Módulo 5-UG Miércoles

INTERVALOS DE CONCAVIDAD
CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA
Módulo 5
Cálculo 1
2024-2
Videoconferencia 06
Temario
Definición de concavidad y puntos de inflexión.
Regla para posibles puntos de inflexión.
Criterio de la segunda derivada.

Motivación
Cerca de un terreno
La familia Gamboa está interesada en

comprar parte de un terreno, sólo necesita
1500 m2 para sembrar palta fuerte. Al
momento de analizar cómo cercarían el
terreno consideran que la cerca utilizada
para el frente se haga con un material cuyo
costo es 300 soles el metro y por el resto a
100 soles el metro. Calcular las medidas del
terreno que van a comprar para que el
precio de la cerca sea mínimo, sabiendo que
debe ser rectangular.
Adaptado de: https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/category/problemas-de-maximos-y-minimos/
Saberes previos
.
Pregunta 01: Determine los números críticos de la función

𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 14𝑥 2 − 24𝑥 + 1
a) 𝑥 = 3 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = −1 c) 𝑥 = 3 ; 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −1
b) 𝑥 = −3 ; 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 3 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1
Pregunta 02: Determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava
hacia abajo
a) Cóncava hacia abajo en < −∞, 0 > y cóncava hacia arriba en < 0, ∞ >
b) Cóncava hacia arriba en < −∞, 0 > y cóncava hacia abajo en < 0, ∞ >
c) Cóncava hacia arriba en < −∞, 1 > y cóncava hacia abajo en < 3, ∞ >
Logro de aprendizaje
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el

estudiante, resuelve ejercicios en los que calcula
los intervalos de concavidad y puntos de
inflexión de una función haciendo uso de la
segunda derivada.
Fuente: Freepik
Introducción
Cuando se está tratando de bosquejar la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es muy conveniente
conocer la forma en la que se está arqueando (curvando) en cierto intervalo 𝑎, 𝑏 . Esta
información nos la da la segunda derivada 𝑓′′(𝑥).
Definición de concavidad
Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto 𝐼. la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼 si
𝑓′ es creciente en el intervalo y será cóncava hacia abajo en 𝐼 si 𝑓′ es decreciente en el intervalo.
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
𝑓′ es creciente 𝑓′ es decreciente
Función cóncava hacia arriba
Teorema: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) dos veces diferenciable en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

𝒇′′(𝒙) > 𝟎 en 𝑎, 𝑏 implica que la gráfica es cóncava hacia arriba.
𝑓’(𝑥) está creciendo
𝑓 es cóncava hacia arriba

𝑓’’ 𝑥 > 0 en 𝑎; 𝑏
Las pendientes están creciendo y en tal caso surge un tipo de arqueamiento llamado concavidad
hacia arriba. (la gráfica está por arriba de cada recta tangente)
Función cóncava hacia abajo
Teorema: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) dos veces diferenciable en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

𝑓′′ 𝑥 < 0 en 𝑎; 𝑏 implica que la gráfica es cóncava hacia abajo.
𝑓 es cóncava hacia abajo

en 𝑎; 𝑏
𝑓’’(𝑥) < 0
𝑓′(𝑥) está decreciendo

a b
Las pendientes están decreciendo y en tal caso surge un tipo de arqueamiento llamado concavidad
hacia abajo. (la gráfica está por abajo de cada recta tangente)
Punto de inflexión
Cuando en un intervalo 𝑎; 𝑏 la segunda derivada 𝑓′′(𝑥) cambia de signo, es decir, que 𝑓 pasa de un
tipo de concavidad a otro en un número c ∈ 𝑎; 𝑏 entonces el punto:
c; 𝑓 c
recibe el nombre de punto de inflexión.
Punto de inflexión
Punto de cóncava hacia
cóncava hacia inflexión
abajo abajo
cóncava hacia cóncava hacia

arriba arriba
Punto de inflexión
Sea c; 𝑓 c un punto de inflexión de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces

𝑓 ′′ 𝑐 = 0 o 𝑓 ′′ 𝑐 no existe
Ejemplo 1: Verifique si el punto 0; 1 es un punto de inflexión de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 16𝑥 3 + 1
Solución:
Calculamos la segunda derivada Reemplazamos x=0 en 𝑓 ′′ 𝑥
𝑓′(𝑥) = 4𝑥 3 − 48𝑥 2
𝑓 ′′ 0 = 12(0)2 −96(0)
𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 96𝑥 𝑓 ′′ 0 = 0
Entonces el punto 0; 1 es un punto de inflexión

