UPN, PASIÓN POR

TRANSFORMAR VIDAS

COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

ECUACIONES EXPONENCIALES

Departamento de Ciencias
CLIC PARA EDITAR TÍTULO
PROBLEMATIZACIÓN

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10000
habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se
modela mediante la función:

CALCULAR:
a) ¿Cuántas personas infectadas hay en el instante
en que se propagó el virus?
b) Calcule el número de personas infectadas
después de un día, después de dos días y
después de cinco días.
 CONOCIMIENTOS PREVIOS
Teoría de exponentes
1. 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑛
5. = 𝑛 ;𝑏 ≠ 0
𝑏 𝑏
𝑎𝑚
2. 𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; a ≠ 0 6. 𝑎1 = 𝑎
𝑎
3. 𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎𝑚𝑛 7. 𝑎0 = 1; 𝑎 ≠ 0

𝑛 𝑛 𝑛 −𝑛
1
4. 𝑎𝑏 =𝑎 𝑏 8. 𝑎 = 𝑛 ;𝑎 ≠ 0
𝑎
LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve
problemas relacionados a su
carrera utilizando ecuaciones
exponenciales, reconociendo
y aplicando sus propiedades y
criterios de solución.
SABERES PREVIOS
 CONTENIDOS
1. Ecuación Exponencial.
2. Interpretación geométrica.
3. Ejercicios resueltos.
4. Aplicaciones de la ecuación exponencial:
4.1 Crecimiento de poblaciones.
4.2 Monto compuesto anualmente.
4.3 Monto compuesto con periodos fraccionarios.
4.4 Monto compuesto en forma continua.
5. Trabajo grupal
6. Metacognición
7. Referencias bibliográficas.
 ●ECUACIÓN EXPONENCIAL
Sea b>0 un número real positivo arbitrario, y sean P(x)
y Q(x) polinomios en la variable real x; una ecuación
exponencial es aquella en la cual la variable se
encuentra como exponente.

Métodos de solución:
Llevar la igualdad a bases iguales, posteriormente, igualar
los exponentes.
𝑆𝑖 𝑏 > 0 ^ 𝑏 ≠ 1 → 𝑏 𝑃 𝑥
= 𝑏𝑄 𝑥
↔ 𝑃 𝑥 = 𝑄(𝑥)

Aplicar logaritmo a ambos lados de la ecuación:.

𝑎𝑃(𝑥) = 𝑏 𝑄(𝑥) → log 𝑎𝑃(𝑥) = log 𝑏 𝑄(𝑥)

Ejemplos
a) 5 3x–5 • 5 4 x – 6 = 125

Resolución

5 3 x – 5 • 5 4 x – 6 = 53
5 7 x – 11 = 53
7x – 11 = 3
7x = 14

x =2
7
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL
●

b) 9(12 x)= 6 2x

 9 ( 2 .3 ) = ( 2.3 )
Resolución
9 (12 ) = 6
x 2x 2 x 2x

 3 2.2 2 x.3 x = 2 2 x.3 2 x

 3 x +2 = 3 2 x

x =2
8
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL
●

c) 2x +1 + 2x + 2x−1 = 28
Resolución 2 x +1 + 2 x + 2 x −1 = 28
2 x −1 (2 2 + 21 + 1) = 28
2 x −1 (7 ) = 28

2 x −1 = 4
x −1 = 2
x =3
9
1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
●
En el siguiente link ingresar la siguiente expresión:
1 𝑥+2
y= −4
2
https://www.desmos.com/calculator?lang=es
d) Dada la ecuación:
1 𝑥+2
−4=0
2
Resolución

𝟏 𝒙+𝟐
= 4
𝟐

𝟐−𝒙−𝟐 = 𝟐𝟐

-x -2 = 2
Interpretación
x = -4 geométrica
10
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES
●

CRECIMIENTO POBLACIONAL

La población proyectada P, de una ciudad está expresada

por:
𝑷 = 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎. 𝒆𝟎,𝟎𝟓.𝒕 donde “t” es el número de años a
partir del año 2003. Pronostique la población para el año
2023.
Resolución
t = 20 , tenemos:
𝐏 = 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎. 𝐞𝟎,𝟎𝟓.(𝟐𝟎) = 𝟐𝟕𝟏 𝟖𝟐𝟖
∴ 𝑬𝒏 𝒆𝒍 𝒂ñ𝒐 𝟐𝟎𝟐𝟑 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 11𝒔𝒆𝒓á 𝒅𝒆 𝟐𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝒉𝒂𝒃𝒊𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔
3. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN EXPONENCIAL
En el año 2015 la población del pueblo de San Juan era de 7 000
habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál
será la población aproximada en el 2 021, suponiendo que la tasa de
crecimiento es exponencial?

