Unidad 1: Tarea 1 – vectores, matrices y determinantes

Tutor/a: Miriam Mercedes Acosta Martinez

Entregado por los estudiantes:

Julián David Ríos García - Código: 16.075.926

Andrés Felipe Torres| - Código: 16075900
Darwin Alexander Franco Código:
Johan Sebastián Piraquive - Código:1070332248
José Leonardo Rodríguez Caro - Código:1030682672

Grupo: 37

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

ECBTI
Ingeneria electronica
Algebra lineal - 208046
Bogota D.C. 15/03/2020
 INTRODUCCIÓN
En el presente documento se consignan el desarrollo a los ejercicios asignados a
los estudiantes del curso Algebra lineal Grupo colaborativo 37. Cada integrante de
este grupo colaborativo resalta la importancia de los conceptos de Vectores,
matrices y determinantes ya que son de gran importancia en la resolución de
problemáticas reales del día a día. Para esta tarea en particular se trabajarán los
siguientes ejercicios.

a. Vectores en R2 y R3: Expresión algebraica de vector

b. Vectores en R2 y R3: propiedades de los vectores

c. Matrices: concepto de matriz, tipos de matrices, operaciones con matrices

d. Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales.

e. Determinantes: definición, determinantes 3x3

El lector también se encontrará con la compilación de ejercicios realizados por

cada compañero de grupo colaborativo, los correspondientes mapas mentales y la
compilación de los videos del ejercicio N°6, Juntos con las conclusiones y
referencias bibliográficas dejadas y utilizadas para la elaboración de la presente
tarea.
ELECCIÓN DEL DESARROLLO DE EJERCICIOS
Estudiante E-mail Institucional Literal Ejercicios
seleccionado
A
Julián David Ríos jdriosga@unadvirtual.edu.co B
García
José Leonardo jlrodriguezcaro@unadvirtual.edu.c C
Rodríguez Caro o
D
Johan Sebastián jspiraquivee@unadvirtual.edu.co E
Piraquive
EJERCICIO 1
Ejercicio 1: mapa mental – Estudiante Julian David Rios Garcia

Ejercicio 1: mapa mental – Estudiante Johan Sebastián Piraquive

Ejercicio 1: mapa mental – Estudiante Andrés Felipe Torres

 EJERCICIO 2
Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos,
luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector
resultante:
Punto A.
Punto b.
 1. Se debe hallar primero el producto escalar:

v →∗w →=( x 1∗x 2 ) +( y 1∗y 2)

v →∗w →=( (−3)∗6 )+((−7)∗(−2))

v →∗w →=(−18 )+(14)

v →∗w →=−4

2. Hallar las magnitudes de los vectores:

|v →|=√ x2 + y 2
|v →|=√ (−3)2 +(−7)2
|v →|=√ 9+49
|v →|=√ 58
|v →|=7,615

|w →|=√ x 2+ y 2
|w →|=√ 62 +(−2)2
|w →|=√ 36+ 4
|w →|=2 √ 10
|w →|=6,32

3. Hallamos el ángulo entre los 2 vectores, Reemplazar los valores en la formula:

 v →∗w →
cos cos θ=
|v →|∗|w →|
−4
cos cos θ=
7,6∗6,3
−4
cos cos θ=
47,82
cos cos θ=−0.0835
θ=cos cos−1(−0.0835)
θ=94,789 ° este es el ángulo del vector resultante

4. Suma de vectores:

v →+w →=( x 1+ x 2 ) +( y 1+ y 2)
v →+w →=((−3)+6 )+((−7)+(−2))

v →+w →=( 3 ) +(−9)

v →+w →=(3 ,−9) este es el valor de la resultante

 5. Hallar la magnitud del vector resultante:

|v →+ w→|=√ x 2+ y 2❑
|v →+ w→|=√ (−3)2 +(−9)2
|v →+ w→|=√ 9+81
|v →+ w→|=√ 90
|v →+ w→|=√ 90
|v →+ w→|=9,48

6. Hallar la dirección del vector resultante:

Reemplazamos los valores calculados en la siguiente formula:

b
tanθ=
a
−9
tanθ=
3
tanθ=−3

θ=tan −1(−3)

θ=−71,5°

Punto c.
Dados los siguientes vectores 2D, encuentre el Angulo entre ellos, luego simúlelos y halle
la magnitud como la dirección del vector resultante
 → →
c. v =(−2 ,−1 ) y w =(8,2)

Para hallar el Angulo entre los dos vectores tenemos lo calculamos con la siguiente
formula
→ →
v ∗w
cos 0= → →
|v|∗|w|
Para poder despejar esta fórmula, primero tenemos que hallar el producto escalar
→ →
Producto escalar = v ∗v
→ →
v ∗w =( x 1∗x 2 ) +( y 1∗y 2)
→ →
v ∗w =(−2∗8 ) +(−1∗2)
→ →
v ∗w =(−16 )+(−2)
→ →
v ∗w =−18

→
Magnitud del vector v
→
v = √ x2 + y 2
→
v =√−22 +(−1¿¿ 2)¿
→
v =√ 4 +1
→
v =√ 5
→
v =2,236067
→
Magnitud del vector w
→
w = √ x 2+ y 2
→
w =√ 82 +22
→
w =√ 64+ 4
→
w =√ 68
→
w =8,25
→ →
Una vez tengamos el producto escalar y la magnitud de v y w procedemos hallar el Angulo
→ →
v ∗w
cos 0= → →
|v|∗|w|
Remplazamos
−18
cos 0=
2,236067∗8,25
−18
cos 0=
2,236067∗8,25
−18
cos 0=
18,44755
cos−1=0,975739
cos−1=(0,975739)
0=12,646°
Suma de vectores
→ →
v + w =( ( x 1 ± x 2 ) , ( y 1 ± y 2 ) )
→
v =(−2,−1)
→
w =(8,2)
→ →
v + w =( (−2¿+8 ) , ( (−1 ) +2 ) )
→ →
v + w =(6,1)

Magnitud del vector resultante

→
|v+ w|=√ x ´ + y
2 2

→
|v+ w|=√ 6 ´ +1
2 2

→
|v+ w|=√ 36+1
→
|v+ w|=√ 37
→
|v+ w|=6,082
Dirección del vector resultante
b
0=tan −1 ( )
a
1
0=tan −1 ( )
6

0=tan −1 0,1666
0=9,42 °
0=360 °−9,42 °
0=350.58 °
Punto d.

