Universidad Privada del Norte

Informe

LEYES TRIGONOMETRICAS,
AREAS DE FIGURAS
REGULARES E
IRREGULARES

Alumno: Paredes Caipo Jose Angel

Docente: Ing. Ocas Boñon Ricardo Javier

Código de aula: 8230

Carrera: Ingeniería Civil

Curso: Topografía

Año: 2023
INDICE
1. Introducción...............................................................................................................................3
2. Resumen.....................................................................................................................................4
3. Abstract......................................................................................................................................5
4. Marco Teórico.............................................................................................................................6
4.1. Aproximación conceptual........................................................................................................6
4.1.1. Fundamentos matemáticos respectos a la Relaciones Trigonométricas:........................6
4.2. Ley de senos:......................................................................................................................8
4.3. Ley de cosenos:..................................................................................................................9
4.4. Que son los polígonos regulares e irregulares:.................................................................11
4.4.1. Polígono regular...........................................................................................................11
4.4.2. Polígono irregular:........................................................................................................12
5. Desarrollo.................................................................................................................................13
5.1. Teorema de senos:............................................................................................................13
5.2. Teorema del coseno:........................................................................................................16
5.3. Áreas Regulares:...............................................................................................................17
5.4. Área de irregulares:..........................................................................................................17
6. Cálculos....................................................................................................................................18
6.1. Ejercicios con la ley de seno y coseno:.............................................................................18
6.2. Problemas con áreas regulares e irregulares:...................................................................20
7. Conclusiones............................................................................................................................23
8. Recomendaciones....................................................................................................................24
9. Bibliografía...............................................................................................................................25
10. Anexo...................................................................................................................................26
 1. Introducción

La trigonometría es una de las ramas de la matemática que no es la excepción a esta

problemática, además de ser un amplio campo de razonamiento, donde a los estudiantes
se les dificulta la compresión de nuevas relaciones y contenidos matemáticos.

Teniendo en cuenta este noble objetivo de enseñar se toma en este trabajo el concepto de
razones trigonométricas para plantear y resolver problemas recreando algunas
experiencias hechas a través del tiempo con el fin de que se conviertan en elementos
fundamentales, en la enseñanza de la matemática para que de esa forma un primer paso
cautivante y motivador que conlleve al educando a la fundamentación de las nociones mas
importantes.

El presente trabajo es para recordar conceptos relacionados con el triangulo y en especial

triángulos, rectángulos para luego introducir el concepto de razones trigonométricas.
Finalmente se resolver problemas geométricos utilizando definiciones sobre los elementos
de las figuras geométricas y el área de polígonos regulares e irregulares.
 2. Resumen

En el siguiente informe se muestra las leyes trigonométricas (ley de seno y coseno),

tambien hablamos sobre los polígonos regulares e irregulares. Teniendo en cuenta la ley
de los senos y coseno, demostramos sus definiciones y como se puede aplicar en cualquier
tipo de triángulos, posteriormente resolviendo problemas matemáticos. De igual manera
trabajamos con los polígonos regulares e irregulares, conociendo su perímetro y la área del
polígono. Ya que la diferencia de dichos polígonos solo es sus lados y áreas que tienen.

Tambien el informe cuenta con imágenes para poder reforzar el aprendizaje de nuestro
lector. En especialmente cuando se trabaja con problemas geométricos, como triángulos
cuadrados o cualquier otro polígono que tiene que ser plasmado.
 3. Abstract

The following report shows the trigonometric laws (law of sine and cosine), we also talk
about regular and irregular polygons. Taking into account the law of sines and cosines, we
demonstrate its definitions and how it can be applied to any type of triangle, later solving
mathematical problems. In the same way we work with regular and irregular polygons,
knowing their perimeter and the area of the polygon. Since the difference of these
polygons is only their sides and areas that they have.