Teorema para los puntos de inflexión
Sea 𝑓(𝑥) una función tal que 𝑓 ′′ 𝑐 = 0 o 𝑓 ′′ 𝑐 no existe y c ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces
𝑓 ′′ 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑐
1) 𝑦 ቑ → c; 𝑓 c es un punto de inflexión.
𝑓 ′′ 𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑏
𝑓 ′′ 𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑐
2) 𝑦 ቑ → c; 𝑓 c es un punto de inflexión.
𝑓 ′′ 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑏
𝑓 ′′ 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑐 𝑓 ′′ 𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑐
3) 𝑦 ቑ ∨ ቐ 𝑦 → c; 𝑓 c no es un punto de inflexión.
𝑓 ′′ 𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑏 𝑓 ′′ 𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑏
Punto de inflexión
Ejemplo 3: Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión 𝑓(𝑥) = (1 − 2𝑥)3
Intervalos
Valor de prueba
Signo de 𝑓′′(𝑥)
Conclusión
Punto de inflexión
Ejemplo 4: Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 9𝑥 + 1

Solución:
Calculamos la segunda derivada: 𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 2 Intervalos de concavidad:

Igualamos a cero la segunda derivada: 12𝑥 2 − 2 = 0 − 𝑓 es cóncava hacia arriba en:
1
𝑥=± = ±0.41 −∞, −0.41 ∪ 𝟎. 41, +∞
6
−0.41 0.41
− 𝑓 es cóncava hacia abajo en:
−0.41, 0.41
Intervalos −∞, −𝟎. 𝟒𝟏 −𝟎. 𝟒𝟏, 𝟎. 𝟒𝟏 𝟎. 𝟒𝟏 , +∞
Valor de prueba 𝑥 = −1 𝑥=0 𝑥=1

Puntos de inflexión:
Signo de 𝒇′′(𝒙) 𝑓 ′′ −1 > 0 𝑓 ′′ 0 < 0 𝑓 ′′ 1 > 0 −0.41, 𝑓 −0.41 = (−0.41; −2.81)
Conclusión f es cóncava hacia f es cóncava hacia f es cóncava hacia 0.41, 𝑓 0.41 = (0.41; 4.54)
arriba abajo arriba
Punto de inflexión
𝑥3
Ejemplo 5: Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión: 𝑓 𝑥 = 𝑥−4
2
Criterio de la segunda derivada
Si 𝑓(𝑥) es una función diferenciable en todo punto “𝑥” de un intervalo que contiene al número “𝑐”
entonces tenemos que:
1) Si 𝑓′(𝑐) = 0 y 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo
2) Si 𝑓′(𝑐) = 0 y 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo
Máximo relativo Mínimo relativo
f(c)
f ''(c) > 0
f ''(c) < 0
f(c)
c
c
Ejemplo 7: Determine el máximo o mínimo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 8

Ejemplo 8: Determine el máximo o mínimo de la función : 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2

Solución a la motivación
Cerca de un terreno
La familia Gamboa está interesada en comprar

parte de un terreno, solo necesita 1500 m2 para
sembrar palta fuerte. Al momento de analizar cómo
cercarían el terreno consideran que la cerca
utilizada para el frente se haga con un material cuyo
costo es 300 soles el metro y por el resto a 100
soles el metro. Calcular las medidas del terreno que
van a comprar para que el precio de la cerca sea
mínimo, sabiendo que debe ser rectangular.
Adaptado de: https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/category/problemas-de-maximos-y-minimos/

Solución a la Motivación
La familia Ruiz está interesada en comprar parte de un terreno, solo necesita 1500 m2 para sembrar
palta fuerte. Al momento de analizar cómo cercarían el terreno consideran que la cerca utilizada para el
frente se haga con un material cuyo costo es 300 soles el metro y por el resto a 100 soles el metro.
Calcular las medidas del terreno que van a comprar para que el precio de la cerca sea mínimo, sabiendo
que debe ser rectangular.
Solución:
Sea 𝑥 la longitud del terreno y 𝑦 el ancho La función costo Hallamos la primera derivada
𝑥
𝐶 ′ 𝑥 = 400 − 300000𝑥 −2
Costo= 𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝒚
𝑦 𝑦 Hallaremos el número crítico
𝐶 = 400𝑥 + 200𝑦
𝑥 1500 300000
𝐶 = 400𝑥 + 200 𝐶′ = 400 − =0
𝑥 𝑥2
Área: 𝑥𝑦 300000
𝐶 = 400𝑥 + 𝑥 = ± 750
1500 = 𝑥𝑦 𝑥
1500 C’ no existe, se tendría 𝑥 = 0
𝑦= 𝐶 = 400𝑥 + 300000𝑥 −1
𝑥
Solución a la Motivación
La familia Ruiz está interesada en comprar parte de un terreno, solo necesita 1500 m2 para sembrar
palta fuerte. Al momento de analizar cómo cercarían el terreno consideran que la cerca utilizada para el
frente se haga con un material cuyo costo es 300 soles el metro y por el resto a 100 soles el metro.
Calcular las medidas del terreno que van a comprar para que el precio de la cerca sea mínimo, sabiendo
que debe ser rectangular.
Solución:
Como 𝑥 no puede ser negativo ni cero, entonces 𝑥 = 750 Las medidas del terreno son:
600000
Hallamos la segunda derivada 𝐶 ′′ 𝑥 = 𝒙 = 𝟕𝟓𝟎 , 𝒚 = 𝟏𝟎 𝟑𝟎
𝑥3 𝑥
Usando el criterio de la segunda derivada
600000 𝑦 𝑦
𝐶 ′′ 750 = >0
( 750)3
𝑥
Entonces en C 750 se tiene el valor mínimo

Conclusiones
1. Dada una función diferenciable en el intervalo abierto I que contiene a 𝑥0 , entonces, se
tiene:
Si 𝑓"(𝑥0 ) > 0, la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en el punto (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ).
Si 𝑓"(𝑥0 ) < 0 , la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo en el punto (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 )
2. Dada una función continua 𝑓 sobre el intervalo abierto I, (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ) es un punto de

Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
inflexión de la gráfica de f si en (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ) hay una recta tangente y la gráfica cambia de
concavidad para 𝑥 < 𝑥0 y 𝑥 > 𝑥0 , donde 𝑥 ∈ 𝐼.
3. Sea 𝑥0 un número crítico de 𝑓, cuya 𝑓” existe sobre el intervalo abierto I, que contiene al número crítico 𝑥0 .
Si 𝑓"(𝑥0 ) > 0 , entonces, 𝑓 𝑥0 es un mínimo relativo.
Si 𝑓"(𝑥0 ) < 0 , entonces, 𝑓 𝑥0 es un máximo relativo.
Si 𝑓"(𝑥0 ) = 0 , para 𝑥 ∈ 𝐼, entonces, el criterio no determina si es extremo relativo
Logro de aprendizaje
Al finalizar la sesión de aprendizaje,

el estudiante, resuelve ejercicios en
los que calcula los intervalos de
concavidad y puntos de inflexión de
una función haciendo uso de la
segunda derivada.
Fuente: Freepik
Referencias bibliográficas
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.

2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA
EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol. Séptima Edición). Mexico
DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
Fuente: https://ulcerasfora.sergas.gal/Informacion/PublishingImages/190/Bibliograf%C3%ADa.png
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La próxima sesión desarrollaremos los temas:
Gráfica de una función. Por criterios de la primera
y segunda derivada.
Punto
máximo
Punto de
inflexión
Punto
mínimo
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INTERVALOS DE CONCAVIDAD

Definición de concavidad y puntos de inflexión.

Regla para posibles puntos de inflexión.

Criterio de la segunda derivada.

La familia Gamboa está interesada en

Pregunta 01: Determine los números críticos de la función

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

Teorema: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) dos veces diferenciable en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

𝑓’(𝑥) está creciendo

𝑓 es cóncava hacia arriba

Teorema: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) dos veces diferenciable en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

𝑓 es cóncava hacia abajo

𝑓′(𝑥) está decreciendo

cóncava hacia cóncava hacia

Sea c; 𝑓 c un punto de inflexión de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces

Ejemplo 1: Verifique si el punto 0; 1 es un punto de inflexión de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 16𝑥 3 + 1

Entonces el punto 0; 1 es un punto de inflexión

Sea 𝑓(𝑥) una función tal que 𝑓 ′′ 𝑐 = 0 o 𝑓 ′′ 𝑐 no existe y c ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces

Ejemplo 4: Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 9𝑥 + 1

Calculamos la segunda derivada: 𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 2 Intervalos de concavidad:

Valor de prueba 𝑥 = −1 𝑥=0 𝑥=1

Signo de 𝒇′′(𝒙) 𝑓 ′′ −1 > 0 𝑓 ′′ 0 < 0 𝑓 ′′ 1 > 0 −0.41, 𝑓 −0.41 = (−0.41; −2.81)

1) Si 𝑓′(𝑐) = 0 y 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑐) es un valor máximo relativo

2) Si 𝑓′(𝑐) = 0 y 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo

Máximo relativo Mínimo relativo

Ejemplo 7: Determine el máximo o mínimo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 8

Ejemplo 8: Determine el máximo o mínimo de la función : 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2

La familia Gamboa está interesada en comprar

Adaptado de: https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/category/problemas-de-maximos-y-minimos/

Entonces en C 750 se tiene el valor mínimo

2. Dada una función continua 𝑓 sobre el intervalo abierto I, (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ) es un punto de

Al finalizar la sesión de aprendizaje,

1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.

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