D . ⃗v =( 4 , 3 ) y ⃗
w =( 2 , 1 )

1. Hallo el producto escalar:

D . ⃗v =( 4 , 3 ) y w =( 2 , 1 )
⃗
→ →
v ∗w =( x 1∗x 2 ) +( y 1∗y 2)
→ → → →
v ∗w =( 4∗2 )+ ( 3∗1 ) v ∗w =( 8 ) +(3)
→ →
v ∗w =11

2. Hallar las magnitudes de los vectores:

 →
|v |= √ x + y
2 2

→ →
|v |= √(4) +( 3) |v|=√ 16+9
2 2

→ →
|v |= √25|v |=5

→ →
|w|= √ x + y |w|=√ 2 +1
2 2 2 2

→ →
|w|= √ 4+1|w|= √5
→
|w|=2.236

3. Hallamos el ángulo entre los 2 vectores, Reemplazar los valores en la

fórmula:
→ →
v ∗w 11
cos θ=¿ cos θ=¿ ¿¿
→ → 5∗2.236
|v|∗|w|
11
cos θ=¿ θ=cos−1 0.983899 ¿
11.18

θ=10.3° Ángulo vector resultante

4. Suma de vectores:

D . ⃗v =( 4 , 3 ) y w =( 2 , 1 )
⃗

→ →
v + w =( x 1+ x 2 ) +( y 1+ y 2)
→ → → →
v + w =( 4+ 2 )+ ( 3+1 ) v +w =6+ 4

Valor de la resultante
→ →
v + w =(6,4)

5. Hallar la magnitud del vector resultante:

→ →
v + w =(6 , 4)
→ →
|w|= √ x + y |w|=√ 6 +4
2 2 2 2

→ →
|w|= √36+ 4|w|=√ 40
→
|w|=6.324
6. Hallar la dirección del vector resultante:

Reemplazamos los valores calculados en la siguiente formula:

β=tan−1 ( 46 )
β=33.69 °

θ=33,69°

Punto e.
E.⃗
A =( 4 ,−4 ) y ⃗
B=( 9 ,2 )

Primero hallamos el producto punto

A.⃗
⃗ B
En donde multiplicamos
A.⃗
⃗ B =(4∗9)+(−4∗2)
Resolvemos y nos queda
A.⃗
⃗ B =28
A y⃗
Hallamos la magnitud ⃗ B con la formula

|⃗v|= √ X 2 +Y 2
A
Reemplazamos para hallar la magnitud ⃗
 A|=√ X 2 +Y 2
|⃗
Reemplazamos

A|=√ 4 2 +(−4)2
|⃗
Resolvemos
A|=√ 16+16
|⃗
Nos da
A|=√ 32
|⃗
B
Reemplazamos para hallar la magnitud ⃗

B|=√ X 2+ Y 2
|⃗
Reemplazamos

B|=√ 92+ 22
|⃗
Resolvemos
B|=√ 81+ 4
|⃗
Nos da
B|=√ 85
|⃗

Hallamos los ángulos de los dos vectores con la siguientes formulas:

A.⃗
⃗ B
Cosθ=
A|.|⃗
|⃗ B|
Reemplazamos y nos queda
28
Cosθ=
( √ 32)( √ 85)

Cosθ=0.5368
Despejamos el θ

θ=cos−1( 0.5368)
θ=57.5288°
A
Dirección del vector ⃗
Noreste
B
Dirección del vector ⃗
Sureste

Hallamos vector resultantes:

A+⃗
Sumamos los vestores ⃗ B

⃗
A+ ⃗
B=( ( X 1 + X 2 ) ; ( Y 1+Y 2 ) )

Reemplazamos
A+ ⃗
⃗ B= ( ( 4+ 9 ) ; (−4 +2 ) )

Nos queda
A+ ⃗
⃗ B= (13 ,−2 )
A+ B|
Hallamos la magnitud del vector resultante |⃗
Se halla con la formula :

A+ B|=√ X 2 +Y 2
|⃗
Remplazamos

A+ B|=√ 132+ ¿ ¿
|⃗

A+ B|=√ 169+4
|⃗

A+ B|=√ 173=13.15
|⃗
Hallamos dirección del vector resultante
b
tanθ
a
Remplazamos
−2
tanθ= =−0.15
13
Despejamos Angulo

θ=tan −1(−0.15)
θ=−8.5307
θ=360° −8.5307
θ=351.469
 EJERCICIO 3
Punto a.
Punto b.