The report also has images to reinforce the learning of our reader. Especially when
working with geometric problems, such as square triangles or any other polygon that has
to be shaped.
 4. Marco Teórico

4.1. Aproximación conceptual.

Trataremos de abordar lo fundamental de la parte histórica de la trigonometría,
esencialmente en los conceptos de esta, trabajados dentro de la sistematización de las
experiencias, como son; el significado de las seis relaciones trigonométricas de un
triángulo y rectángulo. La ley de senos y la ley de cosenos, la aplicación de estas leyes en
distintos campos, como la topografía, ingeniería y la navegación.

4.1.1. Fundamentos matemáticos respectos a la Relaciones Trigonométricas:

De acuerdo con Swokowshi (2011), “las funciones trigonométricas históricamente se
originan como razones entre los lados de un triángulo rectángulo”. (p. 378) De acuerdo
con lo anterior tenemos que: Dado un triángulo rectángulo, con la hipotenusa de longitud
∁, y el cateto de longitudes α y b , uno de los ángulos distintos al ángulo recto, es el ángulo
π
agudo θ , es decir 0 °<θ< 90° , medido en grados y 0<θ < , medido en radianes y
2
formando un triángulo rectángulo con el ángulo y usando los tres lados del mismo se
b a b c c a
pueden formar justo 6 razones: , . . . ,
c c a b a b
Imagen 01

Las razones escritas anteriormente, solo depende del tamaño del ángulo θ y no del
triángulo rectángulo formado. Cualquier par de triángulos rectángulos formados usando el
ángulo θ serán semejante, por lo tanto, las razones correspondientes serán iguales; como
resultado tenemos:
b b ´ a a ´ b b ´ c c ´ c c ´ a a´
= ; = ; = ; = ; = ; =
c c ´ c c ´ a a´ b b ´ a a ´ b b ´
Donde a ´ , b ´ , c ´ , son los lados proporcionales a los lados a,b,c, para los triángulos
rectángulos semejantes.
Como las razones solo dependen del ángulo θ y no del triangulo en si, a cada relación se le
da un nombre que involucra a θ : seno de θ , coseno de θ , tangente de θ , cosecante de θ
secante de θ , y cotangente de θ . Asi estas seis relaciones trigonométricas de un triángulo
rectángulo se definen asi:

Seno θ = cateto opuesto / hipotenusa = b/c

coseno θ=cateto adyasente /hipotenusa=a/b
tangente θ=cateto opuesto/ cateto adyacente=b /c
cotangente θ=cateto adyacente /cateto opuesto=a/b
secante θ=hipotenusa/cateto adyacente=c /a
cosecante θ=hipotenusa/cateto opuesto=c /b

imagen 02 valores del angulo θ

Las anteriores seis relaciones trigonométricas son fundamentalmente utilizadas para
resolver triángulos rectángulos, o para resolver distintas situaciones de otras disciplinas,
donde geométricamente se pueda construir un triángulo rectángulo como, por ejemplo:

 En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el

ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco
consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente
tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En1990 un observador situado a 46
m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la
punta de la torre.
 En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una
placa de cierto material. En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a
la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se
puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. El capitán de
un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta,
ordenando modificar el rumbo en grados para dirigirse directamente al punto
destino correcto.
Las seis relaciones trigonométricas como se nombró anteriormente sólo nos sirven
para resolver triángulos rectángulos o situaciones de otras disciplinas donde se pueda
construir un triángulo rectángulo, sin embargo si se tiene otra clase de triángulos como
los triángulos oblicuos que son aquellos donde no tienen un ángulo recto éstas seis
relaciones no pueden ser utilizadas, es aquí donde hay dos leyes en la trigonometría
esenciales que son la ley del seno y del coseno que permiten resolver una determinada
situación matemática o de otro contexto relacionada con triángulos oblicuos.

