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Tarea-2-Metodos de Integracion-Dayra Portillo
Tarea-2-Metodos de Integracion-Dayra Portillo
Tarea-2-Metodos de Integracion-Dayra Portillo
Presentado al tutor:
Edgar Rodrigo Enríquez Rosero
Estudiantes:
Grupo: 100411_208
Ejercicio a.
x
∫ 3
dx
( x −4 )
2
Hacemos
μ= x2−4
dμ=2 x dx
Sustituimos y tenemos
1
∫ 2 ∗2−x 1 dμ
2∫ 43
3
dx=
( x −4 )
2
1 −1
( )
2 2 42
+c
−1
¿ 2
+c
44
2
como 4=x −4 y se tiene
−1
¿ 2
+c
4 ( x −4 )
2
Figura 1 Geogebra
Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.
Ejercicio a.
m=¿ x inx=m
1
dm= dx e
¿(x)
=e
m
x
dx=xdm x=e
m
m
dx=e dm
Reemplazando en 1
∫ cos ( m ) e m dm 2
m
dμ=e dm v=sen (m)
Reemplazando en 2
μv−∫ vd μ
m
dμ=e dm v=−cos (m)
Reemplazando en 3
De 1 y 3 tenemos
m
sustituyendo m=¿ x y e dm=dx se llega a :
¿(x)
e .(sen ( ¿ x ) +cos ( ¿ x ))
∫ cos ( ¿ x ) dx=¿ 2
¿
x sen(¿ x ) x cos (¿ x)
∫ cos ( ¿ x ) dx=¿ 2
+
2
+c¿
Figura 2 Geógebra.
Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
x2
∫ dx
√ 9−x 2
Hacemos
x=3 sen ( μ )
1−cos ( 2 μ )
s en2 ( μ )= Reemplazamos;
2
1−cos ( 2 μ )
9∫ dμ
2
2
9
[∫ dμ−∫ cos ( 2 μ ) dμ ]
2
9
μ−
9 1
2 2 (
sen(2 μ) )
como μ=sen−1 ( 13 x) tenemos
9
2
sen−1
x
()9
− sen 2∗sen−1
3 4 (
x
3
+c ( ))
Figura 3 Geógebra.
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
4
dx
∫ √ 4−x
0
1
f ( x )= Df : x <4 , X ∈ R
√ 4−x
lim ¿
9
dx
a→4 ∫ −¿
¿
0 √ 4 −x
Hacemos
μ=4−x
dμ=−1 dx Reemplazamos
lim ¿
( )
9
dμ
a→4
−¿
∫ √ μ = lim 9 ¿ ¿¿
0
(
a →4 −2 √4
−¿
|0)
lim ¿
(
a → 4−¿ −2 √4 −x 9 ¿
0 |)
lim ¿ Calculamos el límite
a→4
−¿
[ −2 √ 4 −9+2 √ 4 ] ¿
( 0+ 4 ) =4
Converge a 4
Figura 4 Geógebra.
Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.
LINK: https://youtu.be/otiPqZP_2lg
sen(2 t+ 1)
∫ cos2( 2t +1) dt
μ=2t +1
1 sen μ
¿ ∫
2 cos 2 ( μ)
dμ
1 tan( μ)
¿ ∫
2 cos ( μ)
dμ
1
Luego sec ( μ )=
cos (μ)
1
¿
2
∫ tan ( μ ) . sec ( μ ) dμ
Hacemos otra sustitucion
v=sec (μ)
dv =tg ( μ ) . sec ( μ ) du
Nuevamente Reemplazamos
1
¿
2
∫ dv Que es una integral simple
1
¿ .v
2
v=sec ( μ )
μ=2t +1
1
¿ . sec ( μ)
2
1
¿ . sec ( 2t +1 ) +c
2
1 1 Es igual
¿ . +c
2 cos (2 t+1)
FIGURA 5 GEOGEBRA
Alvaro Javier Ordoñez Muñoz
∫¿¿¿¿
1
Hacemos u=ln x , du= dx , luego sustituyendo se tiene:
x
∫ u 2 du
Integrando
u3
¿ +c
3
Y como u=ln x , se tiene
¿¿¿¿
GRAFICA N° 1
Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.