Dados los vectores 3D

determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente
operación: 

1. Hallar el producto cruz:

u →=4 i,−2 j ,−k

o →=4 i ,−4 j ,−3 k
u →∗o→=[ i j k 4−2−1 4−4−3 ]
u →∗o→=[ −2−1−4−3 ] i−[ 4−1 4−3 ] j− [ 4−2 4−4 ] k
u →∗o→=((−2∗−3)−(−4∗−1)) i – ((4∗3)−(4∗−1)) j – ((4∗−4)−(4∗2))
u →∗o→=(2) i – (−16) j – (−24)
u →∗o→=(2) i – (−16) j – (−24)
u →∗o→=(2 i , – 16 j ,−24 k) producto cruz

2. Resolvemos la ecuación

5
( u−v ) .( u−v )
3
Reemplazamos los valores de los vectores:

u →=4 i,−2 j ,−k

o →=4 i ,−4 j ,−3 k

Suponemos que el vector o →=v →

Despejamos el primer paréntesis:

( v−u → )=¿ ) - (4 i,−2 j ,−k ¿

( v−u → )=( 4 i,−4 i ) , ( (−4 j )−(−2 j ) ) ,( (−3 k )−(−k ))

( v−u → )=( 0i ,−6 j ,−4 k )

Despejamos el segundo paréntesis:

5
( u−v )
3

u−v →=( 4 i,−2 j, 2 k ) −(4 i,−4 j ,−3 k )

u−v →=( 4 i,−4 i ) , ( (−4 j )−(−2 j ) ) ,( (−3 k )−(−k ))

u−v →=( 0i ,−6 j ,−4 k )

5 5
u−v →= ( 0 i,−6 j ,−4 k )
3 3

5 −30 −20
u−v →=(0i , j, k)
3 3 3

Reemplazamos los valores hallados en la ecuación inicial:

5
( u−v ) .( u−v )
3
−30 −20
( 0 i ,−6 j ,−4 k )∗(0 i, j, k)
3 3

¿ ( 0∗0 ) + (−6∗−30
3 ) +(
−4∗−20
3
)

¿ 0+60+ 26,6

¿ 86,6

Punto c.
→ →
Dado los vectores 3 D u =4 i−2 j−k y o =4 i−4 j−3 k determine su producto cruz y calcule
el resultado de la siguiente operación
2
( )
C . u+ v ∙ ( u+ v )
3

Determinar producto cruz

→
u =4 i−2 j−k
→
o =4 i−4 j−3 k

i j k

[ ]
→ →
u∗o = 4 −2 −1
4 −4 −3
 → →
u∗o = −2 −1 i− 4 −1 j− 4 −2 k
[ ] [ ] [ ]
−4 −3 4 −3 4 −4
→ →
u∗o =((−2∗−3)−(−4∗−1))i – ((4∗3)−(4∗−1)) j – ((4∗−4)−(4∗2))
→ →
u∗o =( 2)i – (−16) j – (−24)
→ →
u∗o =( 2)i – (−16) j – (−24)
→ →
Producto vectorial u∗o =( 2i , – 16 j ,−24 k )

2
( )
C . u+ v ∙ ( u+ v )
3

Vamos a hallar el segundo paréntesis

( u+ v )
→ →
u =4 i,−2 j,−k u =4 i,−4 j,−3 k
→
u+ v =( 4 i ,−2 j ,−k )+(4 i ,−4 j ,−3 k )
→
u+ v =( 4 i+ 4 i ) ,(−2 j+ (−4 j ) ),(−k−(−3 k ))
→
u+ v =( 8 i,−6 j ,3 k)

Ahora hallamos el primer paréntesis

(u+ 23 v)
Remplazamos
2
( 4 i,−2 j ,−k )+ ∗( 4 i ,−4 j ,−3 k)
3
Donde hacemos primero la multiplicación

2
∗(4 i ,−4 j ,−3 k )
3
 8 8 6
Ahora este resultado lo sumamos con u i ,− j ,− k
3 3 3

8 8 6
u+ i ,− j ,− k
3 3 3
Remplazamos
2 8 8 6
u+ v=(4 i−2 j−k )+( i ,− j ,− k )
3 3 3 3

2 8
(
u+ v= 4 i ,+ i , ¿
3 3 )
2 4 8
3 1 3 (
u+ v= i,+ i , ¿ )
2 20 14 9
u+ v= i ,− j ,− k
3 3 3 3

Remplazamos la formula general

2
( )
C . u+ v ∙ ( u+ v )
3

20 14 9
( i ,− j ,− k)∗(8 i ,−6 j, 3 k )
3 3 3

( 203 i∗81 i) ,( −143 j∗( −61 j)) ,(−93 k∗31 k )

Resultado ( 1603 i) ,( 843 j) ,( 273 k )

Punto d.
Dados los vectores 3D ⃗μ=4 i−2 j−k u⃗ =3i−5 j+3 k y ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k ⃗v =−2 i+ 9 j−k su
producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación: 

4
D . (−u−v ) ∙ ( 2u+ v )
3

1. Hallar el producto cruz:

→
u =4 i,−2 j,−k
→
v =4 i,−4 j,−3 k
i j k

[ ]
→ →
u∗v = 4 −2 −1
4 −4 −3

→ →
u∗v = −2 −1 i− 4 −1 j+ 4 −2 k
[ ] [ ] [ ]
−4 −3 4 −3 4 −4
→ →
u∗v =( (−2∗−3 )− (−4∗−1 ) ) i−( ( 4∗−3 )− ( 4∗−1 ) ) j+((4∗−4)−( 4∗−2))k
→ →
u∗v =( 2 ) i – (−8 ) j+(−8) k
u∗v =( 2 ) i+8 j+(−8)k
→ →

Producto cruz
→ →
u∗v =( 2i+8 j−8 k )