4.2. Ley de senos:

De acuerdo con Swokowski (2011), La ley de senos trata fundamentalmente de que

la razón en todo triángulo oblicuo entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a
ese ángulo es igual a la razón entre el seno del otro ángulo y el lado opuesto a ese
ángulo. Esta ley se usa para encontrar los valores restantes de un triángulo oblicuo,
cuando conocemos: dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, llamado criterio
(LLA) y cuando conocemos dos ángulos y cualquier lado llamado criterio (AAL o
ALA). Matemáticamente: escribimos la ley de senos así:
 sen A / a=senB /b=senC /c , donde a,b,c simbolizan la longitud de cada lado, y A,
B, C, simboliza los ángulos opuestos a cada lado.

figura 03: demostracion de laley de senos

4.3. Ley de cosenos:

La ley de senos no se puede aplicar directamente para hallar las partes restantes de
un triángulo oblicuo o en el caso de resolver un problema en el que pueda ser
solucionado por medio de la representación de un triángulo cuando se da
cualquiera de los siguientes criterios:

 Conocido dos lados y el ángulos entre ellos (LAL)

 Cuando se conocen los tres lados (LLL)
Para estos casos podemos aplicar la ley de cosenos, que de acuerdo con Swokowski
(2011) dice que “el cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es
igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el
doble producto de las 34 Ilustración 1Trabajo de mediciones longitudes de los otros
dos lados y el coseno del ángulo entre ellos”. En este sentido tenemos que la ley de
cosenos se simboliza así:

2 2 2
a =b +c −2 cbcos A
2 2 2
b =a +c −2 cacos B
 2 2 2
c =b + a −2 abcos C
Donde a . b , c , representan las longitudes de un triángulo oblicuo y A, B, C los
ángulos opuestos respectivamente a cada uno de los lados.
Imagen 01

Figura 04 ley de cosenos

4.4. Que son los polígonos regulares e irregulares:

Los polígonos son los que se entienden en geometría como figuras planas con un
determinado numero de lados que engloban una región de un plano de manera finita. Esos
costados que forman los segmentos de la figura se conocen como aristas y el punto en el
que se juntan dos aristas se llama vértice o esquina.
Hay distintas clasificaciones para polígonos, pero en este articulo hablaremos de los
polígonos regulares y los irregulares.

4.4.1. Polígono regular

Un Polígono Regular es aquel cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos
iguales.
Lado: cada segmento de la línea poligonal cerrada
Vértice: cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos
Centro: punto que equidista de los vértices.
Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.
Radio: segmentos que une el centro el polígono con cada uno de los vértices.
Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.
Angulo interior: cada uno de los ángulos formados por dos vértices no consecutivos.
 Figura 05 elementos de un Polígono Regular

Cada polígono regular recibe un nombre según el numero de lados, por ejemplo, el de 3 lados se le
conoce como triangulo equilátero, el de cuatro; cuadrado, el de cinco lados: pentágono, el que tiene
6 lados, hexágono, etc.

4.4.2. Polígono irregular:

Un polígono irregular es aquel polígono con lados y ángulos desiguales, como se puede
apreciar en la siguiente imagen.

Figura 06 Polígono Irregular

5. Desarrollo

Resolución de triángulos:

5.1. Teorema de senos:

El teorema de seno dice que dado cualquier triángulo de lados a,b y c, cuyos ángulos
interiores son α , formados por los lados b y c ; β , formados por los lados a y c ; y γ forma
por los lados a y b, se cumple que :

sen a sen β sen γ

= =
a b c
 Demostración

Para demostrar este teorema hay que ver que la relación que cumple para los triángulos,
por lo que vamos a demostrarlo para triángulos acutángulos, obtusángulo y recto.
  Triangulo acutángulo: Si en el triángulo trazamos la altura h tomando al lado c
como base podemos escribir

h
sen a= h=b sen a
b
h
senβ= h=a sen β
a
Luego de igualado las dos expresiones de h encontramos que:

b sen a=a sen β

sen a sen β
=
a b
Si trazamos la altura de h´ encontramos que:
h´
sen β= h ´ =c sen β
c
h´
sen γ = h ´ =b sen γ
b
Luego, igualando las dos expresiones de h´ encontramos que:

c sen β=b sen γ

 sen β sen γ
=
b c
sen α sen β sen β sen γ
Finalmente, encontramos que como = y = demostramos que el teorema
a b b c
del seno se cumple para los triángulos acutángulos.