2) E
1
uv−∫ vdu=¿ sen ( x ) . x−∫
−1
dx ¿
√1−x 2
Hacemos m=1−x2 , dm=−2 xdx
1 dm
−1
¿ sen ( x ) . x+
2
∫ 1
m2
1
¿ sen ( x ) . x+ ( 2 √ m )+ c
−1
2
Como m=1−x2 , se llega a
¿ x . sen−1 ( x )+ √1−x 2 +c
GRAFICA N° 2
1
∫ x 5+ 2 x 3 + x dx
1
¿∫ dx ¿
x ( x ¿ ¿ 4 +2 x2 +1)
1
¿∫ dx ¿
x ( x ¿¿ 2+1)2
Resolviendo por fracciones parciales
1
A Bx +C Dx+ E
x( x ¿ ¿ 2+1)2= + 2 + ¿
x x +1 ( x ¿¿ 2+1)2 ¿
Luego
A+ B=0
C=0
2 A + B+ D=0
C+ E=0
A=1
Entonces: A=1; C=0 ; E=0 ; B=−1 ; D=−1
1 x x
∫ x −¿ x 2 +1 + ( x ¿¿ 2+1)2 dx ¿ ¿
1 x x
¿ ∫ −¿ ∫ 2 +∫ dx ¿ ¿
x x +1 ( x¿ ¿2+1)
2
Resolviendo
1 1 1
¿ ln |x|− ln |x +1|+
2
+c
2 2 x 2+1
ln|x +1|
2
1
¿ ln |x|− + +c
2 2
2(x +1)
GRAFICA N° 3
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
4) E
∫ 31 1
dx f ( x ) = 3 =¿ Df =x> 0 , x ∈ R
0 √x √x
¿ lim ¿
1
dx
a → 0 ∫ 3 = lim
+¿
¿ ¿¿¿
a √x
1 −1
a →0 ∫ x +¿ 3
dx
a
¿ lim ¿
( | )=¿
1
2
+¿ 3 3
a→0 .x a lim ¿¿¿
2
( )
2 2
+¿ 3 3
a→0 1 −a 3 ¿
2
3
¿ lim ¿
2 +¿
( 1−a ) ¿
2
3
a→0
3 3
¿ ( 1−0 )=
2 2
Al desarrollar la integral impropia, notamos que
1
∫ 31 dx Converge a
3
2
0 √x
GRAFICA N° 4
PUNTO N° 5
Ejercicio a.
m=¿ x inx=m
1
dm= dx e
¿(x)
=e
m
x
dx=xdm x=e
m
dx=em dm
Reemplazando en 1
∫ cos ( m ) e m dm 2
Reemplazando en 2
μv−∫ vd μ
m
dμ=e dm v=−cos (m)
Reemplazando en 3
De 1 y 3 tenemos
m
sustituyendo m=¿ x y e dm=dx se llega a :
¿(x)
e .(sen ( ¿ x ) +cos ( ¿ x ))
∫ cos ( ¿ x ) dx=¿ 2
¿
x sen(¿ x ) x cos (¿ x)
∫ cos ( ¿ x ) dx=¿ 2
+
2
+c¿
GRAFICA N°5
MONICA ZAMBRANO
sen ( 2 t+ 1 )
∫ cos2( 2t +1) dt
sen ( 2t +1 )
∫ ¿¿
¿
U =cos ( 2t +1)
du=−sen ( 2t +1 ) dt
−du=sen ( 2t +1 ) dt
−du
=∫ 2
U
=−∫ U
−2 +1
∗du
−1
U
= +C
−1
1
= 1
+C
1U
1
= +C
1cos (2 t+1)
∫ x . sec2 ( x ) dx
U =x
du
=1
dx
du=dx
2
dv =sec x . dx
v=∫ sec x . dx
2
v=tanx
Formula general: aplicamos ILATE
∫ u . dv=u . v−∫ v . du
x .tanx−∫ tanx . dx
x .tanx−¿ ¿
Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
2
x
∫ dx
√ x2 −1
O A O
Utilizamos el método de S C T
H H A
x 1
√ x 2−1
cateto opuesto 1
Senθ = Senθ
hipotenusa x
2 2
x=senθ → x =sen θ
dx
=cosθ →dx =cosθ . dθ
dθ
Cosθ
cateto adyacente
Cosθ
√ x 2−1 → √ x 2−1=Cosθ
hipotenusa x
2
x
=∫ 2
√x 1
sen 2 θ
=∫ cosθdθ = ∫ sen θdθ
2
cosθ
Utilizamos identidades para reducir potencias
1−cos 2 θ dθ
∫ 2
1
2
∫ 2 [ 2 ]
( 1−cos 2 θ ) dθ= 1 . θ− 1 sen 2 θ +C
1 1
[θ− .2 senθ . cosθ]+ C
2 2
1
[ θ−senθ . cosθ ] +C
2
1
¿
2
1 1
sen x− x √ x −1+C
1 2
2 2
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
∞
∫ x e−x dx
0
b
lim ∫ x e−x dx
b→∞ 0
∫ x e−x dx
∫ u . dv−U . V −∫ v . du
U =x
du=dx
−x
dv =e dx
V =∫ e dx
−x
e− x −x
V= =−e
−1
−b −b
−b e −e −(0−1)
b 1
−lim b
− lim b + lim 1
b→∞ e b →∞ e b →∞
1
−lim b -0+1
b→∞ e
=0-0+1=1
https://www.loom.com/share/b4c9ccc98695460f985cacbbd197bcde