2. Resolvemos la ecuación
→
u =4 i,−2 j,−k
→
v =4 i,−4 j,−3 k

4
(−u−v ) ∙ ( 2 u+ v )
3

4 4
(−u−v )= −( 4 i−2 j−1 k ) −( 4 i−4 j−3 k )
3 3
4 16 8 4 16 16 12
3
(−u−v )=−
3 (
i− j− k −
3 3 3
i−
3 )(
j− k
3 )
4 −16 8 4 16 16 12
(−u−v )= i+ j+ k− i+ j+ k
3 3 3 3 3 3 3
4 −32 24 16
(−u−v )= i+ j+ k
3 3 3 3
4 −32 16
(−u−v )= i+8 j+ k
3 3 3
→
u =4 i,−2 j,−k
→
v =4 i,−4 j,−3 k

( 2 u+v ) =2 ( 4 i−2 j−1 k )+ ( 4 i−4 j−3 k )

( 2 u+v ) =8 i−4 j−2 k + 4 i−4 j−3 k
( 2 u+v ) =12i−8 j−5 k
Hallamos el producto escalar

4
(−u−v ) ∙ ( 2 u+ v )
3
4 −32 24 16
3
(−u−v ) ∙ ( 2 u+ v )=
3 (
i+
3 )
j+ k ∗ (12 i−8 j−5 k )
3

−32 24 16
i∗( 12 i−8 j−5 k ) + j∗( 12i−8 j−5 k )+ k∗( 12i−8 j−5 k )
3 3 3

−384 2 256 160 288 192 2 120 192 128 80

i + ji+ ki+ ji− j− kj+ ki− kj− k 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3

−384 2 544 352 192 2 248 80

i + ji+ ki− j − kj− k 2
3 3 3 3 3 3

544 352 248 80

−128 i 2+ ji+ ki−64 j 2− kj− k 2
3 3 3 3

Punto e.
Dados los vectores 3D ⃗μ=4 i−2 j−k u⃗ =3i−5 j+3 k y ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k ⃗v =−2 i+ 9 j−k
determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:
1
( )
E . u+ v ∙ ( u−v )
3

Formula a utilizar

i j k

|
u⃗ X ⃗v = x 1
x2 |
y1 z1
y2 z2

Empezamos a resolver
⃗μ=4 i−2 j−k
ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k ⃗v =−2 i+ 9 j−k

Para hallar el producto cruz realizamos La determinante que se resuelve de la siguiente

forma:

i j k
|
u⃗ X ⃗v = 4 −2 −1
4 −4 −3 |
u⃗ X ⃗v = −2 −1 i− 4 −1 j+ 4 −2 k
| | | | | |
−4 −3 4 −3 4 −4

u⃗ X ⃗v =¿
u⃗ X ⃗v =(6−4)i−(−12+4 ) j+(−16+ 8)k
u⃗ X ⃗v =(2 i+ 8 j−8 k)
Hallamos el producto escalar por los vectores
1 1
v⃗ = (4 i−4 j−3 k )
3 3
Resolvemos

1 4 4
⃗v =( i− j−k )
3 3 3

1
Realizamos la suma de la primera parte u+ v
3 ( )
Reemplazamos

(u+ 13 v)=(4 i−2 j−k )+( 43 i− 43 j−k )

(u+ 13 v)=(4 i+ 43 i)(−2 j− 43 j)(−k−k )

(u+ 13 v)=( 163 i ,− 103 j ,−2 k )
Realizamos la resta de la segunda parte del problema ( u−v )

( u−v )=(4 i−2 j−k )−(4 i−4 j−3 k )

Solucionamos

( u−v )=(4 i−4 i ),¿

( u−v )=0i , 2 j, 2 k

1
( )
Hallamos el producto punto con los resultados que obtuvimos u+ v ∙ ( u−v )
3

Reemplazamos

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=( 163 i,− 103 j ,−2 k ).(0 i, 2 j ,2 k )

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=( 163 .0)+( −103 .2 )+(−2 .2 )

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=0− 203 −4
(u+ 13 v) ∙ ( u−v )= −323

EJERCICIO 4
Punto a.
Punto b.
Dadas las siguientes matrices: 
Hallamos Primero la matriz transpuesta de A

3 12 0−12−13 1−21 2

Verificación en Matrix calculator

Realizamos la suma ( AT +C ) (deben ser del mismo tamaño)

AT C

3 12 0−12−13 1−21 2 −2 1−1 0−3 21 2 0−1 3−2

AT + C

1 21 0−4 4 0 5 1−3 4 0

Verificación en Matrix calculator

Hallamos la transpuesta de B

BT

2−1 1 0−2 0 −1 33

3 -4 0

Verificación en Matrix calculator

T
Realizamos la multiplicación final ( AT +C ) . B

Multiplicamos las filas ( AT + C ) por las columnas de ( BT ¿ de la siguiente manera:

Resultante 1-
-7
1= 2+0+0-9 =
Resultante 1- 1
2= 0+0+0+12= 2
Resultante 1-
-1
3= (-1+0+0+0)=
Resultante 1- 2
2= 4+4+5+12= 5
Resultante 2-
-8
1= 0+8+0-16=
Resultante 2-
0
2= -2-2+15+0=
Resultante 2-
1
3= -2-2+15+0=
Resultante 3-
-1
1= 2-4+1+0=
Resultante 3- 0-8+0+0= -8
 2=
Resultante 3- 1
3= -1+12+3+0= 4

Matriz resultante:

T
( AT +C ) . B
−7 25−112−8−8−1 114

Verificación en Matrix calculator

Punto c.
Dadas las siguientes matrices,

3 1 2 2 −1 1 3 −2 0 1 −1
A=
[ ]
0 −1
−1 3 1
−2 1 2
2
|−1 3 3 0 |
B= 0 −2 0 −4
| |
C= 1 −3 2 3
−1 2 0 −2

realizar la siguiente operación

c . ( A . B )− ( B . A )
Hacemos la multiplicación del primer paréntesis
( A.B)
Donde
 3 1 2