 Triángulos obtusángulos: Esta demostración sigue la misma metodología

que 1llevamos a cabo anteriormente. Trazando la altura h tomando al lado c
como base. Por lo tanto
FIGURA DE UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

h
sen a= h=b sen α
b
h
sen ( π −β )=sen β= h=a sen β
a
Por lo tanto

sen a sen β
=
a b
Si ahora trazamos la altura h´ tomando el lado b como base podemos escribir que:

h´ sen a sen γ
sema= h ´ =c sen a=a sen γ ⟹ =
c a c
h´
sen γ =
a
 sen a sen β sen a sen γ
Finalmente, encontramos que = y = demostrando que el teorema del
a b a c
seno se cumple del seno se cumple para triángulos obtusángulos.

 Triángulos Rectángulos: esta demostración de coseno aplicando a un

triángulo rectángulo es más simple ya β=π /2 entonces sen β=1

a
sen a=
B
b sen a=a
b sen a=a sen β ( vale porque sen β=1)
sen a sen β
=
a b
Análogamente tenemos que:

c
sen γ =
b
b sen γ =c
b senγ =c sen β
sen γ sen β
=
c b
sen a sen β sen β sen γ
Finalmente, encontramos que como = y = demostrando que el teorema
a b b c
del seno se cumple para triángulos rectángulos.
 5.2. Teorema del coseno:
Vamos a demostrar la ley de cosenos con el triángulo acutángulo, obtusángulo y por el
ultimo con el triángulo rectángulo demostrando que vale con cualquier triangulo.

triangulo obtusángulo

h
sen a= ⇒ h=b sen a
b
c1
cos a= ⇒c 1=b cos a
b
c=c1 + c2 ⇒c 2=c −c 1=c−b cos a

Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

2 2 2
a =h +c 2

Luego, reemplazamos que h = b sen a y c 2=c−bcos a

2 2 2
a =h +c 2

¿( b sen a)2 +(c−b cos a)2

2 2 2 2 2
¿ b sen a+c −2 cb cos a+b cos a

b ( sen a+cos a ) +c −2 bc cos a

2 2 2 2

2 2
b + c −2bc cos a
De este modo encontramos que a 2=b2 +c 2−2 bc cos a . Ahora hay que encontrar las otras dos
igualdades. Estos se hacen de forma análoga.

5.3. Áreas Regulares:

Es aquel tiene la misma longitud y cuyos ángulos son iguales:

IMAGEN DE LOS ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR:

5.4. Área de irregulares:

Una área o polígono irregular es aquel con lados y ángulos desiguales, como puede
observarse en la siguiente imagen.
 6. Cálculos

6.1. Ejercicios con la ley de seno y coseno:

Problema 01:
Calcular
sen (x+ π )cos ⁡( 3 π −x)
+ sen−2 (−x ) +csc −2 ( π−x )=¿
sen ( π −x ) cos ⁡( π + x )
Para resolver este problema debemos utilizar las relaciones fundamentales y sus corolarios
(funciones trigonométricas al ángulo opuesto, del ángulo doble y del ángulo mitad)

 sen(x + π)
sen ( x+ π ) =sen ( x ) cos ( π )+ cos ( x ) sen ( π )
¿ sen ( x ) (−1 ) +cos ( x ) 0
¿−sen (x)
 sen(x−π )
sen ( π −x )=sen ( π ) cos ( x )−cos ( π ) sen(x )
¿ 0 cos ( x )−(−1 ) sen ( x )
¿ sen ( x )
 cos ( 3 π−x )
cos ( 3 π−x )=cos ( 3 π ) cos ( x ) + sen ( 3 π ) sen ( x )
¿ cos ( 2 π +π ) cos ( x ) + sen ( 2 π + π ) sen ( x )
¿ cos ( π ) cos ( x )+ sen ( π ) sen ( x )
¿ (−1 ) cos ( x )+ 0 sen ( x )
¿−cos ( x )
 cos ( π+ x)
cos ( π + x )=cos ( π ) cos ( x )−sen ( π ) sen ( x )
¿ (−1 ) cos ( x )−0 sen ( x )
¿−cos( x )

 sec−2 (−x)
−2 −2
sec (−x )=[sec (−x ) ]

