ARITMÉTICA

(Teoría)
Tema: Teoría de Conjuntos II
Docente: Julio Omar Torres Pérez
OBJETIVOS
Conocer a los conjuntos especiales y sus
1 características.

Entender las operaciones entre

conjuntos.
2
Comprender las leyes del álgebra de
conjuntos.
3
 INTRODUCCIÓN
La matemática moderna estudia una gran variedad de clases conjuntos a partir de las propiedades que los componen
o define operaciones con los elementos de los mismos que resultan de interés para las ciencias en general. El estudio
de la lógica y la teoría de conjuntos le permite al estudiante comprender la forma como se construyen las
propiedades, relaciones, resultados de las diversas ramas del conocimiento en las que se aplica la matemática.

La teoría de conjuntos se debe al Los diagramas de Venn sirven para Existe una relación estrecha entre Conjuntos
matemático Georg Cantor, aunque otros representar conjuntos de manera gráfica, y Lógica Proposicional; el conjunto ∅ se
matemáticos como George Boole dieron permiten estudiar las relaciones y corresponde con una contradicción y el
los primeros pasos para su desarrollo. propiedades entre diferentes colecciones. conjunto 𝕌 con una tautología.
 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Ejemplo:
4. Disjuntos Dados los conjuntos:
Dos conjuntos “A” y “B” son disjuntos cuando no poseen 𝑀 = {1 ; 3 ; 5 ; 9 } ; 𝑁 = {2 ; 3 ; 7 ; 5 }
elementos comunes, es decir, ningún elemento de “A” Se observa que : 𝑀 ≠ 𝑁
está en “B” y ningún elemento de “B” está en “A”. Pero, no son disjuntos ya que tienen elementos en
Ejemplo: común.
𝑴 𝑵
Dados los conjuntos:
.1 .3 .7
𝐴 = {2; 3; 4} y 𝐵 = {5; 6; 7} .9 .5 .2
Vemos que: “𝐴” y “𝐵” no tienen elementos en común.
Nota:
 𝐴 y 𝐵 son disjuntos
Gráficamente: Para representar conjuntos disjuntos pero que a la vez
sean complementarios, generalmente se utiliza el
𝑨 𝑩
.2 .5 diagrama de “Lewis – Carrol”.
.3 .6
.4 .7 Veamos el esquema:
Observación: 𝐴 𝐴𝑐
𝐵 𝐴∩𝐵 𝐴𝑐 ∩ 𝐵
Dos conjuntos diferentes no necesariamente son
conjuntos disjuntos. 𝐵𝑐 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
4. Coordinables o Equipotentes CONJUNTOS ESPECIALES
Dos conjuntos “ 𝐴 ” y “ 𝐵 ” serán coordinables o 1. Conjunto Vacío o Nulo
equipotentes cuando existe una relación biunívoca entre Es aquel conjunto que carece de elementos.
sus elementos, es decir, uno a uno. Si “𝐴” y “𝐵” son
Notación:  ;
finitos entonces se cumple que: 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵).
Ejemplo:
Dado el conjunto:
𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛
→ 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵) 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 7 < 𝑥 < 8}
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
Vemos que no existe un número natural entre 7 y 8.
(Siendo A y B conjuntos finitos).
𝐵=∅ 𝑜 𝐵={ } 𝑛(𝐵) = 0
Ejemplo:
Notas:
Dados los conjuntos:
• El conjunto vacío “” es subconjunto de todo conjunto.
𝐴 ={1;2;3; 4 ; 5 ; 6 ; 7;...}
Para todo conjunto “𝑀”: ∅ ⊂ 𝑀
• ∅ ={∅}, dado que ∅ representa a un conjunto sin
𝐵 = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; . . . } elementos.
2. Conjunto Unitario o Singletón
Se observa que 𝐴 y 𝐵 son COORDINABLES, porque:
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
“Los elementos de 𝐵 son el triple de los de 𝐴”.
Ejemplo: 3. Conjunto Universal
Dado el conjunto: 𝐶 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 4 < 𝑥 < 6} Es aquel conjunto referencial que se utiliza para el
Vemos que el único número natural entre 4 y 6 es 5. estudio de otros conjuntos incluidos en él y se le denota
𝐶 = {5} 𝑛(𝐶) = 1 con 𝕌. No existe conjunto universal absoluto.
Aplicación Ejemplo:
Dado el conjunto unitario: Dados los conjuntos:
𝐴 = 𝑚 + 𝑛 ; 8 ; 2𝑚 − 2𝑛 + 4 𝐴 = {1; 2; 3; 4} ; 𝐵 = {4; 5; 6; 7}
Halle: 𝑚 × 𝑛. Consideremos:
Resolución: 𝑈 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Gráficamente:
𝕌

𝑨 𝑩
.1 .5

.2 .4 .6
.8 .3 .7 .9
4. Conjunto Potencia ❑ Si: 𝐵 = {𝑎 ; 2}
Dado un conjunto “𝐴”, el conjunto potencia de “𝐴” es Entonces: Subconjuntos unitarios
aquel conjunto formado por todos los subconjuntos del
• Subconjuntos: ∅ ; {𝑎} ; {2} ; {𝑎 ; 2}
conjunto “𝐴”.
Subconjuntos propios
Notación: 𝑃(𝐴)
• 𝑃(𝐵) = {∅ ; {𝑎} ; {2} ; {𝑎 ; 2}}
𝑃(𝐴) = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 “𝐴”}
𝐵
Luego:
Ejemplos: 𝑛 𝐵 = 2 y 𝑛[𝑃 𝐵 ] = 4 = 22 = 2𝑛(𝐵)
Para cada uno de los siguientes conjuntos, hallaremos
❑ Si: 𝐶 = {𝑏 ; 3 ; 6}
su conjunto potencia.
Entonces:
❑ Si: 𝐴 = {8} • Subconjuntos:
Entonces: Subconjuntos unitarios
• Subconjuntos: ∅ ; {8}
∅ ; {𝑏} ; {3} ; {6} ; {𝑏 ; 3} ; {𝑏 ; 6} ; {3 ; 6} ; 𝐶
• 𝑃 𝐴 = {∅ ; {8}}
Subconjuntos propios
𝐴
Luego: • 𝑃(𝐶) = { ∅; {𝑏}; {3}; {6}; {𝑏; 3}; {𝑏; 6}; {3; 6}; 𝐶 }
𝑛 𝐴 =1 y 𝑛[𝑃 𝐴 ] = 21 = 2𝑛(𝐴) Luego:
𝑛(𝐶) = 3 y 𝑛[𝑃 𝐶 ] = 8 = 23 = 2𝑛(𝐶)
EN CONCLUSIÓN: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Para un conjunto “𝐴” se cumple que: 1. Unión (∪)
I. Nro. de subconjuntos de "𝐴" = 𝟐𝒏(𝑨) La unión de dos conjuntos “𝐴” y “𝐵” es el conjunto
formado por la agrupación de todos los elementos de
II. 𝑛[𝑃 𝐴 ] = 𝟐𝒏(𝑨) “𝐴” con todos los elementos de “𝐵”.

Nro de subconjuntos Se denota: 𝐴 ∪ 𝐵

III. = 𝟐𝒏(𝑨) − 𝟏 Se lee: “𝐴 o 𝐵”
propios de "𝐴"
Se define:
Nro. de subconjuntos 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
IV. = 𝒏(𝑨)
𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 de "𝐴"
Representación gráfica:
Todo conjunto es
V. 𝑨 ⊂ 𝑨 ; 𝕌 𝕌 𝕌
subconjunto de si mismo
𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝑨
VI. Si: 𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 → 𝑥⊂𝐴 𝑩