[ ]|
( A . B )= 0 −1
−1 3 1
−2 1 2
2
2 −1 1 3
∗ 0 −2 0 −4
−1 3 3 0 |
C 11=( 3∗2 )+ ( 1∗0 ) + ( 2∗−1 )=6+ 0−2=4
C 12= ( 3∗−1 ) + ( 1∗−2 ) + ( 2∗3 )=−3−2+ 6=1
C 13=( 3∗1 ) + ( 1∗−0 ) + ( 2∗3 )=3+ 0+6=9
C 14=( 3∗3 ) + ( 1∗−4 )+ ( 2∗0 ) =6−4+ 0=2
C 21=( 0∗2 )+ (−1∗0 ) + ( 2∗−1 )=0−0−2=−2
C 22=( 0∗−1 )+ (−1∗−2 ) + ( 2∗3 )=0+ 2+ 6=8
C 23=( 0∗1 )+ (−1∗0 )+ (2∗3 )=0−0+ 6=6
C 24=( 0∗3 ) + (−1∗−4 ) + ( 2∗0 )=0+ 4+ 4=6
C 31=(−1∗2 ) + ( 3∗0 ) + ( 1∗−1 )=−2+0−1=−3
C 32=(−1∗−1 ) + ( 3∗−2 ) + ( 1∗3 )=1−6 +3=−4
C 33=(−1∗1 ) + ( 3∗0 ) + ( 1∗3 )=−1+0+ 3=4
C 34=(−1∗3 ) + ( 3∗−4 ) + ( 1∗0 )=−3−12+1=−14
C 41=(−2∗2 )+ ( 1∗0 )+ ( 2∗−1 )=−4+ 0−2=−6
C 42=(−2∗−1 ) + ( 1∗−2 ) + ( 2∗3 )=−2−2+6=2
C 43=(−2∗1 ) + ( 1∗0 )+ ( 2∗3 ) =−2+0+6=8
C 44=(−2∗3 )+ (1∗−4 ) + ( 2∗0 )=−6−4+0=−10

4 1 9 2

[
( A . B )= −2 8
−3 −4
6 2
6 6
4 −14
8 −10
]
Hacemos la operación del segundo paréntesis
(B.A)
Donde
 3 1 2

|[ ]
2 −1 1 3
|
( B . A )= 0 −2 0 −4 ∗
−1 3 3 0
0 −1
−1 3 1
−2 1 2
2

C 11=(2∗3)+(−1∗0)+(1∗−1)+(3∗−2)=6−0−1−6=−1
C 12=(2∗1)+(−1∗−1)+(1∗3)+(3∗1)=2+ 1+ 3+3=9
C 13=(2∗2)+(−1∗2)+(1∗1)+(3∗2)=4−2+1+6=9
C 21=(0∗3)+(−2∗0)+( 0∗−1)+(−4∗−2)=0−0+0+ 8=8
C 22=(0∗1)+(−2∗−1)+(0∗3)+(−4∗1)=0+2+0−4=−2
C 23=( 0∗2)+(−2∗2)+(0∗1)+(−4∗2)=0−4+ 0−8=−12
C 31=(−1∗3)+(3∗0)+(3∗−1)+(0∗−2)=−1+0−3+0=−4
C 32=(−1∗1)+(3∗−1)+(3∗3)+( 0∗1)=−1−3+6+ 0=2
C 33=(−1∗2)+(3∗2)+(3∗1)+( 0∗2)=−2+ 6+3+0=7

−1 9 9

[
( B . A )= 8 −2 −12
−4 2 7 ]
Ahora hacemos la operación final
( A . B ) −( B . A )
Remplazamos

4 1 9 2

[ −2 8 6

6
6 −
−3 −4 4 −14
2 8 −10
−1 9

][
9
8 −2 −12
−4 2 7 ]
Resultado ( A . B )−( B . A ) =0
Nota: el resultado es 0 cero, porque para poder realizar la resta tienen que ser las dos
matrices del mismo orden.
Punto d.

Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes

 3 1 2 2 −1 1 3 −2 0 1 −1
A=
[ ]
0 −1
−1 3 1
−2 1 2
2
|
B= 0 −2 0 −4
−1 3 3 0 | | |
C= 1 −3 2 3
−1 2 0 −2

D . ( A−2 B T ) .(−1)( C +2 B )

3 1 2
A¿
[ ]
0 −1 2
−1 3 1
−2 1 2

2 0 −1

|[ ]
2 −1 1 3
|
BT = 0 −2 0 −4 = −1 −2 3
−1 3 3 0
1 0 3
3 −4 0

2 0 −1 −4 0 2

[
−2 B= −1 −2 3 = 2 4 −6
1 0
3 −4 0
3 −2 0 −6
−6 8 0
][ ]
 3 1 2 −4 0 2 −1 1 4 −1 1 4
( A−B )=D=
[ ][ ][ ] [ ]
0 −1 2 − 2 4 −6 = 2
−1 3 1 −2 0 −6 −3 3 −5
−2 1 2 −6 8 0
3 −4

−8 9 2
D= 2 3 −4
−3 3 −5
−8 9 2

(−1 ) ( C+2 B )=−1 C−2 B

−2 0 1 −1 2 0 −1 1
| ||
−1 C=−1 1 −3 2 3 = −1 3 −2 −3
−1 2 0 −2 1 −2 0 2 |
 2 −1 1 3 −4 2 −2 −6
|−1 3 3 0 ||
−2 B=−2 0 −2 0 −4 = 0 4 0
|
8
2 −6 −6 0

2 0 −1 1 −4 2 −2 −6 −2 2 −3 −5
|
−C−B=E= −1 3 −2 −3 - 0
1 −2 0 2 ||4 0
2 −6 −6 0 ||
8 = −1 7 −2 5
|
3 −8 −6 2

−2 2 −3 −5
|
E= −1 7 −2 5
3 −8 −6 2 |
 −1 1 4
D∗E=F 2
−3
−8
[ ]| 3 −4 ∗
3 −5
9 2
−2 2 −3 −5
−1 7 −2 5
3 −8 −6 2 |
( 2−1+12 ) (−2+7−32 )( 3−2−24 ) (5+ 5+8 )
(−4−3−12 ) ( 4 +21+ 32 )(−6−6+ 24 ) (−10+15−8 )
( 6−3−15 )(−6+ 21+ 40 ) ( 9−6+30 ) ( 15+15−10 )
( 16−9+6 )(−16+ 63−16 )( 24−18−12 )( 40+ 45+ 4 )

13 −27 −23 18

[
F= −19 57
−12 55
13 31
12 −3
33 20
−6 89
]

Punto e.
Dados los vectores 3D ⃗μ=4 i−2 j−k u⃗ =3i−5 j+3 k y ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k ⃗v =−2 i+ 9 j−k
determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:
1
( )
E . u+ v ∙ ( u−v )
3

Formula a utilizar
 i j k

|
u⃗ X ⃗v = x 1
x2 |
y1 z1
y2 z2

Empezamos a resolver
⃗μ=4 i−2 j−k
ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k ⃗v =−2 i+ 9 j−k

Para hallar el producto cruz realizamos La determinante que se resuelve de la siguiente

forma:

i j k
|
u⃗ X ⃗v = 4 −2 −1
4 −4 −3 |
u⃗ X ⃗v = −2 −1 i− 4 −1 j+ 4 −2 k
| | | | | |
−4 −3 4 −3 4 −4

u⃗ X ⃗v =¿
u⃗ X ⃗v =(6−4)i−(−12+4 ) j+(−16+ 8)k
u⃗ X ⃗v =(2 i+ 8 j−8 k)
Hallamos el producto escalar por los vectores
1 1
⃗v = (4 i−4 j−3 k )
3 3
Resolvemos

1 4 4
⃗v =( i− j−k )
3 3 3

1
(
Realizamos la suma de la primera parte u+ v
3 )
Reemplazamos
(u+ 13 v)=(4 i−2 j−k )+( 43 i− 43 j−k )

(u+ 13 v)=(4 i+ 43 i)(−2 j− 43 j)(−k−k )

(u+ 13 v)=( 163 i ,− 103 j ,−2 k )

Realizamos la resta de la segunda parte del problema ( u−v )

( u−v )=(4 i−2 j−k )−(4 i−4 j−3 k )

Solucionamos

( u−v )=(4 i−4 i ),¿

( u−v )=0i , 2 j, 2 k

1
( )
Hallamos el producto punto con los resultados que obtuvimos u+ v ∙ ( u−v )
3

Reemplazamos

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=( 163 i,− 103 j ,−2 k ).(0 i, 2 j ,2 k )

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=( 163 .0)+( −103 .2 )+(−2 .2 )

(u+ 13 v) ∙ ( u−v )=0− 203 −4
(u+ 13 v) ∙ ( u−v )= −323
Punto d.

Punto e.
Dadas las siguientes matrices:

3 1 2 2 −1 1 3 −2 0 1 −1
A= 0
[ ]
−1
−1 3 1
−2 1 2
2
|
B= 0 −2 0 −4
−1 3 3 0 | |
C= 1 −3 2 3
−1 2 0 −2 |
Realizar las siguientes operaciones:

E. 2 A . ( C +B )T
Compruebe sus respuestas en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Resolvemos la primera parte de la operación

3 1 2 6 2 4
2 A=2 .
[ ][ ]
0 −1 2 = 0 −2
−1 3 1 −2 6 2
−2 1 2 −4 2 4
4

Resolvemos la segunda parte de la operación, primero sumando la matriz C con la matriz B

0 −1 2 2
|
( C+ B )T = 1 −5 2 −1
−2 5 3 −2 |
Hallamos la traspuesta de la matriz resultante

0 1 −2

|
( C+ B )T = −1 −5 5
2 2 3
2 −1 −2
|
Por último, realizamos la multiplicación de las dos matrices

6 2 4 0 1 −2
T
2 A . ( C +B ) = 0
[ ]|
−2 4
−2 6 2 2
. −1 −5

−4 2 4 2 −1 −2
2
5
3 |
Según las propiedades de la multiplicación de matrices esta multiplicación no se puede
realizar ya que para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas
de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Por lo tanto,
debemos hallar la matriz equivalente de la matriz 2A

6 2 4 6 2 4 0

[ ][
2 A= 0 −2 4
−2 6 2
−4 2 4
0 −2 4 0
−2 6 2 0
−4 2 4 0
]
Ahora si podemos realizar la multiplicación con la equivalente de la matriz 2A

6 2 4 0 0 1 −2

[ −2 6 2 0 2
−4 2 4 0 2 −1 −2
2
]|
2 A . ( C +B )T = 0 −2 4 0 . −1 −5 5
3 |
2 A . ( C +B )T =D
D11 =0−2+ 8+0=6 D12=6−10+8+ 0=4

D13=−12+10+12+0=10

D21=0+2+ 8+0=10 D22=0+10+ 8+0=18

D23=0−10+12+0=2

D31=0−6+ 4+0=−2 D32=−2−30+4 +0=−28

D33=4+30+6 +0=40

D41=0−2+8+ 0=6 D42=−4−10+8+ 0=−6

D43=8+10+12+0=30

Nuestra matriz resultante de la operación 2 A . ( C +B )T será:

6 4 10

|
2 A . ( C +B )T = 10 18 2
−2 −28 40
6 −6 30
|
Comprobación Geogebra
 EJERCICIO 5
Punto a.
Punto b.
Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de

Gauss Jordán y por el método de Determinantes

Compruebe que 

Halle la inversa de la matriz en Geogebra y compruebe los resultados 

Método de Gauss Jordan:

Primero se debe hallar la matriz identidad:

[ 0 123 4 25−9 1−17 ] 1 0 0 0 10 0 0 1

Se intercambian los valores de las filas R1 y R3

[ −9 1−17 4 25 0 12 3 ] 0 01 0 1 01 0 0

Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 realizando

4
R2 ← R2 + −R1
9
22 −23 4
[ −9 1−17 4
9 9 ]
0 123 0 0 1 0 1 1 0 0
9
Intercambiar filas de la matriz R2 y R3

22 −23 22 −23 4 4
[ −9 1−17 4
9 9
0
9 9
0 0 10 1 10
9 ]9

Se cancela el primer coeficiente en R3 realizando

11
R3 ← R3 − −R2
54

−19 −11 4
[ −9 1−17 4 123 0 0
6 ]
001100 1
54 9

Se reduce la matriz por renglones:

[ 1 0 00 1 0 0 0 1 ] −13 23 3 23 3 2 11 −6 −8
114 38 19 342 38 57 171 19 57

La inversa se encuentra al lado derecho de la matriz aumentada:

−13 23 3 23 3 2 11 −6 −8
114 38 19 342 38 57 171 19 57

Resolución por Determinantes:

[ 0 123 4 25−9 1−17 ]

Se debe encontrar el determinante de la matriz mediante la siguiente formula.

det [ a b c d e f g hi ] =a. det [ e f h i ] −b . det [ d f g i ] + c . det [ d e g h ]

0. det [ 2 51−17 ] −12. det [ 4 8−9−17 ] + 3.det [ 4 2−91 ]
0. det [ 2 51−17 ] =39
12. det [ 4 8−9−17 ] =−23
3. det [ 4 2−9 1 ] =22

¿ 0. (−39 )−12 (−23 ) +3∗22

0. (−39 )−12 (−23 ) +3∗22=342
[ 0 123 4 25−9 1−17 ] =342

Punto c.
Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordán y por

el método de Determinantes ( . Compruebe que

. Halle la inversa de la matriz en Geogebra y compruebe los resultados

Compruebe sus respuestas en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Método Gauss Jordán

−5 23 −4 1 0 0
|
A= 0 −1 1 0 1 0
−9 8 0 0 0 1 | |
1 −23/5 4 /5 −1/5 0 0
|
−1/5 f 1= 0
−9
−1
8
1
0
0
0 |
1 0
0 1 |
1 −23 /5 4 /5 −1/5 0 0
|
9 f 1+ f 2= 0 −1 1 0
| 1 0
0 −167 /5 36/5 −9 /5 0 1 |
 1 −23/5 4 /5 −1/5 0 0
−1 f 2= 0
|
1 −1 0
|
−1 0
0 −167 /5 36 /5 −9/5 0 1 |
1 0 −19/5 −1/5 −23/5 0
23/5 f 2+ f 1= 0 1
| 1 0
0 −167/5 36/5 −9/5
1
0
0
1 | |
1 0 −19/5 −1/5 −23/ 5 0
167 /5 f 2+ f 3= 0 1
|
1 0
|
1 0
0 0 −131/5 −9/5 −167/ 5 1 |
1 0 −19 / 5 −1 / 5 −23 /5 0
−5 /131 f 3= 0 1
0 0| 1
1
0 1
| 0
9 / 131 167 / 5 −5 /131 |
1 0 −19/5 −1/5 −23 /5 0
|
f 3+ f 2= 0 1
0 0 |
0 9/131 36 /131 −5/131
1 9/131 167 /5 −5/131 |
1 0 0 8/131 32 /131 −19/131
| |
19/5 f 3+ f 1= 0 1 0 9/131 36 /131 −5/ 131
0 0 1 9/131 167 /5 −5/ 131 |
8 /131 32/131 −19 /131
A −1

|
9 /131 36/131 −5 /131
9 /131 167/5 −5 /131 |
Por determinantes

−5 23 −4 −5 23

[
A= 0 −1 1 0 −1
−9 8 0 −9 8 ]
detA =[ (−5∗−1∗0)+(23∗1∗−9)+(−4∗0∗8) ]− [ (−9∗−1∗−4)+(8∗1∗−5)+( 0∗0∗23) ]

detA =[ ( 0 ) + (−207 )+ ( 0 ) ] −[ (−36 )+ (−40 ) + ( 0 ) ]

detA =[ −207 ] −[ −76 ]

detA =−131

−5 0 −9

[
At = 23 −1 8
−4 1 0 ]
At11 = −1 8
[ ] A =[−423 80] A =[−423 −11 ]
1 0
t
12
t
13

0 −9 −5 −9 −5 0
A =[
t
21
1 0 ] A =[
−4 0 ]
t
22A =[
−4 1 ]
t
23

A =[ 0 −9 ] A =[−5 −9 ] A =[−5 0 ]
t t t
31 32 33
−1 8 23 8 23 −1

At11 =−8 At12=−32 At13=19

At21=−9 At22=−36 At23=5

At31=−9 At32=−167 At33=5

−8 −32 19
t

[
adjA = −9 −36 5
−9 −167 5 ]
1
A−1= ∗adj A t
detA

8 32 −19

−1
A =
1
−131
−8 −32 19

[
∗ −9 −36 5 =
−9 −167 5
131
9
131
9
131
] [ ] 131
36
131
167
131
131
−5
131
−5
131
A∗A−1=1

8 32 −19
−5 23 −4
|0 −1 1 ∗
−9 8 0
131
9
131
9
131
| | | 131
36
131
167
131
131
−5
131
−5
131
=¿

( 1318 )+¿ 23( 1319 )+¿ (−4) ( 1319 ) −5∗( 131 32

)+¿ 23( 13136
)+¿ (−4 ) ( 167
131 )

| | ]
−5∗

8 9 9 32 36 167
0∗( ) +¿ (−1 ) ( ) +¿ 1 ( ) 0∗( )+ ¿ (−1 ) ( )+ ¿1 (
131 )
¿
131 131 131 131 131
8 9 9 32 36 167
−9 ( ) +¿ 8 ( ) +¿ 0 ( ) −9 ( ) +¿ 8 ( ) +¿ 0 (
131 131 131 131 131 131 )

( −19 ) + ¿ 23 (
−5
)+ ¿ (−4 ) (
−5
131 )

| |
−5∗
131 131
−19 −5 −5
0∗( ) +¿ (−1 ) ( ) +¿ 1 (
131 131 131 )
−19 −5 −5
−9 ( )+ ¿ 8( ) +¿ 0 (
131 131 131 )

1 0 0

[ ]
¿ 0 1 0
0 0 1

Verificación con la herramienta GeoGebra.

Punto d.

−8 1 9
D= 3 1 0
8 −7 −8

−24 3 27
−8 1
[
¿ 3 1
9
0
8 −7 −8 ]
3 −8 1 9 = 24 8 0
8 3 1 0 [ ]
0 11 27 [ ]
−64 8 72
−8 1
[
¿ 0
9
11 27
8 −7 −8 ]
8 −8 1 9 = 64 −56 −64
8 8 −7 −8[ 0 −48 −8 ] [ ]
0 66 72
−8 1 9
[
¿ 0 11 27
0 6 1 ]
6 0 11
−11 0 6 1
27 =[0 −66 −11
]
0 0 61 [ ]
0 11 27
−8 1 9
[
¿ 0 11 27
0 0 1 ]
1 0 11 27 = 0 −27 −27
−27 0 1 1 [0 −16 0] [ ]
 −8 1 9

[
−8 1 9
]
¿ 0 1 0 1 −8 1 9 =
0 0 1
[
−9 0 0 1
0 0 −9
]
−8 0 0 [ ]
1 0 0

[ ]
¿ 0 1 0
0 0 1

Hallar la inversa de la matriz

−1 −9 −1

[
¿
1
3 1
8

8 −7
0
−8
][ ]
8 = 8
0
0
0 0
1 0
0 1
∗( −18 )
−1 −9 −1

[
¿
1
3 1
8

8 −7
0
−8
][ ]
8 = 8
0
0
0 0
1 0
0 1
∗(−3 )

−1 −9 −1

[ ][ ]
1 0 0
8 8 8
¿ 11 27 = 3 ∗(−8 )
0 1 0
8 8 8
8 −7 −8 0 0 1

−1 −9 −1

[ ][ ]
1 0 0
8 8 8
¿
0
11
8
27 = 3
8 8
1 0
∗( 118 )
0 −6 1 1 0 1
 −1 −9 −1

[ ][ ]
1 0 0
8 8 8
¿ 27 = 3 8 ∗( 6 )
0 1 0
8 11 11
0 −6 1 1 0 1

−1 −9 −1

[ ][ ]
1 0 0
8 8 8
27 3 8 11
¿ 0 1
8
=
11 11
0∗ ( 173 )
173 29 48
0 0 1
11 11 11

−1

[ ][ ]
−1 −9 0 0
1 8
8 8
3 8
¿
0 1
27 =
8
11 11
0 ∗ ( −27
11 )
29 48 11
0 0 1
173 173 173

−1

[ ][ ]
0 0
−1 −9 8
1
8 8 = −24 8 −27 9
¿
0 1 0 173 173 173
∗
8 ()
0 0 1 29 48 11
173 173 173

11 54 99

[ ][ ]
−1 173 173 1384
1 0
8 −24 8 −27 1
¿
0 1 0
=
173 173 173
∗
8 ()
0 0 1 29 48 11
173 173 173
 8 55 9
1 0 0

[ ]
¿ 0 1 0=
0 0 1
[ ]
173
−24
173
29
173
173
8
173
48
173
173
−27
173
11
173

8 55 9

][ ]
173 173 173
−8 1 9

[
¿ 3 1 0 =
8 −7 −8
−24
173
29
8
173
48
−27
173
11
173 173 173

Punto e.

EJERCICIO 6
No Grupo Enlace video explicativo
37 Julián David Ríos García
https://www.youtube.com/watch?time_continue=5&v=ytRr2AZs0Ag

37 José Leonardo Rodríguez Caro

https://www.youtube.com/watch?v=TOsOqCNT4z0

37 Andrés Felipe torres

https://www.youtube.com/watch?v=aH1GZINhLIA&feature=youtu.be
 CONCLUSIONES
 Destacar la importancia que tienen los conocimientos adquiridos en la resolución de
problemáticas reales asociadas a las matrices, determinantes y vectores.
 comprender el funcionamiento de las herramientas como GeoGebra y la variedad de
sus aplicaciones.
 BIBLIOGRAFÍA
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Vargas, J. (2015). Determinante de una Matriz. [Video].  Universidad Nacional Abierta y a
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Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11517