[ ]
−2
1
¿
cos (−x )
2
¿ [ cos (−x ) ]
2
¿ [ cos ( x ) ]
¿ cos 2( x)
  csc −2(π −x)
−2 −2
csc ( π−x ) ¿[ csc ( π −x ) ]
¿¿
−2
¿ [ sen ( π −x ) ]
2
¿ [ sen ( π ) cos ( x )−cos ( π ) sen ( π ) ]
2
¿ [ 0 cos ( x )−(−1 ) sen ( x ) ]
2
¿ [ sen ( x ) ]
¿ sen2 ( x )
Ahora adjuntamos todos los resultados y resolvemos:
sen ( x + π ) cos ( 3 π −x )
+ sec−2 (−x ) + csc−2 ( π− x ) ¿
sen ( π + x ) cos ( π + x )
−sen ( x ) −cos ( x )
¿ + cos2 ( x ) + sen2 ( x )
sen cos ( x )
¿−1.1+ 1
¿0

Problema 02

Claudio y Daniel están a 53 metros uno de otro. Claudio, desde su posición. Ve un cofre
pirata, e inmediatamente mí el ángulo que la misma forma con la posición de Daniel,
resultando de 37° Daniel, al advertirlo, mide enseguida una angula que forma el cofre con
Claudio resultando 44° calcular quien de los dos se halla más cerca del cofre.
En estos problemas hay dos puntos importantes a tener en cuenta: uno es hacer el gráfico
de la situación correctamente, y el otro es su resolución.
En el gráfico vamos a llamar C a la posición de Claudio, D a la posición de Daniel y c a la
posición del cofre. Queda claro que éstos serán los vértices del triángulo.
Luego hay que reconocer los ángulos que corresponden a los datos del problema. Uno es el
ángulo que mide Claudio, que es el ángulo que el cofre forma con Daniel. Esto quiere decir
que el vértice del ángulo será Claudio.
El otro ángulo es el medido por Daniel, por lo tanto, será el ángulo cuyo vértice es D. Para
poder saber quién está más cerca del cofre hay que calcular las longitudes de los
segmentos Cc y Dc . A estas distancias las llamaremos x e y respectivamente. Finalmente,
nuestro esquema del problema es el siguiente:
 Ahora para resolver el problema, primero vamos a hallar la amplitud de ángulo restante,
que llamaremos β. Esto lo hacemos utilizando el hecho de que los ángulos interiores
suman 180◦.
β +37 °+ 44=180 °
β=180 °−37 ° −44 °
β=90 °
Luego, para determinar los valores de x e y vamos a usar el teorema del seno. Primero
busquemos
senβ sen 44 °
=
53 x
sen 37 °
y=53 m
senβ
sen 37 °
y=53
sen 99°
y ≅ 32.29 m

Finalmente, encontramos que el que está más cerca del cofre es Daniel ya que se
encuentra a una distancia de aproximadamente 32,29 m, mientras que Claudio se
encuentra a una distancia de ∼ 37,28 m.