Resolución: 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡
𝑃𝑜 = 7 000
𝑃 6 = 7000 . 𝑒 0,05(6)
𝑘 = 5 % = 0,05

𝑡 = 6 años 𝑃 6 = 9449,012

Remplazando los datos en la Luego, en el 2 021 la población

ecuación de crecimiento: de San Juan será de 9 449
habitantes aproximadamente.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES
●

INTERÉS COMPUESTO

En el interés compuesto los intereses producidos por un capital

C0 , se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir
nuevos intereses.
Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se
acumulan al capital, se llaman períodos de capitalización o de
acumulación de intereses.
Si son t años, r es el rédito anual (tasa de interés anual en %) el
capital final CF obtenido viene dado por la fórmula:

𝑡
𝐶𝑓 = 𝐶0 1 + 𝑟%
3.2 OPERACIONES BANCARIAS
Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000 durante 3 años a una
tasa de interés del 10 % que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a Javier a
calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.

Resolución: Remplazando los datos en:

Identificamos los datos del problema: 𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟 𝑡

𝐶𝑜 = 4 000 𝑟 = 10 % = 0,1 𝑀 3 = 4000. 1 + 0,1 3

𝑀 3 = 4000. 1,1 3
𝑡 = 3 años

Por condición del problema, la 𝑀 3 = 5324

capitalización es anual, esto
significa que anualmente los Luego, Javier abona un monto
intereses se acumulan al capital. de 5324 soles.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES
Se considera “n” períodos de tiempo, cuando por ejemplo:
➢ n = 12 , representa meses
➢ n = 4 , representa trimestres
➢ n = 2 , representa semestres

𝑛𝑡
𝑡
𝑟%
𝐶𝑓 = 𝐶0 1 + 𝑟% 𝐶𝑓 = 𝐶0 1+
𝑛
Donde:
CF: Cantidad después de t años
C0: Capital o valor actual
r: Tasa de interés por año
t: Número de años
n: Número de veces que el interés se compone por año
13
3.2 OPERACIONES BANCARIAS
Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una
tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero
recibirá Jaime después de dos años?

Resolución: 𝟒. 2
0,08
Identificamos los datos del problema: 𝑀 2 = 1000. 1 +
4
𝐶𝑜 = 1 000 𝑟 = 8 % = 0,08
8
12 𝑀 2 = 1000. 1 + 0,02
𝑛 = 4 (trimestral) 𝑛=
3
8
𝑡 = 2 años
𝑀 2 = 1000. 1,02
Remplazando los datos en: 𝑀 2 = $1 171,66
𝑟 𝑛. 𝑡
𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + Luego, Después de los 2 años de
𝑛 deposito, Jaime recibe $1 171,66.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES

Un financista recomienda al dueño de la clínica Miraflores invertir un capital de $

1000 a una tasa de interés compuesto de 12% anual.
a.Calcule las cantidad final en la cuenta después de tres años si el interés se compone
anualmente.
b.¿Qué cantidad final percibiría la clínica si el interés se compone semestralmente o
trimestralmente?. Halle el interés ganado.
Resolución C0 = 1000 r = 12 r/100 = 0,12 t=3
𝒏𝒕
Anualmente 𝒓%
n=1
𝑪𝒇 = 𝑪𝟎 𝟏+
𝒏
𝒏𝒕
𝒓%
Semestralmente 𝑪𝒇 = 𝑪𝟎 𝟏+
n=2 𝒏
𝒏𝒕
Trimestralmente 𝒓%
n=4 𝑪𝒇 = 𝑪𝟎 𝟏+
𝒏
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES
INTERÉS COMPUESTO EN FORMA CONTINUA

El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la

fórmula:
𝐴 𝑡 = 𝑃𝑒 𝑟𝑡
de:
A(t) = cantidad final después de t años.
P = capital inicial o valor Don actual.
r = tasa de interés por año expresada como número decimal
t = número de años.

15
3.2 OPERACIONES BANCARIAS
José invierte una suma de S/ 5 000 en 10 años, determina los
montos que recibe con una tasa del 6% instantánea (o continuo).

Resolución: Remplazando los datos en:

Identificamos los datos del problema:
𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 𝑒 𝑟. 𝑡
𝐶𝑜 = 5 000
𝑀 10 = 5 000. 𝑒 0,06. (10)
𝑟 = 6 % = 0,06
𝑀 10 = 5 000. 𝑒 0,6
𝑡 = 10 años
𝑀 10 = 9 110,59
El Monto que recibe Javier a la tasa
de 6% es de S/ 9 110,60.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES

En el caso anterior sobre el Financista y su recomendación, calcule la cantidad final en su

cuenta después de tres años si invierte $1000 a una tasa de interés de 12% por año,
capitalizado de forma continua.
Resolución Datos: P=1000, r=12%, t=3
𝐴 𝑡 = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 𝐴 3 = 1000𝑒12%∙3
La cantidad después de 3 años es $ 1433.33
¿Qué conclusión obtienes al comparar con los resultados anteriores?

Cuando el interés se compone 1 vez al año: $ 1404.92.

Cuando el interés se compone 2 vez al año: $ 1418.51.
Cuando el interés se compone 4 vez al año: $ 1425.76.
16
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES
CRECIMIENTO DE POBLACIONES

Suponga que se observa experimentalmente que el número de bacterias en un

cultivo se duplica cada día. Si mil bacterias están presentes al inicio, calcule la
cantidad de bacterias presentes luego de dos días y medio.

Resolución
Elaboremos una tabla donde “t” es el número de días y “C” es la cantidad de
bacterias en el tiempo “t”:

t 0 1 2 3 4
C(t) 1000 2000 4000 8000 16000
17
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES

Continuación:

t 0 1 2 3 4
C(t) 1000 2000 4000 8000 16000

Observando la tabla podemos deducir que: 𝑪 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟐)𝒕

Entonces si t = 2,5 tenemos:

𝑪 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟐)𝟐,𝟓 = 𝟓𝟔𝟓𝟔, 𝟖𝟓
∴ 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒅í𝒂𝒔 𝒚 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒉𝒂𝒃𝒓á𝒏 𝟓𝟔𝟓𝟔 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒔

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●SOLUCIÓN DEL CASO
Una enfermedad infecciosa comienza a CALCULAR:
diseminarse en una ciudad pequeña con a) ¿Cuántas personas infectadas hay en el instante
10000 habitantes. Después de t días, el en que se propagó el virus?
número de personas que ha sucumbido al b) Calcule el número de personas infectadas
virus se modela mediante la función: después de un día, después de dos días y después
de cinco días.

SOLUCIÓN:
𝑣 𝑡 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑐𝑢𝑚𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠.

𝑡: 𝑑í𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑔𝑖𝑜.

a) 10000
𝑣 0 = ⇒ v 0 = 8 personas infectadas.
5 + 1245𝑒 −0.97(0)
10000
b) i) 𝑣 1 = 5+1245𝑒 −0.97(1) ⇒ v 1 = 21 personas infectadas.
10000
ii) 𝑣 2 = 5+1245𝑒 −0.97(2) ⇒ v 2 = 54 personas infectadas.

10000
iii) 𝑣 5 = ⇒ v 5 = 678 personas infectadas.
5+1245𝑒 −0.97(5)
METACOGNICIÓN

1) ¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial?

2) ¿Qué dificultades tuviste en este aprendizaje?, ¿Cómo

lo superaste o piensas superarlo?

3) ¿En qué situaciones aplicarían ecuaciones

exponenciales?
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• Miller . “Matemática: Razonamiento y Aplicaciones”

https://ebookcentral.proquest.com/lib/upnortesp/detail.actio
n?docID=4722096
GRACIAS