El conjunto potencia es un Conjunto

de Conjuntos o también llamado
Familia de Conjuntos, porque, todos Observación:
los elementos del conjunto potencia
Si: 𝐵 ⊂ 𝐴, entonces: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴
son también conjuntos.
2. Intersección (∩) 3. Diferencia (−)
La intersección de dos conjuntos “𝐴 ” y “𝐵 ” es el La diferencia de dos conjuntos “𝐴” y “𝐵” (en dicho
conjunto formado por los elementos que pertenecen a orden) es el conjunto formado por los elementos de
ambos conjuntos a la vez. “𝐴” que no pertenecen a “𝐵”.
Se denota: 𝐴 ∩ 𝐵 Se denota: 𝐴 − 𝐵
Se lee: “𝐴 y 𝐵” Se lee: “𝐴 pero no 𝐵” (solo “𝐴”).
Se define: Se define:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

Representación gráfica: Representación gráfica:

𝕌 𝕌 𝕌 𝕌 𝕌 𝕌
𝑨 𝑩 𝑨 𝑨 𝑩 𝑨
𝑩 𝑩

Observación: Observación:
• Si: “𝐴” y “𝐵” son disjuntos entonces: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ • Si: “𝐴” y “𝐵” son disjuntos, entonces: 𝐴 – 𝐵 = 𝐴
• Si: 𝐵 ⊂ 𝐴, entonces: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 • Si: 𝐵 ⊂ 𝐴, entonces: 𝐵 − 𝐴 = ∅
4. Diferencia Simétrica (△) 5. Complemento
La diferencia simétrica de dos conjuntos “𝐴” y “𝐵” es el El complemento de un conjunto “𝐴” es el conjunto
conjunto formado por los elementos que pertenecen a formado por los elementos que pertenecen al
“𝐴” o “𝐵” pero no a ambos conjuntos a la vez. conjunto universal “𝕌" pero no a “𝐴”.
Se denota: 𝐴 △ 𝐵 Se denota: 𝐴′ 𝑜 𝐴𝑐
Se lee: “o bien 𝐴 o bien 𝐵”. Se lee: “No 𝐴”.
Se define: Se define:
𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 – 𝐴)} 𝐴𝑐 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝕌 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
También: 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
Representación gráfica:
Representación gráfica: 𝕌
𝕌 𝕌 𝕌
𝑨
𝑨 𝑩 𝑨
𝑩

𝑨𝑪

Observación: ∴ 𝐴𝑐 = 𝕌 − 𝐴
• Si “𝐴” y “𝐵” son disjuntos, entonces: 𝐴 ∆ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵
• Si: 𝐵 ⊂ 𝐴, entonces: 𝐴 ∆ 𝐵 = 𝐴 – 𝐵
 LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 6. Del Complemento

1. Idempotencia 2. Conmutativa ➢ 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝕌
➢ 𝐴∪𝐴 =𝐴 ➢ 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 ➢ 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅
➢ 𝐴∩𝐴 =𝐴 ➢ 𝐴∩𝐵 = 𝐵∩𝐴 ➢ Ac c
=A

3. Asociativa 7. Absorción
➢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) ➢ 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
➢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) ➢ 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
4. Distributiva ➢ 𝐴 ∪ (Ac ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵
➢ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ➢ 𝐴 ∩ (Ac ∪ 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵
➢ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 8. De la Unidad 9. Diferencia
5. De Morgan ➢ 𝐴∪𝑈=𝑈 ➢ 𝐴 – 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

➢ 𝐴∪𝐵 𝑐
= 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ➢ 𝐴∩𝑈 =𝐴 10. Adicional
➢ 𝐴∩𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ➢ 𝐴∪∅=𝐴 ➢ 𝕌𝑐 = ∅
➢ 𝐴∩∅=∅ ➢ ∅c = 𝕌
 BIBLIOGRAFÍA
❑ Asociación Fondo de ❑ Asociación Fondo de ❑ Asociación Fondo de
Investigadores y Editores. Investigadores y Editores. Investigadores y Editores.
Aritmética Esencial - Aritmética: Colección Aritmética: Análisis razonado
Colección Esencial. compendio académico UNI. del número y sus aplicaciones.
Lumbreras Editores, 2016. Lumbreras Editores, 2010. Lumbreras Editores, 2020.