6.2. Problemas con áreas regulares e irregulares:

Áreas regulares:
El perímetro2 de una figura plana, es la suma de las longitudes de sus lados, sus unidades
pueden estar en centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc. El área de una figura
corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa (región plana en dos
dimensiones). El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a
diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con
las longitudes. Sus unidades suelen encontrarse en unidades cuadradas como pueden ser:
m2, m 2 , km2 , etc.
Área de polígonos irregulares:

Para calcular el área de un polígono irregular es un poco más complicado el proceso; se

trabaja con métodos indirectos, estos métodos, básicamente son tres: el llamado método
de triangulación, el uso de una trama cuadriculada o, en algunos casos, descomponer el
polígono en cuadriláteros conocidos, en la figura V se ilustra un método para calcular el
área de un polígono irregular mediante el método de triangulación.

Ejemplo calcular del método de triangulación para calcular el área de un polígono irregular

Se presenta estimar el área de la siguiente figura:

El primero paso es seccionar la figura en triángulos.

Las regiones o superficies A1 y A2, corresponden a las áreas que se deben calcular por
separado para al final sumarlas y así obtener el área total del polígono irregular. Para el
caso de A1, se aplica la fórmula del área de un triángulo la cual indica multiplicar la base
por la altura y dividirla entre dos:
b∗h 5∗1 5
A 1= = = =2.5 cm 2
2 2 2
Para caso de A2

La base del triángulo de la figura VIII se obtuvo aplicando el teorema de Pitágoras en base
a los dos catetos del triángulo rectángulo del área uno (A1) y la altura es proporcionada en
la figura VIII.
b=√ 52+ 12=√ 25+1=√ 26=5.09 … ≅ 5.1
Ahora si para hacer una estimación del área o superficie A2
b∗h 5.1∗2.75 2
A 2= = ≅ 7.0125 cm
2 2
Por lo tanto el estimado del área total del polígono irregular o cuadrilátero es:
 2 2 2
A=A 1+ A 2=2.5 cm +7.0125 cm =9.5125 cm

7. Conclusiones

Podemos concluir en el caso de las leyes Trigonométricas la ley de seno y coseno aplica en todos
los triángulos ya un triángulo obtusángulo o un triángulo retos.

En el caso de polígonos regulare e irregulares, como es sabido es imposible calcular el área de un

polígono irregular si solo se conocen sus lados, sin embargo, hay una familia especial de “polígonos
pitagóricos” cuyas características se han descrito anteriormente, para las cuales, se ha demostrado
la excepción a la regla.

Las expresiones obtenidas en el presente artículo ofrecen un camino por demás sencillo para
calcular el área de un polígono irregular a partir de sus lados únicamente, lo cual constituye una
herramienta útil en la geometría y abre el horizonte a nuevas incursiones en los terrenos de estas
figuras aparentemente aleatorias.
 8. Recomendaciones

Para aplicar la ley senos se aplica a todo triangulo que cumple las longitudes de los lados si son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

En el caso del coseno un triangulo cualquiera el cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
las longitudes de los otros dos lados, menos del doble producto de ellos multiplicado por el coseno
del ángulo formado.

Los polígonos regulares recordar que es todo aquel polígono que sus lados y ángulos son iguales
mientras de los irregulares son lo contrario
 9. Bibliografía

Consultor Matemático: “Álgebra” (1995). L. Galdós, 1995, Ed. Cultural, España

Recursos TIC Educación (2018). Polígonos, Perímetros y Áreas. España. Recuperado el 10 de

mayo de 2020 de:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_
1eso_poligonos_perimetros_areas/1quincena9.pdf

Universo Fórmulas (2018). Polígono Irregular. Recuperado el 11 de mayo de 2020 de:

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligonoirregular/

Aprende Matemáticas (2018). Triangulación de Polígonos. Recuperado el 11 de mayo de 2020

de: https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/triangulacion-de-poligonos/

. Google Imágenes (2018). Recuperado de https://www.google.com

Arias Gómez, H. (2013). Estrategia para enseñar áreas de sólidos regulares e irregulares

utilizando manipulables físicos y virtuales.
 10. Anexo

Ley del seno

Ley de coseno

Esta foto de Autor desconocido está bajo

licencia CC BY-NC
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC

Polígonos regulares

Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC