidad
seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre
ambos.
2587 : 100 = 25.87 l
Resolución de problemas
a) Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua.

¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de
radio?
SI!
b) Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10

cm de altura se llena de agua. Si la masa del
recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa
del recipiente vacío?
En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m

de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de
dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm
de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?

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1.

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución

Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y

Se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto

A continuación presentamos algunos cuerpos geométricos

Área de los prismas

El área de un prisma o de cualquier poliedro, es la suma de

Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En el prisma

a) Calcula el área lateral y el área total de un paralelepípedo de

Hay dos rectángulos de 25 por 15: A=25·15=375 cm2

Las bases son dos rectángulos de 15 por 10:

El área total es: At = 1250 + 2 · 150 = 1550 cm2

b) Calcula el área lateral y el área total de un prisma pentagonal

Las bases son dos pentágonos de 12 cm de lado y 8,26 cm de

Área de la pirámide y del tronco de una pirámide

Área de una pirámide

Al desarrollar una pirámide se obtiene la base que es un polígono y

Desarrollo de una pirámide de base cuadrada: se obtienen cuatro

Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales.

Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base. La base

Calcula el área lateral y el área total de una pirámide de base

h=√ 252−7 2 =√ 568,75 = 23, 85 cm

El desarrollo de un cilindro se compone de dos círculos que

El desarrollo de un cono se compone del círculo de la base y

Áreas de cuerpos geométricos

Área lateral: Al=2·π·r·h

Área total: At=2·π·r·h+ 2·π·r2

Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 25 cm de alto,

Área lateral: Al = 2·π·r·h = 2·π·15·25 = 2356,19 cm2

Área de la base: Ab = π·r2 = π·225 = 706,86 cm2

El área total es: At=2356,19+2·706,86=3769,91 cm2

Área total: At=π·r·g+π

Calcula el área lateral y el área total de un cono de 30 cm de

Área lateral: Al = π·r·g = π·16·30 = 1507,96 cm2

Área de la base: Ab = π·r2 = π·256 = 804,25 cm2

El área total es: At=1507,96+804,25=2312,21 cm2

Área de un tronco de cono

El desarrollo de un tronco de cono se compone quitar dos

Área de una esfera

La esfera no se puede desarrollar y representar en un plano.

Desarrollo de un tronco de cono:

Área: A = 4·π·r2 = 4·π·302 = 11309,73 cm2

Calcula el área lateral y el área total de un tronco de cono de 15 cm

Área de la base menor: Ab = π·102 = 314,16 cm2

Área de la base mayor: AB = π·202 = 1256,64 cm2

El área total es:

En diversas ocasiones se presentarán problemas de cálculo

Áreas de cuerpos geométricos

Calcula el área de la figura 1, sabiendo que las medidas están

Área de los triángulos: Hay seis triángulos iguales a éste:

H = √ 402 −152=√ 1375=37,08 cm

Área de los rectángulos: Hay seis rectángulos iguales a éste:

5. Una aproximación al concepto de volumen de un

Los cuerpos geométricos antes mencionados están

6. Técnica para el calculo de volúmenes, medidas y de

Y a través de las diferentes formulas que veremos a

Figura Esquema Volumen

El litro se escribe abreviadamente l