Tarea 2 Calculo Integral - Letra - e

Temática 1 – Método de integración por sustitución.
Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:
Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial
Patria. (pp. 541 - 546).
Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y

comprobar su resultado usando GeoGebra. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo
del resultado obtenido en GeoGebra)
3
∫ x 2 e x dx
Por el método de sustitución
3
u=x
2
du=3 x dx
Reemplazando
x x
∫−xdu=.-∫ csc ⁡(x) du=−∫ u du
1
3
∫ e u du
Integrando
∫ eu du=eu
Entonces
u
1 1 e
∫
3 u
du=
3
Deshaciendo la sustitución u=x3

3
2 x ex
3
∫ x e dx = +C
3
Temática 2 – Método de integración por partes.
Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral:

La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83).
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su

resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del
resultado obtenido en GeoGebra)
2
∫ x csc xdx
x
∫ sen 2 (x) dx
Utilizando la fórmula de integración por partes
∫ udv =uv−∫ vdu

Mediante el método de ILATE
Tenemos:
u=x
1
dv = 2
sen (x )
du=1
v=−cot ⁡(x)
Reemplazando en la fórmula
x
∫ sen2 (x) dx=xcot (x)−∫ −cot ( x ) dx
Integrando
−∫ cot ( x ) dx
∫ cot ( x ) dx es una integral estándar

∫ cot ( x ) dx=ln ⁡( sen ( x ))
Por tanto
−∫ cot ( x ) dx=−¿ ln ⁡(sen ( x ))¿
Reemplazando las integrales ya resueltas
∫ x csc xdx =−xcot ( x ) +ln ( sen ( x ) ) +C

2
Temática 3 – Integración por fracciones parciales.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:
Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp.
176 - 181).
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por fracciones parciales y

comprobar su resultado usando GeoGebra. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo
del resultado obtenido en GeoGebra)
2
∫ 3 2
dx
x +2x +x
Factorizamos el denominador
3 2
x +2 x + x=( x) ¿
Expresamos la función como la suma de dos fracciones parciales
2 A B C
= + +
3 2
x +2 x + x x ( x+ 1) ¿¿
Sumando las fracciones

2
3 2
=A¿¿
x +2 x + x
Multiplicando y cancelando el denominador común

2= A ¿
Agrupando por factor común
2=¿
Igualamos los coeficientes

2
para x A+ B=0
para x=2 A + B+C=0
para A=2
Resolviendo el sistema obtenemos
A=2
B=−2
C=−2
2 2 2 2
∫ dx=∫ dx−∫ dx−¿ ∫ dx ¿
3 2
x +2x +x x (x +1) (x +1)
2
Reemplazando e integrando cada término por separado
∫ 3
2
2
x +2x +x
2
dx=∫ −
( 2
−
2
x (x +1) (x+1)2
dx
)
Aplicando linealidad
1 1 1
2∫ dx −2∫ dx−2 ∫ dx
x ( x+ 1 ) (x +1)
2
Integrando
1
2∫ dx
x
Integrando
1
∫ x dx=ln ⁡(x )
Multiplicando
1
2∫ dx =2 ln ⁡(x )
x
1
−2∫ dx=¿
( x+ 1)
u=x+1
du=dx
Reemplazando
1
∫ u du
Integrando
1
∫ u du=ln ⁡(u)
Deshaciendo la sustitución u=x+1
1
∫ ( x +1) dx=ln ⁡(x +1)
Multiplicando
1
−2∫ dx=−2 ln ⁡( x +1)
( x+ 1)
Integrando
1
−2∫ 2
dx
( x+ 1)
u=x+1
du=dx
Reemplazando
1
∫ u2 du
Integrando
1 −1
∫ u2 du= u
Deshaciendo la sustitución u=x+1
1 −1
∫ ( x +1)2 dx= x+ 1
Multiplicando
1 2
−2∫ dx =
( x+ 1)
2
x +1
Por tanto la solución del ejercicio es
2 2
∫ dx=2 ln ( x )−2 ln ⁡(x+ 1)+ +C
3 2
x +2x +x x+1
Temática 4 – Sustitución trigonométrica.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Consultar en el entorno de aprendizaje
el siguiente recurso: Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo
Editorial Patria. (pp. 135 – 141)
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su

resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del
resultado obtenido en GeoGebra)
∫ x √ x 2−121 dx
Por sustitución trigonométrica
2
u=x −121
d u=2 x
Reemplazando tenemos
1
2
∫ √ u du
Integrando
3
2
2u
∫ √u du= 3
Multiplicando
3
2
1 u
2
∫ √ u du= 3
Deshaciendo la sustitución u=x2 −121
3
( x −121 )
2 2
∫ x √ x −121 dx=
2
+C
3
Temática 5 – Longitud de arco y Teorema del valor medio
La función que determina la longitud de una varilla esta por y=x 2−2 x
determine la longitud de la varilla en el intervalo entre x=0 hasta x=3.
Fórmula de longitud de arco

b
S=∫ √ 1+¿ ¿ ¿
a
La función que describe el número de personas afectadas es f ( x)=x2 −2 x
Hallamos la derivada
f ´ ( x )=2 x−2
Reemplazando
3
S=∫ √ 1+¿ ¿ ¿
0
Multiplicando los exponentes

3
S=∫ √ 1+ 4 x −8 x+ 4 dx
2
3
S=∫ √ 4 x −8 x+ 5 dx
2
Integrando la función, obtenemos:
∫ √ 4 x 2−8 x+5 dx=¿ ¿

Por el método de sustitución
u=x−1
du=dx
Reemplazando
∫ √ 4 u2 +1 du
Por sustitución trigonométrica
tan ⁡(v)
u=
2
2
sec (v)
du=
2
Usando tan 2 ( v ) +1=sec 2 (v )
Tenemos
1
2
∫ sec3 (v )dv
Integrando
∫ sec3 (v)dv integral estándar

sec ( v ) tan ⁡(v ) 1
∫ sec3 (v)dv= 2
+ ∫ sec (v )dv
2
Integrando
∫ sec( v) dv integral estándar

∫ sec ( v) dv=ln ⁡¿
1
2
∫ sec (v )dv=ln ⁡¿ ¿
sec ( v ) tan ⁡(v)

¿ +ln ⁡¿ ¿
2
1 sec ( v ) tan ⁡(v )
2
∫ sec 3 (v )dv =
4
+ ln ⁡¿ ¿
Deshaciendo las sustituciones anteriores
2 √4 ¿¿¿
Rompemos fronteras evaluando la integral definida en los límites de integración:
¿
−¿
reemplazando
( 4 , 65 )−(−1 , 48 )=6 , 13
Entonces la longitud de la varilla en el intervalo [0,3] es de 6,13 m

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Temática 1 – Método de integración por sustitución.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y

Deshaciendo la sustitución u=x3

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral:

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su

∫ udv =uv−∫ vdu

∫ cot ( x ) dx es una integral estándar

−∫ cot ( x ) dx=−¿ ln ⁡(sen ( x ))¿

Reemplazando las integrales ya resueltas

∫ x csc xdx =−xcot ( x ) +ln ( sen ( x ) ) +C

Temática 3 – Integración por fracciones parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por fracciones parciales y

Sumando las fracciones

Multiplicando y cancelando el denominador común

Igualamos los coeficientes

Reemplazando e integrando cada término por separado

Deshaciendo la sustitución u=x+1

Por tanto la solución del ejercicio es

Temática 4 – Sustitución trigonométrica.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su

Fórmula de longitud de arco

La función que describe el número de personas afectadas es f ( x)=x2 −2 x

Multiplicando los exponentes

Integrando la función, obtenemos:

∫ √ 4 x 2−8 x+5 dx=¿ ¿

∫ sec3 (v)dv integral estándar

∫ sec( v) dv integral estándar

sec ( v ) tan ⁡(v)

Deshaciendo las sustituciones anteriores

Rompemos fronteras evaluando la integral definida en los límites de integración:

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